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2016年上海文数高考试题文档版(含答案)


2016 年高考上海数学试卷(文史类)
考生注意: 1.本试卷共 4 页,23 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂(选择题)或写(非 选择题)在答题纸上,在试卷上作答一律不得分. 3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对 后的条形码贴在指定位置上,在答题纸

反面清楚地填写姓名. 一、填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结 果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.设 x ? R ,则不等式 x ? 3 ? 1的解集为_______. 2.设 z ?

3 ? 2i ,其中 i 为虚数单位,则 z 的虚部等于______. i

3.已知平行直线 l1: 2x ? y ?1 ? 0 , l2: 2x ? y ? 1 ? 0 ,则 l1 与 l2 的距离是_____. 4.某次体检,5 位同学的身高(单位:米)分别为 1.72,1.78,1.80,1.69,1.76,则这组数据的 中位数是______(米). 5.若函数 f ( x) ? 4sin x ? a cos x 的最大值为 5,则常数 a ? ______. 6.已知点(3,9)在函数 f ( x) ? 1 ? a 的图像上,则 f ( x ) 的反函数 f
x ?1

( x) =______.

? x ? 0, ? 7.若 x, y 满足 ? y ? 0, 则 x ? 2 y 的最大值为_______. ? y ? x ? 1, ?
8.方程 3sin x ? 1 ? cos 2 x 在区间 ?0, 2?? 上的解为_____.
n 9.在 ( 3 x ? ) 的二项展开式中,所有项的二项式系数之和为 256,则常数项等于____.

2 x

10.已知△ABC 的三边长分别为 3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于____. 11.某食堂规定,每份午餐可以在四种水果中任选两种,则甲、乙两同学各自所选的两种水 果相同的概率为______.
uu u r uur 12.如图,已知点 O(0,0),A(1.0),B(0,?1),P 是曲线 y = 1- x2 上一个动点, 则 OP ×BA 的取值范

围是.

1

ì ax + y = 1, ? 13.设 a>0,b>0. 若关于 x,y 的方程组 ? 无解,则 a + b 的取值范围是. í ? ? ? x + by = 1

14.无穷数列{an}由 k 个不同的数组成, Sn 为{an}的前 n 项和.若对任意的 n ? N* ,Sn ? {2, 3} 则 k 的最大值为. 二、选择题(本大题共 4 题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的 相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.设 a ? R ,则“a>1”是“a2>1”的() (A)充分非必要条件 (C)充要条件 (B)必要非充分条件 (D)既非充分也非必要条件

16.如图,在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,E、F 分别为 BC、BB1 的中点,则下列直线中与直 线 EF 相交的是() (A)直线 AA1(B)直线 A1B1 (C)直线 A1D1 (D)直线 B1C1

17.设 a ? R , b ? [0, 2 π] .若对任意实数 x 都有 sin(3 x 数对(a,b)的对数为() (A)1 (B)2 (C)3

π )=sin( ax + b) ,则满足条件的有序实 3

(D)4

18.设 f(x)、 g(x)、 h(x)是定义域为 R 的三个函数.对于命题: ①若 f(x)+g(x)、 f(x)+h(x)、 g(x)+h(x) 均是增函数,则 f(x)、g(x)、h(x)均是增函数;②若 f(x)+g(x)、f(x)+h(x)、g(x)+h(x)均是以 T 为周期的函数,则 f(x)、g(x)、h(x)均是以 T 为周期的函数,下列判断正确的是() (A)①和②均为真命题 (B)①和②均为假命题
2

(C)①为真命题,②为假命题

(D)①为假命题,②为真命题

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 将边长为 1 的正方形 AA1O1O(及其内部)绕 OO1 旋转一周形成圆柱,如图, ? AC 长为
? ? A1B1 长为 ,其中 B1 与 C 在平面 AA1O1O 的同侧. 3

5? , 6

(1)求圆柱的体积与侧面积; (2)求异面直线 O1B1 与 OC 所成的角的大小.

