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2015学年浙江省第一次五校联考数学(文科)试题卷(附答案)


2015 学年浙江省第一次五校联考

数学(文科)试题卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分. 全卷共 4 页, 选择题部分 1 至 2 页, 非选择题部分 3 至 4 页. 满 分 150 分, 考试时间 120 分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 参考公式:
柱体的体积公式 V=Sh 锥体的体积公式 V= 台体的体

积公式 V ?
1 3

其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 Sh
h ( S1 ? S1S 2 ? S 2 )

其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高

1 3

其中 S1,S2 分别表示台体的上,下底面积 其中 R 表示球的半径,h 表示台体的高 其中 R 表示球的半径

球的表面积公式 S=4πR2 球的体积公式 V=
4 3

πR3

第Ⅰ卷(选择题

共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.
x 1.已知全集 U ? R , A ? { y | y ? 2 ? 1} , B ? {x | ln x ? 0} ,则 (CU A) ? B ? (



1 ? x ? 1} C. {x | x ? 1} 2 a 2.设 x ? 0 ,则“ a ? 1 ”是“ x ? ? 2 恒成立”的( ) x
A. ? B. { x | A.充分不必要条件 C.充分必要条件 3. 已知函数 f ( x) ? 2sin(2 x ? B.必要不充分条件

D. x 0 ? x ? 1

?

?

D.既不充分也不必要条件

?
6

), 把函数 f ( x ) 的图象沿 x 轴向左平移
) B. 其图象关于直线 x ? ? D. 当 x ? [0,

? 个单位, 得到函数 g ( x) 的图象. 6

关于函数 g ( x) ,下列说法正确的是( A. 在 [

? ? , ] 上是增函数 4 2

?
4

对称

] 时,函数 g ( x) 的值域是 [?1, 2] ? a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4.已知 a, b 为平面向量,若 a ? b 与 a 的夹角为 , a ? b 与 b 的夹角为 ,则 ? =( ) 3 4 b
C. 函数 g ( x) 是奇函数

?

3

A.

3 3

B.

6 3

C.

5 3

D.

6 4

数学(文科)试题卷·第 1 页(共 4 页)

5.设 a、b 是两条不同的直线, ?、? 是两个不同的平面,则下面四个命题中错误 的是( .. (A)若 a ? b, a ? ? , b ? ? ,则 b // ? (C)若 a ? ? , ? ? ? ,则 a // ? 或 a ? ? (B)若 a ? b, a ? ? , b ? ? ,则 ? ? ? (D)若 a // ? , ? ? ? ,则 a ? ?



CB 的值为( 6. 在 ?ABC 中, AB ? 3 , AC ? 4 , BC ? 5 ,若 I 为 ?ABC 的内心,则 CI ·
A. 6 B. 10 C. 12 D.15

??? ??? ?



7.已知等差数列 ?a n ?的公差 d ? 0 ,且 a1 , a3 , a13 成等比数列,若 a1 ? 1 , S n 为数列 ?a n ?的前 n 项和, 则

2 S n ? 16 的最小值为( an ? 3
B. 3

) C. 2 3 ? 2

A. 4

D.

9 2

8. 定义域为 R 的偶函数 f ( x) 满足对 ?x ? R ,有 f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (1) ,且当 x ? [2,3] 时, f ( x) ? ?2 x ? 12 x ? 18 ,若函 数 y ? f ( x) ? log a (| x | ?1) 至少有 6 个 零 点,则 a 的取值范围是(
2

)

A. (0,

2 ) 2

B. (0,

3 ) 3

C.

(0,

5 ) 5

D. (0,

6 ) 6

第Ⅱ卷

非选择题部分(共 110 分)
, cos(a3 ? a7 )

二、填空题: (本大题共 7 小题, 前 4 小题每题 6 分, 后 3 小题每题 4 分,共 36 分) . 9. 已知 ?an ? 为等差数列, 若 a1 ? a5 ? a9 ? 8? , 则 ?an ? 前 9 项的和 S9 ? 的值为 ▲ . ▲

10. 已知 cos(? ?

