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2012年全国高中数学联赛模拟卷(7)


2012 年全国高中数学联赛模拟卷(7)第一试
(考试时间:80 分钟 满分:120 分) 一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分)__________
1. 集合 A ? { x 2 a ? 1 ? x ? 3 a ? 5} , B ? { x 3 ? x ? 3 3} , A ? ( A ? B ) , 则 a 的取值范围是_____

______ 2. 某人投两次骰子, 先后得到点数 m , n , 用来作为一元二次方程 x ? m x ? n ? 0 的系数, 则使方程有 实根的概率为______________ F E 3. 过四面体 A B C D 的顶点 D 作半径为 1 的球,该球与四面体 A B C D 的外接球相切
2

于点 D ,且与平面 A B C 相切。若 A D ? 2 3 , ? B A D ? ? C A D ? 45 ? , ? B A C ? 60 ? , A 则四面体 A B C D 的外接球的半径 r =________ 4. 如图, M , N 分别为正六边形 ABCDEF 的对角线 AC,CE 的内分点, AM CN 且 = =λ, 若 B,M,N 三点共线,则 ? =______________ AC CE
2 2

N M B C

D

5. 已知 f ( x ) ? x ? ( b ? 4 ? a ) x ? 3 a ? b 是偶函数,则函数图像与 y 轴交点的纵坐标的最大值是 1 2 2 2 6. 对所有的实数 x 及 1 ? t ? 2 均有 ( x ? t ? 2 ) ? ( x ? a t ) > , 则实数 a 的取值范围是 ______ . 8 7. 定义“n 次幂平均三角形”:如果△ABC 的三边满足等式: b ? (
a ?c
n n 1

) n ( n ? Z ), 则称△ABC 为

2

“n 次幂平均三角形”. 如果△ABC 为“3 次幂平均三角形”, 则角 B 的最大值是
2 2

______ .

8. 设 u , v , w 为复数, 其中 w ? a ? b i ? a , b ? 3, a ? b ? 2 5 ? , u ? w ? 3 v , 若 v ? 1 , 则当 u 的辐角主值 最小时,
u w

的值为_____________

二、解答题(本大题共 3 小题,第 9 题 16 分,第 10、11 题 20 分,共 56 分) 9.定义域为实数集 R 的函数 f(x)同时满足以下 3 个条件:①x>0 时,f(x)>0,②f(1)=2,
③对任意 m,n ? R ,都有 f(m+n) =f(m)+f(n).设集合 A ? { ( x , y ) f (3 x ) ? f ( 4 y ) ? 2 4} ,
2 2

B ? { ( x , y ) f ( x ) ? f ( a y ) ? f (3) ? 0} , C ? { ( x , y ) | f ( x ) ?

1 2

f ( y ) ? f ( a )} ,若 A∩B≠Ф
2

且 A∩C≠Ф ,试求实数 a 的取值范围.

10. 已知双曲线方程 x 2 ?

y

2

? 1 ,是否存在过焦点的直线 l,交双曲线于 A、B 两点,使得∠AOB= .

2

π 2

若存在,求出 l 的方程;若不存在,请说明理由。

2012 年全国高中数学联赛模拟卷(7)答案
1、由条件知 A ? B , ① A=Ф , 2a+1>3a+5, ②
?2a ? 1 ? 3 A≠Ф , ? 3 a ? 5 ? 2 2 , ? ?3a ? 5 ? 2 a ? 1 ?

解得 a<-4 或 1≤a≤9.

2、由题意知, m , n ? ?1, 2, 3, 4, 5, 6 ? ,则事件总数为 36,而方程有实根等价于 m ? 4 n , 即: n ?
2

m 4

2



19 据此可列出 n 的值:1, 2, 3, 4, 5, 6。 m 的个数为:5, 4, 3, 3, 2, 2。即 5+4+3+3+2+2=19,故概率为 36 3、过 D 作平面 A B C 的垂线,垂足为 H ,作 D E ? A B ,垂足为 E , D F ? A C ,垂足为 F , 则 HE ? AB, HF ? AC , 且有 A E ? A F ? A D cos 45 ? ? 6 。 由于 ? A E H ? ? A F H , ? H A E ? 30 ? , 则
AH ? AE co s 3 0 ? ? 2 2 ,D H ?
AD ? AH
2 2

