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【步步高】2015届高考数学(理科,全国通用)二轮专题配套word版练习:专题六 第1讲 直线与圆]


第1讲
考情解读

直线与圆

考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题.直线与圆的位置关

系(特别是弦长问题),此类问题难度属于中等,一般以选择题、填空题的形式出现,有时也会 出现解答题,多考查其几何图形的性质或方程知识.

1.直线方程的五种形式 (1)点斜式:y-y1=k(x-x1)(直线过点 P1(x1,y1),且斜率为 k,不包括 y 轴和平行于 y 轴的直 线). (2)斜截式:y=kx+b(b 为直线 l 在 y 轴上的截距,且斜率为 k,不包括 y 轴和平行于 y 轴的直 线). y-y1 x-x1 (3)两点式: = (直线过点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),且 x1≠x2,y1≠y2,不包括坐标轴 y2-y1 x2-x1 和平行于坐标轴的直线). x y (4)截距式: + =1(a、b 分别为直线的横、纵截距,且 a≠0,b≠0,不包括坐标轴、平行于 a b 坐标轴和过原点的直线). (5)一般式:Ax+By+C=0(其中 A,B 不同时为 0). 2.直线的两种位置关系 当不重合的两条直线 l1 和 l2 的斜率存在时: (1)两直线平行 l1∥l2?k1=k2. (2)两直线垂直 l1⊥l2?k1· k2=-1. 提醒 当一条直线的斜率为 0, 另一条直线的斜率不存在时, 两直线也垂直, 此种情形易忽略. 3.三种距离公式

(1)A(x1,y1),B(x2,y2)两点间的距离:|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2. |Ax0+By0+C| (2)点到直线的距离:d= (其中点 P(x0,y0),直线方程:Ax+By+C=0). A2+B2 (3)两平行线间的距离:d= +C2=0). 提醒 应用两平行线间距离公式时,注意两平行线方程中 x,y 的系数应对应相等. 4.圆的方程的两种形式 (1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2. (2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0). 5.直线与圆、圆与圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系:相交、相切、相离,代数判断法与几何判断法. (2)圆与圆的位置关系:相交、相切、相离,代数判断法与几何判断法. |C2-C1| (其中两平行线方程分别为 l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By A2+B2

热点一 直线的方程及应用 例 1 (1)过点(5,2),且在 y 轴上的截距是在 x 轴上的截距的 2 倍的直线方程是( A.2x+y-12=0 B.2x+y-12=0 或 2x-5y=0 C.x-2y-1=0 D.x-2y-1=0 或 2x-5y=0 (2)“m=1”是“直线 x-y=0 和直线 x+my=0 互相垂直”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 思维启迪 (1)不要忽略直线过原点的情况;(2)分别考虑充分性和必要性. 答案 (1)B (2)C x y 解析 (1)当直线过原点时方程为 2x-5y=0,不过原点时,可设出其截距式为 + =1,再由 a 2a 过点(5,2)即可解出 2x+y-12=0. (2)因为 m=1 时,两直线方程分别是 x-y=0 和 x+y=0,两直线的斜率分别是 1 和-1,两直 线垂直,所以充分性成立;当直线 x-y=0 和直线 x+my=0 互相垂直时,有 1×1+(-1)×m =0,所以 m=1,所以必要性成立.故选 C. ) )

思维升华 (1)要注意几种直线方程的局限性.点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与 x 轴 垂直.而截距式方程不能表示过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线. (2)求解与两条直线平行或垂直有关的问题时,主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件, 即“斜率相等”或“互为负倒数”.若出现斜率不存在的情况,可考虑用数形结合的方法去 研究. 已知 A(3,1),B(-1,2),若∠ACB 的平分线方程为 y=x+1,则 AC 所在的直线方 程为( )

A.y=2x+4 1 B.y= x-3 2 C.x-2y-1=0 D.3x+y+1=0 答案 C 解析 由题意可知,直线 AC 和直线 BC 关于直线 y=x+1 对称.设点 B(-1,2)关于直线 y=x y -2 ? ?x +1=-1 +1 的对称点为 B′(x ,y ),则有? y +2 x -1 ? 2 = 2 +1 ?
0 0 0 0 0 0

?x0=1 ? ?? ,即 B′(1,0).因为 B′(1,0) ?y0=0 ?