?

1 ) ? ? , ? 为锐角,则 sin 2? = 4 3



, sin(2? ?

?
3

)= ▲

11. 所谓正三棱锥,指的是底面为正三角形,顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥,在正三棱 锥 S ? ABC 中, M 是 SC 的中点,且 AM ? SB ,底面边长 AB ? 2 2 ,则正三棱锥 S ? ABC 的体积为 ▲ ,其外接球的表面积为 ▲

12. 己知 a ? 0, b ? 0, 且 a ? b ? 1, 则 ?

? 1 ?? 1 ? ? 1?? 2 ? 1? 的最小值为___▲____. 2 ?a ?? b ?

a2 ? 1 的最小值为 ab
13. 已知不等式组





? x ? 2 y ? 1≥ 0, ? ? x ≤ 2, ? x ? y ? 1≥ 0 ?


表示的平面区域为 D, 若函数 y ? x ?1 ? m 的图像上存在区域 D 上的点,

则实数 m 的取值范围是

数学(文科)试题卷·第 2 页(共 4 页)

??2 x 2 ? 2 x, x ? 1 ? 14.已知函数 f ( x) ? ? 1 ,若对任意 x ? R, f ( x) ? x ? k ? x ?1 ? 0 恒成立,则实数 k 的取 ? 1, x ? 1 ? ? x
值范围是 ▲ 15.如图,矩形 ABCD 中,AB=2AD,E 为边 AB 的中点,将△ADE 沿直线 DE 翻折成△A1DE.若 M 为线段 A1C 的中点, 则在△ADE 翻折过程中, 下 面四个选项中正确的是 (1)|BM|是定值 (3)存在某个位置,使 DE⊥A1 C ▲ (填写所有的正确选项) (2)点 M 在某个球面上运动 (4)存在某个位置,使 MB//平面 A1DE

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 14 分) 已知命题 p : x1 , x2是方程x2 ? mx ?1 ? 0 的两个实根,且不等式

a 2 ? 4a ? 3 ?| x1 ? x2 | 对任意 m ? R 恒成立;命题 q: 不等式 x2 ? 2 x ? a ? 0 有解,若命题 p ? q 为真,
p ? q 为假,求 a 的取值范围.

17. (本题满分 15 分)
3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? , ( x ? R ) 2 2 ? 5? (1)当 x ? [? , ] 时,求函数 f ( x) 的值域. 12 12

已知函数 f ( x) ?

?? (2)设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对应边分别为 a , b, c ,且 c ? 3, f (C) ? 0 ,若向量 m ? (1,sin A) ? 与向量 n ? (2,sin B) 共线,求 a , b 的值。

数学(文科)试题卷·第 3 页(共 4 页)

18. (本题满分 15 分)如图,在多面体 ABCDEF 中,正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在平面互相垂直,

AB // CD ,AD ? CD , AB ? AD ? ?, CD ? ? , M 、 N 分别为 EC 和 BD 的中点.
(1)求证: BC ? 平面 BDE (2)求直线 MN 与平面 BMC 所成的角的正弦值. F M E

D N A B

C

19.(本题满分 15 分) 已知数列 {an } 为等比数列,其前 n 项和为 S n ,已知 a1 ? a4 ? ? 等差数列. (1)求数列 {an } 的通项公式. (2)已知 bn ? n( n ? N ? ) ,记 Tn ? 求实数 m 的范围.
b b b1 b ) 2 ? mT ( n?n ?1 ) ? 2 ? 3 ? ? ? n ,若 (n ?1 a1 a2 a3 an

7 ,且对于任意的 n ? N ? 有 S n , S n ? 2 ,S n ?1 成 16

对于 n ? 2 恒成立,

20.(本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 x ? a , g ( x) ? (1)若 a ? 0, 解不等式 f ( x) ? a (2)若 a ? 1 ,对任意 t ? [3,5] , f ( x) ? g (t ) 在 x ? [3,5] 总存在两不相等的实数根,求 a 的 取值范围.

x2 ? a (a?R ) x ?1

数学(文科)试题卷·第 4 页(共 4 页)

2015 学年浙江省第一次五校联考

数学(文科)答案
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内 容制订相应的评分细则. 二、对计算题,当考生的题答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容与难度,可 视影响的程度决定后续部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较 严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分,满分 40 分. 1 2 3 4 5 6 D A D B D D 二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 36 分. 9. 24? , ? 13. [ ?2,1]

7 A

8 B

1 2

10.

