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导数学习易错点归纳


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圈盈口  『
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j  j  l  j  j  上 

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河南 教育 社

韩 可立  剖 析 : 导 数 的 几 何 意 义 知 f ( ) 曲 线  由    。 是


导 数作为 一 种工 具 , 求 函数 的 单 调性 、 值 和  在 最 切线 方 程等 问题时极 为方便 , 以解 决许 多初 等数 学  可
中需要很 高技 巧性 的问 题. 学 生 在 学 习导 数 时 ,   但 由

厂 ) 点 ( 。 f x ) 处 的 切 线 的 斜 率 , 中 点  ( 在   , ( 。) 其

( 。 f x ) 在 曲线上 ,   , (。) 而点 A( 1 4 显 然 不在 曲线  一 ,) 上. 故上 述解法 不正确 .   正解 : 设切 点坐标 为 P( 。 y ) 则 y 一  一5 : x ,。 , 。 x 
+6 .  0 

于对导数 基本 概 念 、 论 的理 解 存 在 着误 区 , 使 在  理 致 应 用时 常 常 出错 . 文 对 有 关 的 易 错 点 举 例 加 以归  本 纳, 供参 考.  
易 错 点 一 : 视 了 “ 某 点 的 切 线 ” “ 某 点 处  忽 过 与 在 的 切 线 ” 差 别  的

则过 点 P 的切 线 方 程 为 Y—Y 一 ( x 一 1 x  o 3  0o
+ 6  — 0   )( ),

例 1 过 曲线  一 +2    上 一 点 ( , ) 1 3 的切线 方 
程是
.  
— —

即  一 ( x 一 1 x + 6 一 2 + 5 . 3  00 )      

因其 经过点 A( , ) 代 入 上 面 切线 方 程 可 求  一1 4 ,

错解 : 因为 Y 一3 。   x +2 故 Y J 。 , 以所 求  ,   : 一5 所   切线 方程 为 一3 ( 1 , —5 一 ) 整理 即 5  一2 .  — —0   剖 析 : 切 线 方 程 时 , 定  求 一 要 注 意是 求 过 某 一 点 的 切 线 方  程 还是求 在 某 点处 的切线 方程 .   前 者可 能会 有 多个 结 果 , 而后 者  通 常 只有一个结 果. 比如 , 图 1 对  
图 1  

得 z —1 或 0 5 或 0 0 , 一√ , 一一√ . 5  
将 。的值 分别 代 入 切线 方 程 , 到 三条 切 线 方  得

f l 、  

,  
,  

程 : 一 +3 y ( 1 1 √ )  一   , 一 2 — 0 5 + 2 —1 √ 和 Y 5 0 5  


,  
l     o

( 1+ 1   2 0

) +2   5+ 1   . 0  

易 错 点 二 : 切 线 的 特 性 没 有 理 解 透 彻  对

例 3 求 曲线 C :   。  —  与 曲线 C : 一 z Y   的公  切线 的斜 率.   错解 : C 、   对 。 C 分别 求导得 Y 一2   x和 Y 一3     x.  

所示 的函数 图象 ,。 z、 都 是 过 P点 的切 线 ,。则  z、  如 z
是 在 P点处 的切线 . 曲线上一 点 的切线 和在某点 处  过
的切线是 两个不 同的概 念.  

令 2 x=3   解得  一0或  一詈. x,  

正解 : 切线 在 曲线上 的切 点为 ( , + 2 。 , 设  。  x ) 

而 y J: 一 3   2 故 切 线 方 程 为 y— 一 2 。       z+ ,   x 


当  一0时 ,x x 一0 当 一詈时,x x 2 一3   ;   2 一3  

一 百


(x + 2 ( 3 : ) —  ) 0.  

① 

由题 意 , 该切线 过点 ( , ) 13 .  
从而 有 3 一  一 2 。 (x 十 2 ( 一 。 , 理  x 一 3  )1 )整 得 ( 0 1  2 0 1 一0   — )(x + ) .  
1  

所 以公切线 的斜率 是 0或  .  