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 有一块正方形菜地 EFGH,EH 所在直线是一条小河,收获的蔬菜可送到 F 点或河边运走. 于是,菜地分为两个区域 S1 和 S2,其中 S1 中的蔬菜运到河边较近,S2 中的蔬菜运到 F 点较 近, 而菜地内 S1 和 S2 的分界线 C 上的点到河边与到 F 点的距离相等.现建立平面直角坐标系, 其中原点 O 为 EF 的中点,点 F 的坐标为(1,0) ,如图 (1)求菜地内的分界线 C 的方程; (2)菜农从蔬菜运量估计出 S1 面积是 S2 面积的两倍,由此得到 S1 面积的“经验值”为
8 . 3

设 M 是 C 上纵坐标为 1 的点,请计算以 EH 为一边、另有一边过点 M 的矩形的面积,及五 边形 EOMGH 的面积,并判别哪一个更接近于 S1 面积的“经验值”.

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 双曲线 x2 ? 两点.
3

y2 ? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,直线 l 过 F2 且与双曲线交于 A、B b2

(1)若 l 的倾斜角为

? , △F1 AB 是等边三角形,求双曲线的渐近线方程; 2

(2)设 b ? 3, 若 l 的斜率存在,且|AB|=4,求 l 的斜率. 22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 6 分. 对于无穷数列{ an }与{ bn },记 A={ x | x = a , n ? N* },B={ x | x = bn , n ? N* },若 同时满足条件: ①{ an }, { bn }均单调递增; ② A ? B ? ? 且 A? B ? N , 则称{ an }与{ bn }
*

是无穷互补数列. (1) 若 an = 2n ? 1 ,bn = 4n ? 2 , 判断{ an }与{ bn }是否为无穷互补数列, 并说明理由; (2)若 an = 2 且{ an }与{ bn }是无穷互补数列,求数列{ bn }的前 16 项的和; (3)若{ an }与{ bn }是无穷互补数列,{ an }为等差数列且 a16 =36,求{ an }与{ bn }得通 项公式. 23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分 已知 a ?R,函数 f ( x ) = log 2 ( ? a ) . (1)当 a ? 1 时,解不等式 f ( x ) >1; (2)若关于 x 的方程 f ( x ) + log 2 ( x2 ) =0 的解集中恰有一个元素,求 a 的值; (3)设 a >0,若对任意 t ? [ ,1] ,函数 f ( x ) 在区间 [t , t ? 1] 上的最大值与最小值的差 不超过 1,求 a 的取值范围.
n

1 x

1 2

4

参考答案 1. ( 2,4) 2. ? 3 3.

2 5 5

4. 1.76 5. ? 3 6. log2 ( x ? 1) 7. ? 2

, 6 6 9. 112
8. 10.

? 5?

7 3 3
1 6

11.

12. ? ?1, 2 ?

?

?

13. ? 2, ??? 14. 4 15.A 16.D 17.B 18.D 19.解: (1)由题意可知,圆柱的母线长 l ? 1 ,底面半径 r ? 1 .
2 2 圆柱的体积 V ? ? r l ? ? ?1 ?1 ? ? ,

圆柱的侧面积 S ? 2? rl ? 2? ?1?1 ? 2? . (2)设过点 ?1 的母线与下底面交于点 ? ,则 ?1?1 //?? , 所以 ?C?? 或其补角为 ?1?1 与 ? C 所成的角.

? ? ,可知 ???? ? ??1?1?1 ? , 3 3 5 ? 5 ? ? ? C 长为 由? ,可知 ???C ? , ?C?? ? ???C ? ???? ? , 6 6 2 ? 所以异面直线 ?1?1 与 ? C 所成的角的大小为 . 2
? ? 长为 由? 1 1

5

20.解: (1)因为 C 上的点到直线 ?? 与到点 F 的距离相等,所以 C 是以 F 为焦点、以 . ?? 为准线的抛物线在正方形 ?FG? 内的部分,其方程为 y 2 ? 4x ( 0 ? y ? 2 ) (2)依题意,点 ? 的坐标为 ? 所求的矩形面积为

?1 ? ,1? . ?4 ?