7 7?4 6 , 9 18

11.

4 12? , 3

12.9, 2 ? 2 2

14. k ? 1或k ?

1 15.(1)(2)(4) 2
P,Q 一真一假 ? a ? ?5 或 a ? 1

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 答案:P: ?5 ? a ? 1 17. (1) f ( x) ? Q: a ? 1

? 3 1 3 1 ? cos 2 x 1 sin 2 x ? ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? sin(2 x ? ) ? 1 6 2 2 2 2 2
?x? 5? ? ? 2? 3 ? ,∴ ? ? 2 x ? ? ,∴ ? ? sin(2 x ? ) ? 1 , 12 3 6 3 2 6

∵?

?
12

∴?1?

3 3 ? ,最大值是 0 。 ? sin(2 x ? ) ? 1 ? 0 ,∴ f ( x ) 的最小值是 ? 1 ? 2 6 2

(2) f (C ) ? sin(2C ?

? ) ? 1 ? 0 ,则 sin(2C ? ) ? 1 , 6 6 ? ? 11? ? ? ? ∵ 0 ? C ? ? ,∴ ? ? 2C ? ? ,∴ 2C ? ? ,解得 C ? . 3 6 6 6 6 2
∵向量 m ? (1, sinA) 与向量 n ? (2, sinB) 共线,∴ sin B ? 2sin A , 由正弦定理得, b ? 2a
2 2

?


2

由余弦定理得, c ? a ? b ? 2ab cos

?
3

,即 a 2 ? b 2 ? ab ? 3



数学(文科)试题卷·第 5 页(共 4 页)

由①②解得 a ? 1, b ? 2 . 18. (Ⅰ)在梯形 ABCD 中,取 CD 中点 H,连接 BH, ∵ AD ? AB, AB // CD ,AD ? CD ,∴四边形 ADHB 为正方形,
2 2 2 ? ? BD ? AD ? AB ? 2 ? 2 2 2 ? BC ? HC ? HB ? 2 ,∴ CD? ? BD? ? BC ? ,∴ BC ? BD ∵?

∵平面 ADEF ? 平面 ABCD,平面 ADEF ? 平面 ABCD ? AD ,DE ? AD , ∴ DE ? 平面 ABCD ,∴ BC ? DE ,又∵ BD ? DE ? D ,∴ BC ? 平面 BDE . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 CD ? 平面 ABCD, AD ? CD ,∴以 DE,DA,DC 两两垂直. 以 D 为坐标原点建立如图所示直角坐标系 D ? xyz , 则 C (?,?,? ) , B(?,?,? ) , E (?,?,?) , M (?,?, ) , N ( , z

? ?

? ? ,?) , E ? ?
F M H N B C y

? BC ? (??,?,?) , MC ? (?,?,? ) ?
设 n ? ( x, y, z ) 为平面 BMC 的法向量,则 ?

? ? n ? BC ? ? , ? ?n ? MC ? ?

D

?? x ? y ? ? A ? ? 即? 可取 n ? (?,?,?) y? z?? ? x ? ? ? ? ? MN ? ( , - , - ) n ? MN ? ? ? ? ,所以 cos ? n 又 , MN ?? ?? ? | n || MN |
? 直线 MN 与平面 BMC 所成的角的正弦值为 ?

