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数学(人教版)必修四:1.1.2 弧度制


1.1.2 弧度制
课前预习学案 一、预习目标: 1.了解弧度制的表示方法; 2.知道弧长公式和扇形面积公式. 二、预习内容 初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒,它们是 60 进制,角是否可以用其它 单位度量,是否可以采用 10 进制? 自学课本第 7、8 页.通过自学回答以下问题: 1、 角的弧度制是如何引入的? 2、 为什么要引入弧度制?好处是什么? 3、 弧度是如何定义的? 4、 角度制与弧度制的区别与联系? 三、提出疑惑 1、平角、周角的弧度数? 2、角的弧度制与角的大小有关,与角所在圆的半径的大小是否有关? 3、角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系?

课内探究学案 一、学习目标 1.理解弧度制的意义; 2.能正确的应用弧度与角度之间的换算; 3.记住公式 | ? |?

l ( l 为以. ? 作为圆心角时所对圆弧的长, r 为圆半径) ; r

4.熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。 二、重点、难点 弧度与角度之间的换算; 弧长公式、扇形面积公式的应用。 三、学习过程 (一)复习:初中时所学的角度制,是怎么规定 1 角的?角度制的单位有哪些,是多少 进制的? (二)为了使用方便,我们经常会用到一种十进制的度量角的单位制——弧度制。 <我们规定> 叫做 1 弧度的角,用符号 表示, 读作 。 练习:圆的半径为 r ,圆弧长为 2r 、 3r 、
?

r 的弧所对的圆心角分别为多少? 2

<思考>:圆心角的弧度数与半径的大小有关吗?
由上可知:如果半径为 r 的园的圆心角 ? 所对的弧长为 l ,那么,角 ? 的弧度数的绝对值是: , ? 的正负由 ,负角的弧度数是一个 决定。 ,零角的弧度数

正角的弧度数是一个 是 。

<说明>:我们用弧度制表示角的时候, “弧度”或 rad 经常省略,即只写一实数表
示角的度量。 例如:当弧长 l ? 4? r 且所对的圆心角表示负角时,这个圆心角的弧度数是

l 4? r ? | ? |? ? ? ? ? ?4? . r r

(三)角度与弧度的换算

360? ? 2? rad ? 1? ? rad ? 0.01745 rad 180
归纳:把角从弧度化为度的方法是: 把角从度化为弧度的方法是:

180? ? ? rad 180 )? ? 57?18? 1 rad = ( ?

<试一试>:一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整
30° 0 90° 120° 150° 270°

? 4

? 3

3? 4

?

2?

例 1、把下列各角从度化为弧度: (1) 252
0

(2) 11 15

0

/

(3) 30

0

(4) 67 ?30 '

变式练习:把下列各角从度化为弧度: (1)22 ?30′ (2)—210?

(3)1200?

例 2、把下列各角从弧度化为度: (1) ?

3 5

(2) 3.5

(3) 2

(4)

? 4

变式练习:把下列各角从弧度化为度:

(1)

? 12

(2)—

4? 3

(3)

3? 10

(四)弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一 个一一对应关系. 正角 零角 负角 正实数 零 负实数

(五) 弧度下的弧长公式和扇形面积公式 弧长公式:
r

l ?| ? | ?r

(1) l ? ? R
2

(2) S ? ?lR ?| ? 因为 | ? |? l (其中 l 表示 ? 所对的弧长) ,所以,弧长公式为
扇形面积公

(1)S ?

说明:以上公式中的 ? 必须为弧度单位.

1 ?R 2; 2

1 2 1 (3) S ? lR (2) 2

| ?r .

式: .

例 3、知扇形的周长为 8 cm ,圆心角 ? 为 2rad, ,求该扇形的面积。

变式练习 的弧度数。

1、半径为 120mm 的圆上,有一条弧的长是 144mm,求该弧所对的圆心角

2、半径变为原来的

1 ,而弧长不变,则该弧所对的圆心角是原来的 2

倍。

3 、 若 2 弧 度 的 圆 心 角 所 对 的 弧 长 是 4cm , 则 这 个 圆 心 角 所 在 的 扇 形 面 积 是 .

4、以原点为圆心,半径为1的圆中,一条弦 AB 的长度为 3 , AB 所对的圆心角 ? 的弧度数为 . (六) 课堂小结: 1、弧度制的定义; 2、弧度制与角度制的转换与区别; 3、牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式,并灵活运用;

(七)作业布置 习题 1.1A 组第 7,8,9 题。

课后练习与提高 1.在 ?ABC 中,若 ?A : ?B : ?C ? 3 : 5 : 7 ,求 A,B,C 弧度数。

2.直径为 20cm 的滑轮,每秒钟旋转 45 ,则滑轮上一点经过 5 秒钟转过的弧长是 多少?

?

3.选做题 如图,扇形 OAB 的面积是 4cm ,它的周长是 8cm ,求扇形的中心角及弦 AB 的 长。
2

B

A O


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