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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学(苏教版,必修一) 第二章函数 2.3 课时作业]


§2.3
课时目标

映射的概念

1.了解映射的概念.2.了解函数与映射的区别与联系.

1.一般地,设 A、B 是两个非空集合,如果按某种对应法则 f,对于 A 中的________元素, 在 B 中都有______的元素与之对应,那么,这样的__________叫做集合 A 到集合 B 的映 射,记作__

______. 2.映射与函数 由映射的定义可以看出,映射是______概念的推广,函数是一种特殊的映射,要注意构 成函数的两个集合 A,B 必须是__________.

一、填空题 1.设 f:A→B 是从集合 A 到集合 B 的映射,则下面说法正确的是________.(填序号) ①A 中的每一个元素在 B 中必有元素与之对应; ②B 中每一个元素在 A 中必有元素与之对应; ③A 中的一个元素在 B 中可以有多个元素与之对应; ④A 中不同元素在 B 中对应的元素必不同. 2 .已知集合 P = {x|0≤x≤4} , Q = {y|0≤y≤2} ,下列能表示从 P 到 Q 的映射的是 ________.(填序号) 1 1 2 ①f:x→y= x;②f:x→y= x;③f:x→y= x; 2 3 3 ④f:x→y= x. 3.下列集合 A 到集合 B 的对应中,不能构成映射的是________.(填序号)

4.下列集合 A,B 及对应法则能构成函数的是________.(填序号) ①A=B=R,f(x)=|x|; 1 ②A=B=R,f(x)= ; x ③A={1,2,3},B={4,5,6,7},f(x)=x+3; ④A={x|x>0},B={1},f(x)=x0. 5.给出下列两个集合之间的对应法则,回答问题: ①A={你们班的同学},B={体重},f:每个同学对应自己的体重; ②M={1,2,3,4},N={2,4,6,8},f:n=2m,n∈N,m∈M; ③M=R,N={x|x≥0},f:y=x4; ④A={中国,日本,美国,英国},B={北京,东京,华盛顿,伦敦},f:对于集合 A 中

的每一个国家,在集合 B 中都有一个首都与它对应. 上述四个对应中映射的个数为______,函数的个数为______. 6. 集合 A={1,2,3}, B={3,4}, 从 A 到 B 的映射 f 满足 f(3)=3, 则这样的映射共有________ 个. 7.设 A=Z,B={x|x=2n+1,n∈Z},C=R,且从 A 到 B 的映射是 x→2x-1,从 B 到 1 C 的映射是 y→ ,则经过两次映射,A 中元素 1 在 C 中的对应的元素为________. 2y+1 8.设 f,g 都是由 A 到 A 的映射,其对应法则如下表: 映射 f 的对应法则如下: 1 2 3 4 A 中元素 3 4 2 1 对应元素 映射 g 的对应法则如下: 1 2 3 4 A 中元素 4 3 1 2 对应元素 则 f[g(1)]的值为________. 9.已知 f 是从集合 M 到 N 的映射,其中 M={a,b,c},N={-3,0,3},则满足 f(a)+f(b) +f(c)=0 的映射 f 的个数是________. 二、解答题 10.设 f:A→B 是集合 A 到集合 B 的映射,其中 A={正实数},B=R,f:x→x2-2x-1, 求 A 中元素 1+ 2在 B 中的对应元素和 B 中元素-1 在 A 中的对应元素.

11.已知 A={1,2,3,m},B={4,7,n4,n2+3n},其中 m,n∈N*.若 x∈A,y∈B,有对 应法则 f:x→y=px+q 是从集合 A 到集合 B 的一个映射,且 f(1)=4,f(2)=7,试求 p,q, m,n 的值.

能力提升 12.已知集合 A=R,B={(x,y)|x,y∈R},f:A→B 是从 A 到 B 的映射,f:x→(x+1, 3 5? x2+1),求 A 中元素 2在 B 中的对应元素和 B 中元素? ?2,4?在 A 中的对应元素.

13.在下列对应法则中,哪些对应法则是集合 A 到集合 B 的映射?哪些不是. (1)A={0,1,2,3},B={1,2,3,4},对应法则 f:“加 1”; (2)A=(0,+∞),B=R,对应法则 f:“求平方根”; (3)A=N,B=N,对应法则 f:“3 倍”; (4)A=R,B=R,对应法则 f:“求绝对值”; (5)A=R,B=R,对应法则 f:“求倒数”.

