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2015-2016高中数学 3.3.1两条直线的交点坐标及两点间的距离课件 新人教A版必修2


3.3.1

两条直线的交点坐标及两点间的距离

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1.掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线 不同位置的对应关系,并且会通过直线方程的系 数判定解的情况,掌握判断两条直线位置关系的 方法. 2.当两条直线相交时,会求交点坐标.

3.掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程, 能

灵活运用此公式解决一些简单问题.
4.体会坐标法对于解平面几何问题的重要性.

典 例 精 析

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题型一

求两直线的交点

例 1 直线 5x+4y-2m-1=0 与直线 2x+3y-m=0 的交点在 第四象限,求 m 的取值范围. 2m+3 ? x = , ? ? 5x + 4y - 2m - 1 = 0 , 7 ? 解析:由方程组? 得? ?2x+3y- m=0 m- 2 ? ? ?y= 7 .
?2m+3 m- 2 ? ?. ∴两直线的交点坐标为? , 7 ? ? 7
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∵此交点在第四象限,

? ? ∴? m- 2 ? ? 7 <0

2m+3 >0, 7

3 ?- <m<2. 2
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? 3 ? 故所求 m 的取值范围是?- ,2?. ? 2 ?

点评: 求两条直线的交点坐标就是解联立两直线方程所得方程组 的解.由方程组解的个数可判定两条直线的位置关系:当方程组仅有 一组解时,两直线只有一个交点,故相交;当方程组有无数组解时, 两直线有无数个公共点,故重合;当方程组无解时,两直线没有公共 点,故平行.

1.求经过两直线 2x-3y-3=0 和 x+y+2=0 的交点且与直线 3x+y-1=0 平行的直线方程 l.
? ?2x-3y-3=0, 解析:解法一 由方程组? 得 ? ?x+ y+2=0,

? ? 7 ?y=-5.

3 x=- , 5
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∵直线 l 和直线 3x+ y-1=0 平行, ∴直线 l 的斜率 k=-3.
? ? 3? ? ? 7? ∴根据点斜式有 y-?- ?=-3?x-?-5? ?, ? ? ?? ? 5?

即所求直线方程为 15x+5y+16=0.

解法二 ∵直线 l 过两直线 2x-3y-3=0 和 x+ y+2=0 的交点, ∴设直线 l 的方程为 2x-3y-3+λ(x+ y+2)=0, 即(λ+2)x+(λ-3)y+2λ-3=0. ∵直线 l 与直线 3x+ y-1=0 平行, λ+2 λ-3 2λ-3 11 ∴ = ≠ ,解得 λ= . 3 1 2 -1 从而所求直线方程为 15x+5y+16=0.
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题型二

直线过固定点

例 2 求证:无论 m 取何实数,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5 都恒过一个定点. 证明:证法一:取 m=1,直线为 y=-4; 1 再取 m= ,直线为 x=9. 2 两直线的交点为 P(9,-4). 将点 P 的坐标代入原方程左端得(m-1)x+(2m-1)y=(m-1)×9 -(2m-1)×4= m-5.
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故不论 m 为何实数,点 P(9,-4)总在直线(m-1)x+(2m-1)y = m-5 上,即此直线过定点(9,-4). 证法二:把原方程整理得(x+2y-1)m-(x+y-5)=0,
? ?x+2y-1=0, 此方程对任意实数 m 都成立,则必有? ? ?x+ y-5=0, ? ?x=9, 解得? ? ?y=-4.
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∴无论 m 取何实数时,此直线恒过定点(9,-4). 点评:证法二的证法即方程 ax+b=0 对 x∈R 恒成立时成立的 条件:a=b=0.

