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上海教育出版社 八年级 专项复习之三角形、梯形中位线


专项复习之三角形、梯形中位线
【知识要点】 1.三角形中位线:连结三角形两边中点的线段。 注意:三角形的中位线有 3 条。 2.三角形中位线定理:三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 推论:过三角形一边的中点作另一边的平行线,必平分第三边。 3.梯形的中位线是连结梯形两腰中点的线段 注意: (1)不是连结两底中点,是连接两腰的中点; (2)梯形的中线是唯一 的

4.梯形的中位线定理:梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半 推论:过梯形一腰的中点,作底边的平行线,必平分另一腰。

【典型例题】

例题 1.试证明梯形的中位线定理。 已知:梯形 ABCD 中,E、F 分别为 AB、CD 的中点,EF//BC//AD。 求证: EF ?
1 ( AD ? BC ) 。 2
A D F

E

B

C

思考:试证明 2、4 两个推论。

例题 2.如图,已知 AB//EF//GH//DC,且 AE=EG=GD,AB=3,DC=6。求:EF、GH 的长。

A E G D

B F H C

思考:求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。

例题 3.求证:顺次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。

总结: 顺次连结四边形各边中点所得的四边形常称为中四边形,则任何一个四边 形的中四边形是 (1)当原四边形对角线 (2)当原四边形对角线 (3)当原四边形对角线 。 ,它的中四边形是矩形。 ,它的中四边形是菱形。 ,它的中四边形是正方形。
1 DC 。 2
E B

例题 4.如图,在□ABCD 中,E、F 分别为 AB、CD 的中点,求证: GH ?

A

G

H

D

F

C

例题 5.如图,在 ?ABC 中,D 为 BC 边上的中点,E、F 为 AB 的三等分点。求证:
BG ? 3GE 。

A E G F

B

D

C

例题 6.如图,在梯形 ABCD 中,AD//BC,AB=CD,EF 为中位线,EG=10,GF=4, AB=10。求梯形的周长和面积。

A E B

D F C

G

例题 7.如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,M 是腰 AB 的中点,且 AD+BC=DC。求证: MD⊥MC。
A D

M

N

B

C

例1图

例题 8.如图,△ABC 的三边长分别为 AB=14,BC=16,AC=26,P 为∠A 的平分 线 AD 上一点,且 BP⊥AD,M 为 BC 的中点,求 PM 的长。

A Q P B D M C

例2图

1 例题 9. E、F 为凸四边形 ABCD 的一组对边 AD、BC 的中点,若 EF= ( AB ? CD ) , 2

问:ABCD 为什么四边形?请说明理由。

C D G E F

A

B

问题图

【跟踪训练】 一、填空题: 1、 三角形各边长为 5、 12, 9、 则连结各边中点所构成的三角形的周长是 。

2、一个等腰梯形的周长为 100cm,如果它的中位线与腰长相等,它的高为 20cm, 那么这个梯形的面积是 。 。

3、 若梯形中位线被它的两条对角线分成三等分,则梯形的两底之比为

4、直角梯形的中位线长为 a ,一腰长为 b ,且此腰与底所成的角为 600,则这个 梯形的面积为 。

5、如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,EF 是梯形的中位线,G 是 BC 上任意一点,如 果 S?GEF ? 2 2 cm2,那么梯形 ABCD 的面积是 。

A

D

A

A
E F

N

D
F

G E Q P B D C

E
B G C

F M C

B

第 5 题图

第 6 题图

第 7 题图

6、如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠B=300,∠C=600,E、F、M、N 分别为 AB、 CD、BC、DA 的中点,已知 BC=7,MN=3,则 EF= 。

7、如图,D、E、F 分别为△ABC 三边上的中点,G 为 AE 的中点,BE 与 DF、DG 分别交于 P、Q 两点,则 PQ∶BE= 。
E A D

8、如图,直角梯形 ABCD 的中位线 EF= a ,垂直于底的腰 AB= b , 则图中阴影部分的面积是 。

F

9、 在梯形 ABCD 中, AD∥BC, 是对角线, 为中位线, S ?ABD ∶ BD EF 若

B

C

填空第 8 题图

S ?BDC =1∶2,则 S 梯形AEFD ∶ S ?EBCF =
二、选择题:



