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逆用无穷递缩等比数列各项和求解两道自主招生试题


福建 中学数学 

2 0 1 4 年第 6 期 

2n x  
+ C OS— —

l  
= 一一 .  

2 , z +1  

2  

系列题 ,思路清晰 ,运算简洁,为此我们可继续猜  测 它 能 引 申为三 角 恒 等 式

证 明 的一 般 方法 吗? 实 际 
上这 正是 一种 证题 方法 .  
通 过猜 想 ,我们 把 中学数 学 中三角 ,数 列 ,复 
2即+ 1  

这 两式相 加得 系列 
c. c o s   【 _ +c o s   兀 一 +c o s   兀 _ +. _ .  
2  + 1   +c o s   :0 .   2   +1   2   +1  

数 ,解 析 几 何等 知 识 之 问 的联 系 建 立 了起 来 ,而 且  也 揭示 了知 识 内部 之 间 ,不 同类 知 识之 间的 关 系 ,  
使 知识 系统化 、 网络化 .  

以上猜 想正确 与否 呢? 我们 要猜 测证 明方法 .   我们 知 道 当  =2时 ,可 用和差 化积 公 式证 得 ,  

当  = 3 时 ,模仿 n = 2 的方法可证明,但随着 " 值的  增大 ,难度变大 ,需要另辟新径 .细心观察各项的  特征 ,可发现从第二项起 ,后一次中的角与前一项  中 的角 的差 是 同一 常 数 ,这 种 情 况 ,与 复数 的几 何  意 义相 似 ,于是联 想 到构 造复 数证 明上 述结 论 .  
只 要令 Z -C O S   +i   s i n   , 那 么系 列 A, B,  

5通过猜想 ,培养创新能力  数 学 猜 想并 不 是 只有 科 学家 才 能 作 出 的 ,一 些  新 想 法往 往 就 是一 个 猜 想 .波 利 亚说 得 好 :归纳 、   猜 想 的过程 是把我们 的思想认识 适应于 事实 的结  果 ,每 当把 我 们 的想 法 和观 察 相 比较 时 ,其 结 果 可 
能一 致也 可 能 不一 致 ,若与 观 察 事实 一 致 ,就 对 我  们 的想 法 更有 信 心 ,若 不一 致 就 改变 想 法 ,经 过 多 

C的右边 ,就是 如 下等 比数列 前 项 和 的实部 :  
A.   +z  +z  +… + z   :  
B. z。 +z  +   +… + z   ”:  

次改变之后,我们的想法就可能较好地符合事实 .   实践 证 明 ,在 中学数 学 教 学 中 ,通 过猜 想 ,并 
予 以证 明或否 定 ,时常有 助于 学 生思 维能力 的培 养 ,  
更有 助于 学 生创 新 能力 的提 升 .  

C. z +z  + z  + . . . +Z 2 n.  

从 上 面证 题 过 程 可 以看 到 ,构 造 复 数证 明三 角 

逆用 无穷递 缩等 比数 列各项和 求解 两道 自主招生试题 
黄 俊峰  袁 方程 

湖 北省大冶市第一中学 ( 4 3 5 1 0 0 )   逆用无穷递缩等比数列各项和  + o e   q g ” =   ( 1   g   I  
l  

<1 ) 可 以证 明几道 自主招 生试 题 .下 面举例 说 明 .   例 1  ( 2 0 1 0年 浙江 大学 自主 招 生试题 )有 小于 
l的正数 x 1 , x   2 , …, x  ,且  + x   2 + …  : 1 ,求证 :  

专  州 + . . . 】 = ÷   +  
财 有 喜 去= 喜 ÷ + 喜   + 善  一 ,  
由调和平均数与算术平均数可得  X i
,  

— — —  + — — — _ l _+ + . … . . + —  — — — _> 4   .  
—  

+ —

X1一 x 

X2 一 X 

XH 一 

1  

证 明 将 

X 

. 一   .   改 写 成 ’   1 一   ≥ X ,  

得  ÷  z  一,  
∑X i  


注 意到∑X i = l , 且  ∈ R + (  1 , 2 , …,   ) ,  
? . .

x  <1 ,故 可 运 用上面 公式 ,得 

注 意到 
i =1  

1 ,则有  n  1  


,  

再 由幂 平均 不等 式得  n   ≥   1  n  




去 , … ,  

2 0 1 4 年第 6 期 

福建 中学数 学  

4 5  

故 喜  
1   2  

t l 4 + . . ‘  
‘ 

逆 用 求和公 楠
l  
+ 

 
1  

:  


≥  + _T  ‘ +  
1 一 — 

2   l  
+ 

1  
+ ‘ 一 + 

= F / 2 “ + 去 ,  
故 当  ≥2时 ,原 不 等式 的右 边可 加 强到 5 .  