但 当公 切线 的斜 率为 0时 , 切线 方程 为 Y , 一0 它 
穿过 曲线 Y一 , 是 曲线 的切 线 都 在 曲 线 的 同一    可

所 以 一1或 。 一妄 ,  。 一 于是 代入① 就不难 得 到 
厶 

侧, 因此 0不是 公切 线的斜 率. 以 , 所 所求 公切 线斜 率 

切线方 程为 5  — 一2 —0或 1 一4 1  +1 . —0  

为. 詈  
剖 析 : 面的解 法有两 处错 误. 上 其一 , 斜率 为 0的  切线是存 在 的. 然 它 穿 过 曲线 Y一 , 从 切 线 定  虽   但 义看 , 直线 可 以看 做 曲线 —  上 在原点 。 附近有  该


评 注 : 实上 , 某 点 的切线 中 , 点 不一定 是切  事 过 该 点; 在某 点处 的切线 中 , 点则是 切点 . 该  
例 2 求 经过 点 A( 1 4 的 曲线 y   一 ,) 一  一5   x +6 的切线方 程. x  
错 解 :  3   1 +6 Y J 一 一 1 . Y一 x 一 0 ,    l 9  

点 P, P 沿 着 该 曲线 无 限趋 近 于 原点 。 时割 线  点

P 的极 限位置 , O 这些割 线斜 率的极 限为 0 所 以 一0 ,  

故过点 A( 1 4 的 曲线 的 切 线 方 程 为 y一 4 一 ,)  


1( 9 z+ 1 , 1 x— Y+ 2 — 0  )即 9 3 .

是它们的公切线. 其二,  一告时, = x 一÷,   当 2 3  x 此

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时  切 方 是 一 一 ( 詈,C的   1 , 得 a一4,一一1 或 a一一3,—3. C 线 程   百    )   切 的 4 4一 而 0 解之 6 1, 6   线方 程是  一  8 剖析 : 错误 的主要原 fx 为 (。 4 一 ) 然 者 是 一   条件理 解不清 , f( 。)因是对 的必要) 极值 的 充要  ( 詈. 两 不 同 条   显 把 x 为 极值 条 件 当做 了充 

一  

一0, .( ) 1 即 2 b 3— 0, a + a+ b 1 且 厂 1 一 0, n+ + 且   +  

直线 , 也就谈不上÷是公切线斜率 了. 产生该错误的  
原 因是 在开始 对两 曲线求 导并令 其 相等 时 , 际 已经  实
默认 了公切线 与 两 曲线 切 于 同一 点. 实上 , 过解  事 通 方程 2 =3   解 得  一0时 , 应切 线  一0与 两 曲  x x, 相
0 

要条 件. ( ) 极 值 的充 要 条 件是 f ( ) 厂  。 为   。 一0且 

/( ) z 附近两侧 的符号相反. 以后面应该加   在 。 所
上: 因为 当 a 一4 b 一1 ,一 1时 ,   ) 3   8 f ( 一 x + x一1  1


(x 1 ( 一1 ,  ) 3 +1 )   ) /( 在 一1 附近两侧的符 号 

相反 , .  ) 故 厂 在  一1 有极值 .图象 如图 2 示. ( 处 所  
  【

线是 相切 于 同一 点 ( , ) 而 当  一 ÷ 时 , 曲线 c 00 , 在  

上 点 (,) 曲 C上 点 为詈 , 切 为詈吾, 线 2 切 却 (,   在  )
即虽然 横坐标 相 同 , 纵 坐标 却 不 同 了. 两 点显 然  但 这
不是 同一 点. 确 的思 路应 该是分 切 点相 同 时和 切点  正

f   一
D 
。 .

不同时两 种情 况讨论 . 当切 点相 同时 , 解法 同上 , 要  但

剔 除  一÷ 的 情况 ( 合题 意 ) 当 切点 不 同 时 , 在  不 ; 先
两曲线上 分别取 一点 , 使这 两点 的导数 相 等并 等 于这 

图 2   .a一 4, 一 一 1 . 6 1 

图 3  

而 当 a 一3 6 3时 ,   ) 3 一 1 ,   ) 一 ,— f( 一 ( ) f(  

两 点连线 的斜率 , 再通 过解方 程组得 到正确 结论 .  
正解 : 当公 切线 切点相 同时 , 法 同上 , 公切 线  解 得

在  一1附近两 侧 的符 号 相 同 ,  ) 厂( 在  一 1处 并 没 
有 极 值 , 象 如 图 3所 示. 以 a 一 3 ,b 图 所 一 一3应  舍去 .   评注 : 这 里 我们 需 明 确 , 在 可导 函数 在某 处取 得 

斜 率为 0 当公 切线切 点 不 同时在 曲线 C 、  上分 别  .  c 任取 一点 A(    )B(   ) 分别求 曲线 在 这两 点  z, 、 x , .
的导数 , 有  =2  和  =3 ; x x.  