1、等腰梯形的两条对角线互相垂直,中位线长为 8cm,则它的高为( A、4 cm B、 4 2 cm C、8cm



D、 8 2 cm

2、已知等腰梯形 ABCD 中,BC∥AD,它的中位线长为 28cm,周长为 104cm,AD 比 AB 少 6cm,则 AD∶AB∶BC=( A、8∶12∶5 B、2∶3∶5 ) C、8∶12∶20 D、9∶12∶19

3、如图,已知△ABC 的周长为 1,连结△ABC 三边的中点构成第二个三角形,再 连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形,依此类推,第 2004 个三角 形的周长为( A、
1 2003

) B、
1 2004

C、

1 2
2003

D、

1 2
2004

A

A

H D

A M N O
C

D

E

T

G

B

C

B

F

B

C

选择第 3 题图

选择第 4 题图

解答第 1 题图

4、如图,E、F、G、H 分别是 BD、BC、AC、AD 的中点,又 AB=DC,下列结论: ①EFGH 为矩形;②FH 平分 EG 于 T;③EG⊥FH;④HF 平分∠EHG。其中正确的 是( ) B、②和③ C、①②④ D、②③

A、①和② ④ 三、解答题:

1、如图,在矩形 ABCD 中,BC=8cm,AC 与 BD 交于 O,M、N 分别为 OA、OD 的中点。 (1)求证:四边形 BCNM 是等腰梯形; (2)求这个等腰梯形的中位线长。

2、如图,在四边形 ABCD 中,AB>CD,E、F 分别是对角线 BD、AC 的中点,
1 求证:EF> ( AB ? CD ) 2

A D E F

D

C

E
B C

F B

A

解答第 2 题图

解答第 3 题图

3、如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB∥DC,∠ABC=600,AC 平分∠DAB,E、F 是对角线 AC、BD 的中点,且 EF= a ,求梯形 ABCD 的面积。

4. 如图, 梯形 ABCD 中,AD//BC,中位线 EF 分别与 BD、AC 交于点 G、 H,若 AD=6, BC=10,求 GH 的长。
A D

E

G

H

F

B

C

四、证明题: 1.在等腰梯形 ABCD 中,AD//BC,EF 为中位线,EF=18,AC⊥AB, ?B ? 60? , 求梯形 ABCD 的周长及面积。

A E

D F C

60 ?
B

2.如图,在 ?ABC 中,AD⊥BC 于 D,E、F、G 分别为 AB、BC、AC 的中点,求证: EFDG 是等腰梯形。
A

E

G

B

F

D

C

3.如图等腰梯形 ABCD 中,AB//CD,AD=BC,AB 的中点为 E、DC 的中点为 G,AG 的 中点为 F、BG 的中点为 H。求证:四边形 EFGH 为菱形。
D F G C

H

A

E

B

4.如图,已知在 ? ABC 中,AE=2EC,F 为 AB 中点。BE、FC 交于点 O。求证: (1) FO=CO(2)EO=
1 BE。 4
A G F O B E C

5.如图,已知四边形 ABCD 中,AC=BD,M 和 N 分别是 AD、BC 的中点,连接 MN 分别交 AC 和 BD 于点 F 和 G,AC 和 BD 交于 F 点。求证:EF=EG。
D E M F G N C

A

B

6.如图,在菱形 ABCD 中, ? BAD= 80 ? ,AB 的垂直平分线交对角线 AC 于 F,E 为垂足,连接 DF, 则 ? CDF 的度数是多少?
D

A E

F

C

【课后作业】 一、选择题 *1. 如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,EF 为梯形的中位线, EF 交梯形的对角 线 BD、AC 于 M、N,图中有几条三角形的中位线(
A E B D F C



M

N

A、2 条

B、3 条

C、4 条

D、5 条

2. 如图,梯形的一条对角线 BD 将中位线 EF 分成的两部分的比为 1:2,则梯 形上下两底的比为( )
A E B D

M

F C

A、1:2

B、1:4

C、2:3

D、1:3 )

3. 若等腰梯形两底之差等于一腰的长,那么这个梯形的一个内角是( A、90° B、60° C、45° D 、30°

*4. 如图, 等腰梯形 ABCD 中, AD∥BC, AC⊥BD, AD+BC=10cm, 则梯形的高为 (
A D



B

C

A、8cm

B、5cm

C、10cm

D、11cm )