?跟踪训练 2.不论 m 怎样变化,直线(m-2)x-(2m+1)y-(3m+4)=0 恒 过定点________. 解析:原方程可化为(x-2y-3)m-(2x+y+4)=0,
? ?x-2y-3=0, ? ?x=-1, 则? 得? ∴直线恒过定点(-1,-2). ? ?2x+y+4=0, ? ?y=-2.
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答案:(-1,-2)

题型三

两点的距离公式及应用

例 3 已知点 A(1,2),B(3,4),C(5,0). 求证:△ABC 为等腰三角形. 证明:∵|AB|= (4-2)2+(3-1)2=2 2, |AC|= (0-2)2+(5-1)2=2 5, |BC|= (5-3)2+(0-4)2=2 5, ∴|AC|=|BC|. 又∵A,B,C 三点不共线, ∴△ABC 为等腰三角形.
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点评:1.两点间的距离公式可用来解决一些有关距 离的问题(如根据各边长度判断三角形或四边形的形 状),根据条件直接套用公式即可,要注意公式的变 形应用,公式中两点的位置没有先后之分. 2.应用坐标法解决平面几何问题的一般步骤是: 第一步:建立坐标系,建系时应使尽可能多的点落 在坐标轴上,并且充分利用图形的对称性,用坐标 表示有关的量. 第二步:进行有关代数运算; 第三步:把代数运算结果“翻译”成几何关系.
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?跟踪训练
?1 3 ? 3.已知点 A(3,-1),B? , ?,C(3,4),试判断△ABC 的形状. ?2 2 ?

解析:∵|AB|=

? 1 ?2 ? 3 ?2 ?3- ? +?-1- ? = 2? ? 2? ?

50 5 2 = , 4 2

5 2 |AC|=5,|BC|= , 2 ∴|AB|=|BC|,且|AB|2+|BC|2=|AC|2, 故△ABC 为等腰直角三角形.

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题型四

对称问题

例 4 一束平行光线从原点 O(0,0)出发,经过直线 l:8x+6y =25 反射后通过点 P(-4,3),求反射光线的方程. 解析:如图,设原点关于 l 的对称点 A 的坐标为(a,b).由直线 OA 与 l 垂直和线段 AO 的中点在 l 上得
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? ? ?a=4, ∴A 的坐标为(4,3). ? a b 解得? ? ?b=3. 8 × + 6 × = 25 , ? 2 2
b ? 4? ·?- ?=-1, a ? 3? ∵反射光线的反向延长线过 A(4,3), 又由反射光线过 P(-4,3),两点纵坐标相等, 故反射光线所在直线方程为 y=3.
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? ? ?x=8, ?y= 3, 由方程组? 解得? ? ?8x+6y=25 ?
7

?y= 3.

? 7? 由于反射光线为射线,故反射光线的方程为 y=3?x≤ ?. ? 8?

点评:光线的入射、反射的问题以及在某定直线取点,使它与两 定点距离之和最小这类问题均属于点关于直线对称的问题. (1)点 A(x0,y0)关于直线 l:Ax+By+ C=0 的对称点 M(x,y)可 由方程组
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? ? ? ? ?

y- y0 ? A? ·?- ?=-1,AB≠0, x-x0 ? B? 求得. x+x0 y+ y0 A· +B· +C=0 2 2 (2)常用对称的特例有:

①A(a,b)关于 x 轴的对称点为 A′(a,-b); ②B(a,b)关于 y 轴的对称点为 B′(-a,b); ③C(a,b)关于直线 y=x 的对称点为 C′(b,a); ④D(a,b)关于直线 y=-x 的对称点为 D′(-b,-a); ⑤P(a,b)关于直线 x=m 的对称点为 P′(2m-a,b).
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?跟踪训练 4.一条光线从点 A(3,2)出发,经 x 轴反射,通过点 B(-1,6),求入射光 线和反射光线所在的直线方程. 解析:∵点 A(3,2)关于 x 轴的对称点 A′(3,-2), y- 6 x+1 ∴由两点式可得直线 A′B 的方程为 = ,即 2x+y-4=0. -2-6 3+1 同理,点 B 关于 x 的轴对称点 B′(-1,-6). y- 2 x-3 由两点式可得直线 AB′的方程为 = , -6-2 -1-3 即 2x-y-4=0. ∴入射光线所在直线方程为 2x-y-4=0; 反射光线所在直线方程为 2x+y-4=0.
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