极值 , 函数 在此 处导 数 必等 于 0 反之 , 导 数 在某  则 ; 若 处 值 为零 , 函数 在 该 处 不一 定 取 得 极值 , 则 还需 进 一 

因 AB 的 斜 率 为 型二 笪
一  



所 以 有 2 一 3;   x 

步检验 f ( 在 /( ) 的根的左右两边 的符号变     )   一0
化. 就是说 , 也 一个 函数 在 某点 处 的导 数 为 0是 这 个 

- X  i
X l—   2  

函数 在该点取 极值 的必 要而非 充分条件 .   例 5 求 函数 厂  )  ̄(x x )的极值 . ( 一 2 -     
错解 : 显然 , ( 的定 义域 为( 。 +o ) 厂  ) 一o , 。 .  
厂 ( 一 2(     ) 2


由 2  一 3 ; 得 z x x  一 _  ; 代 人 3 ; 昙 , _ x  






,  

X l—   2 。  

 

) {( — 2 一  一 2  )

3  

二 

’  

从而 容易解 得  一 0, 一 n 此 时 , 切 线 的      。 1  . 公

令  ( 一0 得  一 1  ) , .  

斜率 为 2 一 6    4
.  

当  <1 ,  ) , ( 为增函数;   >1 时 /( >0 厂 ) 当   时,  ) , ( ) /( <0 厂  为减函数.  


综 上所述 , 曲线 C 、  有两 条 公 切 线 , 斜 率分   C 其 别为 0 4 , 6
. 

. .

厂  ) ( 在  一 1处取 得 极 大值 , 大值 为 厂( ) 极 1 



1  .

易 错点 三 : 误解 了“ 数为零 ” 有极 值 ” 导 与“ 的逻辑 
关 系 

剖 析 :可导 函数 的 极值 点 一 定 是 它 的导 数 为 零  的点 , 导数 为零 的点 , 但 不一 定是 该 函数 的极值 点. 也  就 是说 , 可导 函数来 说 , 对 导数 为 零 的 点仅 是 该 点 为  极值 点 的必 要 条件 . 外 , 要 注 意 定 义域 内导 数不  此 还 存 在的点. 函数不 可导 的点也 可能是 函数 的极值点 .  
正解 :  ) 定 义 域 为 ( o , o )   z) f( 的 一 。 + 。 ,f (  
一  

利用 导数求 极值 的算 法 可 分为 三 步 : 1 求 导 数  ()
f ( ; 2 求方 程 f ( 一0的根 ; 3 检 验 f ( 在     ) ( )    ) ()    ) 方程 f()  z 一0的根 的左右 两边 的符号 , 确定极 值.   例 4 函数 厂 z 一z +a 。   。   ( ) 。 x +6 +n 在 一1处 

有极值 1 , a b的值 . 0求 、  
错解 :   z) 3   2 x+ b 由题 意 知 f ( ) f( 一 x + a .   1 

2( 2 4( 一   ) 1   x_ x2 一 ( )   2— 2 一   )
3  

令 f ( 一0 得  一 1 而  一0和  一 2是 使     ) , .  

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( ) 存在 的点. 表考察 f ( 的符号 : z不 列   )  

易 错 点 五 : 忽 了原 函数 的 定 义 域  疏

例 7 求 函数 一 

7 的单 调递增 区 间.  

错  一 ] 2 . 解: 丽 - x  
由   > 0 知 1~ 2 > 0     <    1


故 函 数 

由上 表可知 , 函数 f ( ) z 的极 小值 为 f O =f 2  () () 一0 极 大值 为 f( ) . , 1 一1  
易错 点 四 : 曲解 了 “ 数 值 的 符 号 ” “ 数 单 调  导 与 函 性 ” 关 系  的
一  

的 调 增 间 (。专. 单 递 区 为一 ,) 。  
剖 析 : 解原 因 主要 是 忽视 了原 函数 的定 义域 , 错  

设 函数 一. z 在某个 区 间 内有 导数 , 果 在此  厂 ) ( 如 区间 内 f ( >0 则 -  )    ) , 厂 在此 区 间内为增 函数 ; ( 如果  f ( ) 0 则 f x 在此 区间 内为减 函数.  z < , () 要用 导数 判 

也 忽视 了 函数单 调递增 的充 分必要 条件.   正解 : 先求 原 函数 的导 函数 , 有  1  -2 x
,  

断 函数 的单 调性 , 除掌 握 以上 依据 外 , 还应 明确 以下  两点( 以增 函数 为例 , 函数 类似 )  减 :
( )   >0与 厂  ) 1厂 (  ) ( 为增 函数 的关系 :   由上知 ,   >0 则 -  ) 增 函数 , 反 之 不  f(  ) , 厂 ( 为 但


由 Y≥0 1     ≤÷.   知 —2 ≥0  
?