1. 映射中的两个集合 A 和 B 可以是数集、 点集或由图形组成的集合等, 映射是有方向的, A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射往往是不一样的. 2.对应、映射、函数三个概念既有区别又有联系,在了解映射概念的基础上,深刻理解 函数是一种特殊的映射,而映射又是一种特殊的对应. 3.判断一个对应是否是映射,主要看第一个集合 A 中的每一个元素在对应法则下是否都 有对应元素,若有,再看对应元素是否唯一,若惟一则这个对应就是映射.

2.1.4

映射的概念

知识梳理 1.每一个 惟一 单值对应 f:A→B 2.函数 非空数集 作业设计 1.① 2.①②④ 解析 如果从 P 到 Q 能表示一个映射,根据映射的定义,对 P 中的任一元素,按照对应 2 8 法则 f 在 Q 中有惟一元素和它对应,选项③中,当 x=4 时,y= ×4= ?Q. 3 3 3.①②③ 解析 ①、②中的元素 2 没有对应的元素;③中 1 的对应有两个;只有④满足映射的定 义. 4.①③④ 解析 在②中 f(0)无意义,即 A 中的数 0 在 B 中找不到和它对应的数. 5.4 2 解析 ①、②、③、④都是映射;②、③是函数. 6.4 解析 由于要求 f(3)=3,因此只需考虑剩下两个元素的对应元素的问题,总共有如图所 示的 4 种可能.

1 3 解析 A 中元素 1 在 B 中对应的元素为 2×1-1=1, 1 1 而 1 在 C 中对应的元素为 = . 2×1+1 3 8.1 解析 ∵g(1)=4,∴f[g(1)]=f(4)=1. 9.7 7. f?a?=3, ? ? 解析 ?f?b?=0, ? ?f?c?=-3, f?a?=-3, ? ? ?f?b?=3, ? ?f?c?=0, f?a?=-3, ? ? ?f?b?=0, ? ?f?c?=3, f?a?=0, ? ? ?f?b?=3, ? ?f?c?=-3, f?a?=3, ? ? ?f?b?=-3, ? ?f?c?=0, f?a?=0, ? ? ?f?b?=-3, ? ?f?c?=3,

f(a)=f(b)=f(c)=0. 10.解 当 x=1+ 2时,x2-2x-1=(1+ 2)2-2×(1+ 2)-1=0,所以 1+ 2的对应 元素是 0. 当 x2-2x-1=-1 时,x=0 或 x=2. 因为 0?A,所以-1 的对应元素是 2. 11.解 由 f(1)=4,f(2)=7,列方程组: ?p+q=4 ?p=3 ? ? ? ?? . ? ? ?2p+q=7 ?q=1 故对应法则为 f:x→y=3x+1.由此判断出 A 中元素 3 的对应值是 n4 或 n2+3n.若 n4=10, 因为 n∈N*,不可能成立,所以 n2+3n=10,解得 n=2(舍去不满足要求的负值).又当集 合 A 中的元素 m 的对应元素是 n4 时,即 3m+1=16,解得 m=5.当集合 A 中的元素 m 的 对应元素是 n2+3n 时,即 3m+1=10,解得 m=3.由元素互异性知,舍去 m=3.故 p=3, q=1,m=5,n=2. 12.解 将 x= 2代入对应法则,可求出其在 B 中的对应元素( 2+1,3). 3 x+1= , 2 1 由 得 x= . 2 5 x2+1= , 4 3 5? 1 所以 2在 B 中的对应元素为( 2+1,3),? ?2,4?在 A 中对应元素为2. 13.解 (1)中集合 A 中的每一个元素通过对应法则 f 作用后,在集合 B 中都有唯一的一 个元素与之对应,显然,对应法则 f 是 A 到 B 的映射. (2)中集合 A 中的每一个元素通过对应法则 f 作用后,在集合 B 中都有两个元素与之对应, 显然对应法则 f 不是 A 到 B 的映射. (3)中集合 A 中的每一个元素通过对应法则 f 作用后,在集合 B 中都有唯一的元素与之对 应,故对应法则 f 是从 A 到 B 的映射. (4)中集合 A 中的每一个元素通过对应法则 f 作用后,在集合 B 中都有唯一的元素与之对 应,故对应法则 f 是从 A 到 B 的映射.

? ? ?

1 (5)当 x=0∈A, 无意义,故对应法则 f 不是从 A 到 B 的映射. x


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