5. 梯形的面积是 24 cm2 ,高为 6cm,那么它的中位线长为(

A、8cm

B、30cm

C、4cm

D、18cm )

若三角形的三条中位线长分别为 2cm,3cm,4cm,则原三角形的周长为( A.4.5cm B.18cm C.9cm D.36cm

6.如图 2 所示,A,B 两点分别位于一个池塘的两端,小聪想用绳子测量 A,B 间的距离,但绳子不够长,一位同学帮他想了一个主意:先在地上取一个可 以直接到达 A,B 的点 C,找到 AC,BC 的中点 D,E,并且测出 DE 的长为 10m, 则 A,B 间的距离为( A.15m B.25m ) C.30m D.20m

7.已知△ABC 的周长为 1,连结△ABC 的三边中点构成第二个三角形,?再连 结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形,依此类推,第 2010 个三角形 的周长是( ) B、
1 2009

A、

1 2008

C、

1

2

2008

D、

1

2

2009

8.如图 3 所示,已知四边形 ABCD,R,P 分别是 DC,BC 上的点,E,F 分别是 AP,RP 的中点,当点 P 在 BC 上从点 B 向点 C 移动而点 R 不动时, 那么下列 结论成立的是( ) B.线段 EF 的长逐渐减少 D.线段 EF 的长不能确定

A.线段 EF 的长逐渐增大 C.线段 EF 的长不变

9.如图 4,在△ABC 中,E,D,F 分别是 AB,BC,CA 的中点,AB=6,AC=4,则 四边形 AEDF?的周长是( A.10 B.20 ) C.30 D.40

二、填空题 1. 梯形的中位线长 30cm,一条对角线把中位线分成 1:2 两部分,那么梯形 的上底长为 。

*2. 梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=DC,AD=2cm,中位线长是 5cm,高为 3 3cm , 那么这个梯形的腰长等于 。

3. 等腰梯形的上底与高相等,下底是高的 3 倍,则这个等腰梯形较大的内角 度数为 。

*4. 等腰梯形的上底长为 6cm,下底长为 8cm,高为 3cm,则它的对角线长





5.连结三角形___________的线段叫做三角形的中位线. 6.三角形的中位线______于第三边,并且等于_______. 7.一个三角形的中位线有_________条. 8.如图△ABC 中,D、E 分别是 AB、 AC 的中点,则线段 CD 是△ABC 的___, 线段 DE 是△ABC_______ 9.如图,D、E、F 分别是△ABC 各边的中点 (1)如果 EF=4cm,那么 BC=__cm 如果 AB=10cm,那么 DF=___cm (2)中线 AD 与中位线 EF 的关系是___ 10.如图 1 所示,EF 是△ABC 的中位线,若 BC=8cm,则 EF=_______cm.

(1) (4)

(2)

(3)

11.三角形的三边长分别是 3cm,5cm,6cm,则连结三边中点所围成的三角形 的周长是_________cm. 12.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=?5,?BC=?12,?则连结两条直角边中点的线 段长为_______. 三、解答题 1. 如图,在等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=DC=12cm,AD=15cm,∠BAD=120°。 求 BC 的长 。

A

D

B

C

**2. 如图,梯形 ABCD 中,AB∥DC,AD=BC,对角线 AC、BD 相交于点 O,点 E、F、 G 分别是 OD、OA、BC 的中点,∠AOB=60°. 求证:△EFG 是等边三角形。
D E O F A G C

B

3.如图所示,□ ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,AE=EB,求证:OE∥ BC.

4.如图所示,在△ABC 中,点 D 在 BC 上且 CD=CA,CF 平分∠ACB,AE=EB,求 证:EF=
1 BD. 2

5.如图所示,已知在□ABCD 中,E,F 分别是 AD,BC 的中点,求证: MN∥BC.

6.已知:如图,四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点. 求证:四边形 EFGH 是平行四边形.

7.已知:△ABC 的中线 BD、CE 交于点 O,F、G 分别是 OB、OC 的中点. 求证:四边形 DEFG 是平行四边形.

8.已知:如图,E 为□ABCD 中 DC 边的延长线上的一点,且 CE=DC,连结 AE 分别交 BC、BD 于点 F、G,连结 AC 交 BD 于 O,连结 OF.求证:AB=2OF.


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