1-0 1 在直线 AC 上,所以直线 AC 的斜率为 k= = , 3-1 2 1 所以直线 AC 的方程为 y-1= (x-3), 2 即 x-2y-1=0.故 C 正确. 热点二 圆的方程及应用 例2 (1)若圆 C 经过(1,0),(3,0)两点,且与 y 轴相切,则圆 C 的方程为( )

A.(x-2)2+(y± 2)2=3 B.(x-2)2+(y± 3)2=3 C.(x-2)2+(y± 2)2=4 D.(x-2)2+(y± 3)2=4 (2)已知圆 M 的圆心在 x 轴上,且圆心在直线 l1:x=-2 的右侧,若圆 M 截直线 l1 所得的弦长 为 2 3,且与直线 l2:2x- 5y-4=0 相切,则圆 M 的方程为( A.(x-1)2+y2=4 B.(x+1)2+y2=4 C.x2+(y-1)2=4 D.x2+(y+1)2=4 )

思维启迪 (1)确定圆心在直线 x=2 上,然后待定系数法求方程;(2)根据弦长为 2 3及圆与 l2 相切列方程组. 答案 (1)D (2)B 解析 (1)因为圆 C 经过(1,0),(3,0)两点,所以圆心在直线 x=2 上,又圆与 y 轴相切,所以半 径 r=2,设圆心坐标为(2,b),则(2-1)2+b2=4,b2=3,b=± 3,所以选 D. ?a+2? +? 3? =r , ? ? (2)由已知,可设圆 M 的圆心坐标为(a,0),a>-2,半径为 r,得?|2a-4| =r, ? ? 4+5
?a=-1, ? 解得满足条件的一组解为? ? ?r=2,
2 2 2

所以圆 M 的方程为(x+1)2+y2=4.故选 B. 思维升华 圆的标准方程直接表示出了圆心和半径,而圆的一般方程则表示出了曲线与二元

二次方程的关系,在求解圆的方程时,要根据所给条件选取适当的方程形式.解决与圆有关 的问题一般有两种方法:(1)几何法,通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系,进 而求得圆的基本量和方程;(2)代数法,即用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系 数. (1)已知圆 C:x2+(y-3)2=4,过点 A(-1,0)的直线 l 与圆 C 相交于 P、Q 两点, 若|PQ|=2 3,则直线 l 的方程为( A.x=-1 或 4x+3y-4=0 B.x=-1 或 4x-3y+4=0 C.x=1 或 4x-3y+4=0 D.x=1 或 4x+3y-4=0 (2)已知圆 C 的圆心与抛物线 y2=4x 的焦点关于直线 y=x 对称,直线 4x-3y-2=0 与圆 C 相 交于 A,B 两点,且|AB|=6,则圆 C 的方程为________________. 答案 (1)B (2)x2+(y-1)2=10 解析 (1)当直线 l 与 x 轴垂直时,易知 x=-1 符合题意; 当直线 l 与 x 轴不垂直时, 设直线 l 的方程为 y=k(x+1), 线段 PQ 的中点为 M, 由于|PQ|=2 3, 易得|CM|=1. |-3+k| 4 4 又|CM|= 2 =1,解得 k= ,此时直线 l 的方程为 y= (x+1).故所求直线 l 的方程为 x 3 3 k +1 =-1 或 4x-3y+4=0.故选 B. (2)设所求圆的半径是 r, 依题意得, 抛物线 y2=4x 的焦点坐标是(1,0), 则圆 C 的圆心坐标是(0,1), |4×0-3×1-2| |AB| 2 2 2 圆心到直线 4x-3y-2=0 的距离 d= 2 2 =1,则 r =d +( 2 ) =10,故圆 C 的 4 +?-3? )

方程是 x2+(y-1)2=10. 热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系 例3 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3),直线 l:y=2x-4.设圆

C 的半径为 1,圆心在 l 上. (1)若圆心 C 也在直线 y=x-1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M,使|MA|=2|MO|,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围. 思维启迪 (1)先求出圆 C 的圆心坐标,再利用几何法求出切线斜率;(2)将|MA|=2|MO|化为 M 点坐标满足的条件后,可知点 M 是两圆的交点. 解 (1)由题设,圆心 C 是直线 y=2x-4 和直线 y=x-1 的交点,解得点 C(3,2), 于是切线的斜率必存在. 设过 A(0,3)的圆 C 的切线方程为 y=kx+3, 由题意, |3k+1|
2

3 =1,解得 k=0 或- , 4 k +1

故所求切线方程为 y=3 或 3x+4y-12=0. (2)因为圆心在直线 y=2x-4 上, 所以圆 C 的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1. 设点 M(x,y),因为|MA|=2|MO|, 所以 x2+?y-3?2=2 x2+y2,