1 19. (1) 设公比为q, ? S1 , S3 , S2成等差,? 2S3 ? S1 ? S 2 , ? 2a1 (1 ? q ? q 2 ) ? a1 (2 ? q ), 得q =- , 2

7 1 1 , ? a1 =- ,所以an ? a1q n ?1 ? (? ) n ????5 分 16 2 2 b 1 (2)? bn ? n, an ? (? )n ,? n ? n ? 2n , 2 an
3 又a1 +a4 =a ( =1 1+q )

?Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ?? n ? 2n
2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ?? ?(n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1 ??Tn ? 2 ? 22 ? 23 ? ?? 2n ? n ? 2n?1
?Tn ? ?( 2 ? 2n?1 ? n ? 2n?1 ) ? (n ? 1) ? 2n?1 ? 2 1? 2 2 n?1 若 (n ?1)2 ? m(Tn ? n ?1) 对于 n ? 2 恒成立,则 (n ?1) ? m[(n ?1) ? 2 ? 2 ? n ?1] , n ?1 (n ?1)2 ? m(n ?1) ? (2n?1 ?1) ,? m ? n ?1 , 2 ?1
数学(文科)试题卷·第 6 页(共 4 页)

n n ?1 (2 ? n) ? 2n?1 ? 1 n ?1 , f ( n ? 1) ? f ( n ) ? ? ? ?0 2n ?1 ? 1 2n? 2 ? 1 2n?1 ? 1 (2n? 2 ? 1)(2n?1 ? 1) 1 1 ?m ? ∴ f ( n) 为减函数, ? f (n) ? f (2) ? 7 7 a a a a 20. (1) ? a ? 0, ? f ( x) 在 (??, ] 单调递增,在 [ , ] 单调递减,在 [ , ??) 单调递增, 2 2 4 4
令 f ( n) ? 若 f( )??

a 4

a2 a ? a 2 ? 8a ? a 即 ?8 ? a ? 0 时,令 x(a ? 2 x) ? a 解得 x1 ? 8 4

? 不等式的解为 x ?
若 f( )??

a ? a 2 ? 8a 4

a 4

a2 a ? a 2 ? 8a ? a 即 a ? ?8 时,令 x(2 x ? a) ? a 解得 x1,2 ? 8 4

a ? a 2 ? 8a a ? a 2 ? 8a a + a 2 ? 8a ?x? 或x ? 4 4 4 2 a ? a ? 8a 综上: ?8 ? a ? 0 不等式的解为 x ? 4 a ? a 2 ? 8a a ? a 2 ? 8a a + a 2 ? 8a a ? ?8 不等式的解为: ?x? 或x ? 4 4 4
据图像:不等式的解为:
a 2 a a ? (x- )+    x ? ? ?2 4 8 2 (2) f ( x) ? x 2x ? a ? ? a 2 a2 a (x- ) ?    x ? ? 4 8 2 ?2 a a a a ? a ? 1, ? f ( x) 在 (??, ] 单调递增,在 [ , ] 单调递减,在 [ , ??) 单调递增, 4 4 2 2 a a ? 3 ? ? 5或3 ? ? 5 ,即 6 ? a ? 10或12 ? a ? 20 , 2 4
2

1? a 9 ? a 25 ? a x2 ? a ? 1 在 x ? [3,5] 单调递增,? g ( x) ? [ , ] = x ?1? ? g ( x) ? x ?1 2 4 x ?1
1)当 6 ? a ? 10 时, f ( x) 在 [3, ] 单调递减在 [ , 5] 单调递增
) ? g (3) ? f( a 2 a g ? 必须 [ g (3), g (5)] ? [ f ( ), min{ f (3), f (5)}] ,即 ? g (5) ? f(3), (5) 2 ?

a 2

a 2

? (5) f

?

97 ?a?9 13

2) 当 12 ? a ? 20 时, f ( x) 在 [3, ] 单调递增,在 [ , 5] 单调递减

a 4

a 4

) ? g (5)? f ( a 4 a [ g (3), g (5)] ? [ f ( ), max{ f (3), f (5)}] ,即? ? g (3)? f (3), g (5) ? f (5) 4 ?

? a??

综上,

97 ? a ? 9 为所求 13
数学(文科)试题卷·第 7 页(共 4 页)


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