? 2 ,因此 D H 为半径为 1 的球的直径,从而四面体 A B C D

2012 模拟卷(7)

第 1 页 共 3页

的外接球的球心 O 在 D H 的延长线上,于是有 r ? ? r ? 2 ? ? 2 2
2 2

???? ? ???? 3 , AM ? ? AC , 由 ??? ? ??? ? ???? ? ??? ? ???? ??? ? ??? 1 ??? ??? ? ? ? CB , 是 ? P C E 边上的中线,C N ? ? C E ,则有 C A ? C E ? C P , 可得:C M ? ? 1 ? ? ? C A ,又 CP ? 3 CA 2 ???? 1 ? ? ???? 3 ? 1 ? ? ? ??? ? ? ? ? 1 ???? 1 ???? 3 ??? CN ? C B ,因为当 B,M,N 三点共线时, 即: CM ? C N ? C B ,整理得:C M ? 2? 2 1? ? 2? 2 ???? ? ???? ??? ? 3 ?1 ? ? ? 1? ? 3 ? ? 1 ,解得 ? ? 存在实数 t 使得 C M ? ? 1 ? t ? C N ? t C B ,故 2? 2 3

?

?

2

,解得 r ? 3 .

4、 延长 EA, 交于 P, CB 设正方形边长为 1, 易知 PB=2, 为 EP 的中点, A EA=AP=

?

?

5、∵ f ( x ) 是偶函数, ∴ f ( ? x ) ? f ( x ) , 即 x ? ( b ? 4 ? a ) x ? 3 a ? b ? x ? ( b ? 4 ? a ) x ? 3 a ? b ,
2 2 2 2

. f ( x ) 的图像与 y 轴交点的纵坐标是 3 a ? b ? 3 a ? 设 a=2cosθ, b=2sinθ, θ∈[0, π], 3a-b=6cosθ-2sinθ, 当 θ=π 时,最大为 6
(b ?
2

4 ? a )x ? 0 ,b ?
2 2

4?a

2

4?a ,
2

6、 2[( x ? t ? 2) ? ( x ? at ) ] ? [( x ? t ? 2) ? ( x ? at )] ? [( x ? t ? 2) ? ( x ? at )]
2 2 2 2

2

2[( x ? t ? 2) ? ( x ? at ) ] ? (2 x ? t ? 2 ? at ) ? ( t ? 2 ? at )
2 2 2 2 2 2

2

即 ( 2 x ? t ? 2 ? a t ) ? (t ? 2 ? a t ) ?
2 2 2 2

1 4

恒成立, 则 ( t ? 2 ? a t ) ?
2 2

1 4

,
2

即 t ? 2 ? at ?
2

1 2

或t ? 2 ? at ? ?
2

1 2

t ?
2

3 2 或a ?

t ?
2

5 2 .

t ?

3 2 ?

2 t ?
2

3 2 ? 6,

. a?
t
2


t

t 3 2) ? m in t ?
2

t

当且仅当 t ?
2
2

3 2

, 即t ?
5 5

6 2

t ?
? [1, 2 ] .故 a ? (

6 . 5 2) ? m ax 1 ?
2

t

t ?

5

又易知函数

2 ? t ? 2 在 [1, t t

2 ] 单调递减,

故a ? (
t

2 ? 7 . 1 2

综上可知, 实数 a 的取值范围是 ( ? ? , 6 ) ? ( , ? ? ) .
2

7

7. 解:注意到条件 b ? (

a ?c
3

3

1

) 3 , 猜想当 a ? c 时, 角 B 达到最大值, 由余弦定理知,
a ?c ?(
2 2

2
a ?c
3 3 2

此时 co s B ?

a ?c ?b
2 2

2

)3 ?

a ?c ?(
2 2

a ?a
3

3

2

)3 ?

? 2ac

2

2 2a
2

1 2

, 得到 B=

?
3

.

2ac
1 2
2 2 3 3 3 2

a ?c ?(
2 2

a ?c
3

3

2

)3 ?

为此只需证明 co s B ?