化简得 x2+y2+2y-3=0,即 x2+(y+1)2=4, 所以圆心 M 在以 D(0,-1)为圆心,2 为半径的圆上. 由题意,点 M(x,y)在圆 C 上,所以圆 C 与圆 D 有公共点, 则 2-1≤|CD|≤2+1, 即 1≤ a2+?2a-3?2≤3. 由 5a2-12a+8≥0,得 a∈R; 12 由 5a2-12a≤0,得 0≤a≤ . 5 12 0, ?. 所以圆心 C 的横坐标 a 的取值范围为? 5? ? 思维升华 (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时,要注意数形结合,充分利用圆的几何性

质寻找解题途径,减少运算量.研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径 的比较实现,两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较. (2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直,圆心到切线的距离等于半径”建立切线 斜率的等式,所以求切线方程时主要选择点斜式.过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到 圆外点距离,利用勾股定理处理. (1)(2014· 重庆)已知直线 ax+y-2=0 与圆心为 C 的圆(x-1)2+(y-a)2=4 相交于

A,B 两点,且△ABC 为等边三角形,则实数 a=________. (2)两个圆 C1:x2+y2+2ax+a2-4=0(a∈R)与 C2:x2+y2-2by-1+b2=0(b∈R)恰有三条公 切线,则 a+b 的最小值为( A.-6 B.-3 C.-3 2 答案 (1)4± 15 (2)C ) D.3

|a+a-2| 解析 圆心 C(1, a)到直线 ax+y-2=0 的距离为 .因为△ABC 为等边三角形, 所以|AB| a2+1 |a+a-2| 2 =|BC|=2,所以( ) +12=22,解得 a=4± 15. a2+1 (2)两个圆恰有三条公切线,则两圆外切,两圆的标准方程为圆 C1:(x+a)2+y2=4, 圆 C2:x2+(y-b)2=1, 所以|C1C2|= a2+b2=2+1=3, 即 a2+b2=9. a+b 2 a2+b2 由( )≤ , 得(a+b)2≤18, 所以-3 2≤a+b≤3 2, 当且仅当“a=b”时取“=”. 所 2 2 以选 C.

1.由于直线方程有多种形式,各种形式适用的条件、范围不同,在具体求直线方程时,由所 给的条件和采用的直线方程形式所限,可能会产生遗漏的情况,尤其在选择点斜式、斜截式 时要注意斜率不存在的情况. 2.确定圆的方程时,常用到圆的几个性质: (1)直线与圆相交时应用垂径定理构成直角三角形(半弦长,弦心距,圆半径); (2)圆心在过切点且与切线垂直的直线上; (3)圆心在任一弦的中垂线上; (4)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线; (5)圆的对称性:圆关于圆心成中心对称,关于任意一条过圆心的直线成轴对称. 3.直线与圆中常见的最值问题 圆上的点与圆外点的距离的最值问题,可以转化为圆心到点的距离问题;圆上的点与直线上 点的距离的最值问题,可以转化为圆心到直线的距离问题;圆上的点与另一圆上点的距离的 最值问题,可以转化为圆心到圆心的距离问题. 4.过两圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 的交点的圆系方程为 x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0. 5.两圆相交,将两圆方程联立消去二次项,得到一个二元一次方程,即为两圆公共弦所在的 直线方程.

真题感悟 1.(2014· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x+2y-3=0 被圆(x-2)2+(y+1)2=4 截得的 弦长为________________. 答案 2 55 5

解析 圆心为(2,-1),半径 r=2. |2+2×?-1?-3| 3 5 圆心到直线的距离 d= = , 5 1+4 所以弦长为 2 r2-d2=2 3 5 2 2 55 22-? ?= . 5 5

2.(2014· 课标全国Ⅱ)设点 M(x0,1),若在圆 O:x2+y2=1 上存在点 N,使得∠OMN=45° ,则 x0 的取值范围是________. 答案 [-1,1] 解析 如图,过点 M 作⊙O 的切线, 切点为 N,连接 ON. M 点的纵坐标为 1, MN 与⊙O 相切于点 N. 设∠OMN=θ,则 θ≥45° , 即 sin θ≥ 即 2 , 2