> l n ( 1 + 吉 ) + l n ( 1 +   1 ) + - . . + l n ( 1 +  


1 n ( 1 +  

+   1 ) . . . ( 1 +   )
,  

例2 ( 2 0 1 1 年清华大学 自主招生试题 )已知函 
数  ) =  2 x
,  

) =1, 八   ) =   2,
j  


Xx=  
,  

从而 e >( 1 +  ) ( 1 +   1) . . . ( 1 +  )  

+ D  

X n +   :_ 厂 (  ) .  

( 1 )求数列 { X   } 的通项公式 ;  

1 

1  

2 "  

’  

( 2 ) 证明:  I   2 …  > ÷.  
证 明  ( 1 )易 求得  ;  

即 

…  >   1
. 

( 2 )容易 证 明 l n ( x + 1 )  x ( x>一 1 ) ,  

“ 向量 "搭桥
— —

规避技巧 

利 用 向量 的方 法构造 柯 西不 等式 

吴 鸿儒 

福 建省 安溪 第 一 中学 ( 3 6 2 4 0 0 )  

柯 西 不 等式 有 代 数 形 式、 向量 形 式还 有 三 角形 

式 ,体现 了数形结合 的思想 .尤其是向量形式既从  数 的 角度 又 从 形 的角 度 刻 画这 一 个 经 典 不等 式 的本 
质 之美 ,本 文将 对柯 西不 等 式 的应 用 类型 进行 归纳 .   类 型 1 已知 a l x + b l Y=c 1 , 求a 2 x   +   =C 2 的最 

即  = 1 ,Y = 去时,   + 4  取最小值2 .  
点评 本题还有其他解法 ,比如转化为 X 的二次 
函数 或 利 用数 形 结合 转 化 为点 到 直线 的距 离 ,在 此 
就不作 说 明 了 .  

小值 ,其中 a   , b l , C 。 , a 2 , b 2 , C   为常数 .  
例 1 已知 X + 2 y=2,求  + 4   的最 小值 .   思路 构 造 向量 关 键在 于 构造 n,b的 四个坐 标 
值 ,一 般 从有 平 方 的项 入手 ,从而 构造 a=   , 2 y ) ,   而 b一 般 从 它 的 数 量 积 入 手 ,又 X +2 y=2,从 而  b =( 1 , 1 ) ,这 样 a - 6=  × 1 + Y × 2 =X +2  .  

变式 1已知  + 4 y   ≤ √ 2,求证 :x + 2 y  2.  
证 明 令 a=( x, 2 y ) ,b =( 1 , 1 ) ,  
‘ . .

Ⅱ - 6 =X +2  ,  l   a   l = x   +4   ,  I   b   I =4 2,  

又  . ’ l a? 西 l   l   a   l   l 西l ,. ‘ . 1   X + 2 yl < x   + 4  × √ 2,  

而X   + 4 y   4 2,. ? . 1  + 2 y l < _ 2,即 + 2 y   2.   综 上 :当  + 4 y   √ 2时 ,   +2 y   2.  

解 令a =( x , 2 y ) ,6 = ( 1 , 1 ) ,. ‘ . a ? b = X + 2  ,  

变式 2已知 + Y + Z = 1 , 求X   + 2   。 + 3 z   的最小 
值.  

I   a   l =I x   + 4   ,I   b   l = 4 2,  
又’ . ’ l a ? b   1   I   a   l   l b   l ,. 。 . 1   X + 2 y l  / x   + 4  × √ 2,  

思 路 柯 西 不等 式 的 向量 形 式最 常 见 的是 二 维  形式 ,有 时 因题 目的需要 须将 二维推 广 到 F / 维形 式 ,   下面通 过变 式 2的求解进 一步 说 明 .  
一   一  

而X + 2 y = 2 = = > 4 x   + 4 y   ≥ 4 2 ,  
v  

, )1,  

即  + 4 y  2 ,当且仅当÷ =   取“ = ” ,  

1  

1  

解令口 = (   , √ 2   , √ 3 z ) , 6 = ( 1 , 去,  ) ,  


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