.  



 

≥ 0, ≤ ≤ 1  0 0 , ≤ ≤  1


因此 函数 



 

定. f( 一 。在 ( 。 , 。 上 为 增 函数 , 如 x) 一 。 +。 ) 但 

的 调 增 间 [专. 单 递 区 为0 ] , 
评注 : 用 导数 求 函数 的单 调 区间 时 , 定 要 注  利 一
易 错 点 六 : 有 理 清 楚 导 函 数 与 原 函 数 的 图 象  没

厂( ≥0所以 f ( ) 是 f x 为增 函数的充分不   ) ,   >0   ()
必 要条件 .   ( )   ≥0与 - z 为增 函数 的关 系 : 2f (  ) 厂 ) (   由上分 析 : ( 为 增 函数 , -  ) 厂 则一 定 可 推 出 f (      ) ≥0 但 反 之不一 定成立 。 ,  
因 为 f ( ≥ 0为 f ( > 0 f ( 一 0 两 者 有     )    ) 或    ) ,


意并考 虑原 函数 的定义 域.  
关 系 

例 8 设 厂( )   是函数 厂  的导  ()
函数 ,  —f ( 的图 象 如 图 4所 示 ,   )   则 y— f( )的 图 象 最 有 可 能   
是(   ) .  

成立 即可 , 函数 .  ) 某 区 间 内恒 有 f ( 一0 当 厂 在 (   )  

时 , 厂  ) 则 ( 为常数 函数 , 时 厂 z) 不 具 备单 调性 . 此 ( 就   所 以 ,   ≥0是 - ) 增 函数 的必要 不充 分条件 . f(  ) 厂 为 (   函数 - ) 厂 为增 函数 ( 函数 ) ( 减 的充分 必要条 件 :   当 f ( ≠0时 ,   ) 0 厂 ( <0 是 厂  )   ) f ( > (   ) ) ( 为  增 函数 ( 函数 ) 减 的充分必 要条件 ;  

A.  

B.  

枷 
C.  

D 

当 厂( ) 有不连续的解时,  z ≥0  ( ) z :0 f( ) ( z 
≤ 0 是 厂  ) ) ( 为增 函数 ( 函数 ) 减 的充分必 要 条件 .  


错解: 本题 是 一道高 考选 择题 , 抽样 调查 表 明 , 许  多考生 由于对 导 函数 与 原 函 数 图象 关 系 理 解不 够 深 
入 而凭 空乱猜.   剖析: 由导 函数 的 图 象知 , 函数 在  一0和  导


3  

例 6 已知 函数 厂 )   ( 一  一 (m- 1  + (5   4 - ) 1m
0 


2 m~7 +2在 R 上 为 增 函数 , m 的取 值 范 围  ) 则
. 
— —

2 的值为 0 且 两边 的值 的符 号相 反 , 原来 的函  时 , 故



错解 : f ( 一 一2 4 由    )   ( m一1 + 1 m ~2   ) 5  m


数  一厂  ) ( 在  一0和  一2时 取得 极值 . 当  ≤0或  z 2 , 函数值 为正 ( 0 , O ≥ 时 导 或 ) 当 <x <2时 , 函数  导 值 为负 , 以当 ≤0或 ≥ 2时函数  一厂  ) 所 ( 为增 函  数 , O < 2时 , 当 <x 函数  一厂  ) 减 函数 , ( 为 故选 C  .
评注: 只要抓 住导 函数 的零 点 与原 函数 图象 的极 

7 0 则 有  > ,


24 ( m一 1 + 1 m  2 ) 5 一 m一 7 0对  ∈ R 恒  >

成立, △ 即 <0 所 以解得 m∈( ,) , 24 .  

剖 析 : 实 上 , 以 上 两 点 可 知 , 处 应 当 是  事 由 此 f ( ≥0 即 △    ) , ≤0 故最后 解得 m∈E ,] , 24.  
评注 : 函数 的单 调 性 为 函数 的一 条重 要 性 质 , 我 

值点 的关 系以及导 函数 与单调 性 的关 系 , 题就 可迎  本
刃 而解.  

把导数 作 为工具来 研究 函数 的形 态 , 明 、 简 高效 ,   但是 我们 在遇到 问题时 , 须多探 究 、 多思 考 , 全面 加深 
对导数 的认识 与应用 .  

们 一定要理 解好 以上两个 关 系 , 导数 判 断好 函数 的  用
单 调性.  


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