ON 2 ≥ . OM 2

而 ON=1,∴OM≤ 2. ∵M 为(x0,1),∴ x2 0+1≤ 2,
2 ∴x0 ≤1,∴-1≤x0≤1,

∴x0 的取值范围为[-1,1]. 押题精练 1.在直角坐标系 xOy 中,已知 A(-1,0),B(0,1),则满足|PA|2-|PB|2=4 且在圆 x2+y2=4 上 的点 P 的个数为________. 答案 2 解析 设 P(x,y),则由|PA|2-|PB|2=4, 得(x+1)2+y2-x2-(y-1)2=4,∴x+y=2,

∴满足条件的点 P 的个数转化为直线 x+y=2 和圆 x2+y2=4 的交点个数, ∵ |0+0-2| = 2<2, 2

∴直线与圆相交,∴点 P 有 2 个. 2.如果圆 C:x2+y2-2ax-2ay+2a2-4=0 与圆 O:x2+y2=4 总相交,则实数 a 的取值范围 是____________________. 答案 -2 2<a<0 或 0<a<2 2 解析 将圆 C:x2+y2-2ax-2ay+2a2-4=0 变形为(x-a)2+(y-a)2=4,可知圆心为 C(a, a),半径为 r=2.圆 O:x2+y2=4 的圆心为 O(0,0),半径为 R=2.当两圆总相交时|R-r|<|OC|<r +R,即 0< a2+a2<4,解得-2 2<a<0 或 0<a<2 2. 3.若圆 x2+y2=r2(r>0)上有且只有两个点到直线 x-y-2=0 的距离为 1,则实数 r 的取值范 围是________. 答案 ( 2-1, 2+1) 解析 注意到与直线 x-y-2=0 平行且距离为 1 的直线方程分别是 x-y-2+ 2=0 和 x-y -2- 2=0,要使圆上有且只有两个点到直线 x-y-2=0 的距离为 1,需满足在两条直线 x | 2-2| -y-2+ 2=0 和 x-y-2- 2=0 中,一条与该圆相交且另一条与该圆相离,所以 2 |-2- 2| <r< ,即 2-1<r< 2+1. 2

(推荐时间:60 分钟) 一、选择题 1.直线 l1:kx+(1-k)y-3=0 和 l2:(k-1)x+(2k+3)y-2=0 互相垂直,则 k 等于( A.-3 或-1 C.-3 或 1 答案 C 2 解析 若 k=1,直线 l1:x=3,l2:y= 5 满足两直线垂直. 1-k k 若 k≠1,直线 l1,l2 的斜率分别为 k1= ,k = ,由 k1· k2=-1 得 k=-3,综上 k=1 k-1 2 2k+3 或 k=-3. 2.若 P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是( ) B.3 或 1 D.3 或-1 )

A.x-y-3=0 B.2x+y-3=0 C.x+y-1=0 D.2x-y-5=0 答案 A 解析 圆的圆心为 C(1,0).由圆的性质知,直线 PC 垂直于弦 AB 所在的直线,则 kAB=- 即 kAB=- 1 1 =- =1. kPC 0-?-1? 1-2 1 , kPC

又点 P(2,-1)是弦 AB 的中点, 由直线的点斜式方程得直线 AB 的方程为 y-(-1)=x-2, 即 x-y-3=0.故选 A. 3. 若圆 O: x2+y2=4 与圆 C: x2+y2+4x-4y+4=0 关于直线 l 对称, 则直线 l 的方程是( A.x+y=0 B.x-y=0 C.x-y+2=0 D.x+y+2=0 答案 C 解析 圆 x2+y2+4x-4y+4=0,即(x+2)2+(y-2)2=4,圆心 C 的坐标为(-2,2). 直线 l 过 OC 的中点(-1,1),且垂直于直线 OC,易知 kOC=-1,故直线 l 的斜率为 1,直线 l 的方程为 y-1=x+1,即 x-y+2=0.故选 C. 4.若直线 y=kx+2k 与圆 x2+y2+mx+4=0 至少有一个交点,则 m 的取值范围是( A.[0,+∞) C.(4,+∞) 答案 C 解析 由 y=k(x+2)得直线恒过定点(-2,0),因此可得点(-2,0)必在圆内或圆上,故有(-2)2 +02-2m+4≤0?m≥4.又由方程表示圆的条件,故有 m2-4×4>0?m<-4 或 m>4.综上可知 m>4.故选 C. 5.动圆 C 经过点 F(1,0),并且与直线 x=-1 相切,若动圆 C 与直线 y=x+2 2+1 总有公共 点,则圆 C 的面积( A.有最大值 8π B.有最小值 2π C.有最小值 3π ) B.[4,+∞) D.[2,4] ) )