. 即证明 co s B ?
2ac
2 2

2
2

1 2

,

即 4( a ? ac ? c ) ? ( a ? c ) ? [( a ? c )( a ? ac ? c )] , 即 4( a ? ac ? c ) ? ( a ? c ) , 即 3( a ? c ) ? 0 . 显然.
2 2 2 2

8、因为 v ? 1 ,所以 u ? w ? 3 v ? 3 ,于是 u 对应的点 P 在以 w 对应的点 M 为圆心, 3 为半经的圆 C 上,当 u 的辐角主值最小时,OP 与圆 C 相切,而 O M ? 5 , P M ? 3 , 则 O P ? 4 ,于是
w u ? 5 4

,又

w u

的辐角主值 ? ? ? P O M , co s ? ?

4 5

, sin ? ?

3 5



2012 模拟卷(7)

第 2 页 共 3页

所以

w u

?

u 16 12 5?4 3 ? 3 ? i ? ? i ? ? 1 ? i ,故 ? 4?5 5 ? 4 w 25 25

9、由条件③令 m=0 得 f(0)=0;再令 m=x,n=-x 得:f(-x) =-f(x);所以 f(x)在 R 上是奇函数. 设 x1,x2∈R,且 x2>x1,则 x2-x1>0,由①和③知: f ? x 2 ? x 1 ? ? f ? x 2 ? ? f ? ? x 1 ? ? f ? x 2 ? ? f ? x 1 ?> 0 ,所以 f ? x ? 在 R 上是增函数. 由 f(1)=2 及③可得:24=12f(1)=f(12),所以 f(3x2)+f(4y2)≤24, 即 f(3x2+4y2)≤f(12),从而 A ?

?? x , y ? 3 x

2

? 4y

2

? 12 ;

?

由 f(x) -f(ay)+f(3)=0 得:f(x-ay+3)=f(0),从而 B ? ? ? x , y ? x ? ay ? 3 ? 0 ? ; 由 f ?x ? ?
1 2 f y

? ? ? f ? a ? 得: f ? 2 x ? a ? ? f ? y ? ,从而 C ? ? ? x , y ?
2
2

y ? 2 x ? 2a ;
2

?

由 A∩B≠Ф 可求得: a ?

15 3
? ?

;由 A∩C≠Ф 可求得: ?
13 6 ,? ? 15 ? 15 ? ,2 ? . ?? ? 3 ? ? 3 ?

13 6

? a ? 2;

所以实数 a 的取值范围是: ? ? 10、 x ?
2

y

2

? 1 .①, 焦点坐标 ?

2

?

3 , 0 ,不防设 l 过右焦点 F:

?

?

3 ,0 .

?

若 l ? x 轴,则 A,B 坐标为 故可设 l 的方程为 y ? k x ? ∵ ? AOB ?
?
2
2

?

3 , ? 2 , 3 , ? 2 ? ? AOB ? 2 arctan

??

?

2 3



?
2

,矛盾!

?

3 .②

?

设 A: 1,y1),B(x2,y2). (x ③
2 2

,∴

y1 x1
2

?

y2 x2

? ? 1 ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 .

由①、②,得 2 x ? k x ? 3 ? 2 ? ?k ? 2 ?x ? 2 3 k x ? ?3 k ? 2 ? ? 0 . k2=2 时,④只有一个根,至多只能对应一个交点,不可能.故 k2≠2.
2 2 2

?

?



由韦达定理得

x1 ? x 2 ?

2 3k k
2 2
2

2

?2

, ⑤ ⑥
3 ? k

x1 x 2 ?

3k k
2

?2 ?2
1



由②、⑤、⑥,得 y 1 y 2 ? k

?x

?

3 x2 ?

??

?

2

?x x
1

2

?

3 ? x1 ? x 2 ? ? 3

?

2 2 ? 3k 2 ? 2 6k 3k ? 6 2 ? k ? 2 ? 2 ? 2 ? k ?2 k ?2 ? k ?2

2 ? 4k ? ? ? 2 . ? k ?2 ?



由③、⑥、⑦,得

? 0 ,矛盾! 2 2 ?2 k ?2 k ?2 故不存在过右焦点的直线 l ,同时满足条件(1)(2) 、 .同理,也不存在过左焦点的直线满足题意. k
2

3k

2

?2

?

4k

2

? 0?

2?k

2

2012 模拟卷(7)

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