D.有最小值 4π 答案 D 解析 设圆心为(a,b),半径为 r,r=|CF|=|a+1|, 1 即(a-1)2+b2=(a+1)2,即 a= b2, 4 1 1 ∴圆心为( b2,b),r= b2+1, 4 4 圆心到直线 y=x+2 2+1 的距离为 b2 | -b+2 2+1| 4 b2 d= ≤ +1, 4 2 ∴b≤-2(2 2+3)或 b≥2, 1 当 b=2 时,rmin= ×4+1=2, 4 ∴Smin=πr2=4π. 6.设 P 为直线 3x+4y+3=0 上的动点,过点 P 作圆 C:x2+y2-2x-2y+1=0 的两条切线, 切点分别为 A,B,则四边形 PACB 的面积的最小值为( A.1 B. 答案 D 解析 依题意,圆 C:(x-1)2+(y-1)2=1 的圆心是点 C(1,1),半径是 1,易知|PC|的最小值等 10 1 于圆心 C(1,1)到直线 3x+4y+3=0 的距离, 即 =2, 而四边形 PACB 的面积等于 2S△PAC=2×( 5 2 |PA|· |AC|)=|PA|· |AC|=|PA|= |PC|2-1,因此四边形 PACB 的面积的最小值是 22-1= 3,故 选 D. 二、填空题 7.已知直线 l1 与圆 x2+y2+2y=0 相切,且与直线 l2:3x+4y-6=0 平行,则直线 l1 的方程 是________________. 答案 3x+4y-1=0 或 3x+4y+9=0 解析 依题意,设所求直线 l1 的方程是 3x+4y+b=0,则由直线 l1 与圆 x2+(y+1)2=1 相切, |b-4| 可得圆心(0, -1)到直线 3x+4y+b=0 的距离为 1, 即有 = 1, 解得 b=-1 或 b=9.因此, 5 直线 l1 的方程是 3x+4y-1=0 或 3x+4y+9=0. 8.(2014· 湖北)直线 l1:y=x+a 和 l2:y=x+b 将单位圆 C:x2+y2=1 分成长度相等的四段弧, 则 a2+b2=____. 答案 2 解析 依题意,不妨设直线 y=x+a 与单位圆相交于 A,B 两点, 3 2 C.2 3 D. 3 )

则∠AOB=90° .如图,此时 a=1,b=-1, 满足题意, 所以 a2+b2=2. π 9.(2013· 湖北)已知圆 O:x2+y2=5,直线 l:xcos θ+ysin θ=1(0<θ< ).设圆 O 上到直线 l 的 2 距离等于 1 的点的个数为 k,则 k=________. 答案 4 解析 圆心 O 到直线 l 的距离 d= 1 =1, cos θ+sin2θ
2

而圆 O 半径为 5,所以圆 O 上到 l 的距离等于 1 的点有 4 个. 10.已知 A(-2,0),B(0,2),实数 k 是常数,M,N 是圆 x2+y2+kx=0 上两个不同点,P 是圆 x2+y2+kx=0 上的动点,如果 M,N 关于直线 x-y-1=0 对称,则△PAB 面积的最大值是 ________. 答案 3+ 2 k k 解析 依题意得圆 x2+y2+kx=0 的圆心(- ,0)位于直线 x-y-1=0 上,于是有- -1=0, 2 2 x y 即 k=-2, 因此圆心坐标是(1,0), 半径是 1.由题意可得|AB|=2 2, 直线 AB 的方程是 + = -2 2 |1-0+2| 3 2 1,即 x-y+2=0,圆心(1,0)到直线 AB 的距离等于 = ,点 P 到直线 AB 的距离的 2 2 3 2+2 3 2 1 最大值是 +1,△PAB 面积的最大值为 ×2 2× =3+ 2. 2 2 2 三、解答题 11.(1)求圆心在 x 轴上,且与直线 y=x 相切于点(1,1)的圆的方程; (2)已知圆 C 过点 P(1,1),且与圆 M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线 x+y+2=0 对称,求 圆 C 的方程. 1-0 解 (1)根据题意可设圆心(a,0), 则 =-1?a=2, 即圆心为(2,0), 半径 r= ?2-1?2+?0-1?2 1-a = 2,则所求圆的方程为(x-2)2+y2=2. a-2 b-2 ? ? 2 + 2 +2=0, (2)设圆心为 C(a,b),则? b+2 ? ?a+2=1,
? ?a=0, 所以? 又 P(1,1)在圆上, ?b=0, ?

所以圆 C 的方程为 x2+y2=2. 12.已知圆 M 的方程为 x2+y2-2x-2y-6=0,以坐标原点 O 为圆心的圆 O 与圆 M 相切.

(1)求圆 O 的方程; → → (2)圆 O 与 x 轴交于 E,F 两点,圆 O 内的动点 D 使得|DE|,|DO|,|DF|成等比数列,求DE· DF 的取值范围. 解 (1)圆 M 的方程可整理为(x-1)2+(y-1)2=8, 故圆心 M(1,1),半径 R=2 2. 圆 O 的圆心为 O(0,0), 因为|MO|= 2<2 2, 所以点 O 在圆 M 内,故圆 O 只能内切于圆 M. 设圆 O 的半径为 r, 因为圆 O 内切于圆 M, 所以|MO|=R-r, 即 2=2 2-r, 解得 r= 2. 所以圆 O 的方程为 x2+y2=2. (2)不妨设 E(m,0),F(n,0),且 m<n.
?x2+y2=2, ? 由? ?y=0, ?

?x= 2, ?x=- 2, 解得? 或? ?y=0, ?y=0,
故 E(- 2,0),F( 2,0). 设 D(x,y),由|DE|,|DO|,|DF|成等比数列, 得|DE|×|DF|=|DO|2, 即 ?x+ 2?2+y2× ?x- 2?2+y2=x2+y2, 整理得 x2-y2=1. → → 而DE=(- 2-x,-y),DF=( 2-x,-y), → → 所以DE· DF=(- 2-x)( 2-x)+(-y)(-y) =x2+y2-2=2y2-1.
?x2+y2<2, ? 1 由于点 D 在圆 O 内,故有? 2 2 得 y2< , 2 ?x -y =1, ?

所以-1≤2y2-1<0, → → 即DE· DF∈[-1,0). 13.已知△ABC 的三个顶点 A(-1,0),B(1,0),C(3,2),其外接圆为⊙H.

(1)若直线 l 过点 C,且被⊙H 截得的弦长为 2,求直线 l 的方程; (2)对于线段 BH 上的任意一点 P,若在以点 C 为圆心的圆上都存在不同的两点 M,N,使得点 M 是线段 PN 的中点,求⊙C 的半径 r 的取值范围. 解 (1)线段 AB 的垂直平分线方程为 x=0,线段 BC 的垂直平分线方程为 x+y-3=0,所以 外接圆圆心为 H(0,3),半径为 ?-1?2+32= 10, ⊙H 的方程为 x2+(y-3)2=10. 设圆心 H 到直线 l 的距离为 d,因为直线 l 被⊙H 截得的弦长为 2,所以 d= 10-1=3. 当直线 l 垂直于 x 轴时,显然符合题意,即 x=3 为所求; 当直线 l 不垂直于 x 轴时,设直线方程为 y-2=k(x-3),则 为 4x-3y-6=0. 综上,直线 l 的方程为 x=3 或 4x-3y-6=0. (2)直线 BH 的方程为 3x+y-3=0, 设 P(m,n)(0≤m≤1),N(x,y), 因为点 M 是线段 PN 的中点, m+x n+y 所以 M( , ), 2 2 又 M,N 都在半径为 r 的⊙C 上, ?x-3? +?y-2? =r , ? ? 所以? m+x n+y ? -3?2+? -2?2=r2. ? 2 2 ?
2 2 2 ? ??x-3? +?y-2? =r , 即? 2 2 2 ??x+m-6? +?y+n-4? =4r . ? 2 2 2

|3k+1| 1+ k

2=3,解得

4 k= ,直线方程 3

因为该关于 x,y 的方程组有解, 即以(3,2)为圆心, r 为半径的圆与以(6-m,4-n)为圆心, 2r 为半径的圆有公共点, 所以(2r-r)2≤(3-6+m)2+(2-4+n)2≤(r+2r)2, 又 3m+n-3=0, 所以 r2≤10m2-12m+10≤9r2 对?m∈[0,1]成立. 而 f(m)=10m2-12m+10 32 在[0,1]上的值域为[ ,10], 5 32 故 r2≤ 且 10≤9r2. 5

又线段 BH 与圆 C 无公共点, 所以(m-3)2+(3-3m-2)2>r2 对?m∈[0,1]成立, 32 即 r2< . 5 故⊙C 的半径 r 的取值范围为[ 10 4 10 , ). 3 5


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