5 11 ,而所求的五边形面积为 . 2 4

矩形面积与“经验值”之差的绝对值为

5 8 1 ? ? ,而五边形面积与“经验值”之差 2 3 6

的绝对值为

11 8 1 . ? ? ,所以五边形面积更接近于 S1 面积的“经验值” 4 3 12

21.解: (1)设 ? ? x? , y? ? .
2 2 2 4 2 由题意, F2 ? c,0? , c ? 1 ? b , y? ? b c ? 1 ? b ,

?

?

因为 ?F 1?? 是等边三角形,所以 2c ? 3 y? ,
2 4 2 即 4 1 ? b ? 3b ,解得 b ? 2 .

?

?

故双曲线的渐近线方程为 y ? ? 2x . (2)由已知, F2 ? 2,0? . 设 ? ? x1, y1 ? , ? ? x2 , y2 ? ,直线 l : y ? k ? x ? 2? .

? 2 y2 ?1 ?x ? 2 2 2 2 由? ,得 ? k ? 3? x ? 4k x ? 4k ? 3 ? 0 . 3 ? y ? k ? x ? 2? ?
2 2 因为 l 与双曲线交于两点,所以 k ? 3 ? 0 ,且 ? ? 36 1 ? k ? 0 .

?

?

6

36 ? k 2 ? 1? 4k 2 4k 2 ? 3 2 由 x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? 2 ,得 ? x1 ? x2 ? ? , 2 k ?3 k ?3 ? k 2 ? 3?
故 ?? ?

? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?
2

2

? 1 ? k x1 ? x2 ?
2

6 ? k 2 ? 1? k2 ?3

? 4,

2 解得 k ?

3 15 ,故 l 的斜率为 ? . 5 5

22.解: (1)因为 4 ? ? , 4 ? ? ,所以 4 ? ? ? ? , 从而 ?an ? 与 ?bn ? 不是无穷互补数列. (2)因为 a4 ? 16 ,所以 b16 ? 16 ? 4 ? 20 .
2 3 4 数列 ?bn ? 的前 16 项的和为 ?1 ? 2 ? ??? ? 20 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2

?

?

1 ? 20 ? 20 ? ? 25 ? 2 ? ? 180 . 2
(3)设 ?an ? 的公差为 d , d ? ? ,则 a16 ? a1 ? 15d ? 36 .
?

由 a1 ? 36 ?15d ? 1 ,得 d ? 1 或 2 . 若 d ? 1 ,则 a1 ? 21, an ? n ? 20 ,与“ ?an ? 与 ?bn ? 是无穷互补数列”矛盾; 若 d ? 2 ,则 a1 ? 6 , an ? 2n ? 4 , bn ? ?

?n, n ? 5 . ?2n ? 5, n ? 5

综上, an ? 2n ? 4 , bn ? ?

?n, n ? 5 . ?2n ? 5, n ? 5

23.解: (1)由 log 2 ? 解得 x ? ? 0,1? . (2) log 2 ?

1 ?1 ? ? 1? ? 1 ,得 ? 1 ? 2 , x ?x ?

?1 ? ? a ? ? log 2 ? x 2 ? ? 0 有且仅有一解, ?x ?

等价于 ?

?1 ? ? a ? x 2 ? 1 有且仅有一解,等价于 ax 2 ? x ? 1 ? 0 有且仅有一解. ?x ?
1 . 4
7

当 a ? 0 时, x ? 1 ,符合题意; 当 a ? 0 时, ? ? 1 ? 4a ? 0 , a ? ?

综上, a ? 0 或 ?

1 . 4

(3)当 0 ? x1 ? x2 时,

?1 ? ?1 ? 1 1 ? a ? ? a , log 2 ? ? a ? ? log 2 ? ? a ? , x1 x2 ? x1 ? ? x2 ?

所以 f ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递减. 函数 f ? x ? 在区间 ?t, t ?1? 上的最大值与最小值分别为 f ? t ? , f ? t ? 1? .

?1 ? ? 1 ? f ? t ? ? f ? t ? 1? ? log 2 ? ? a ? ? log 2 ? ? a ? ? 1 即 at 2 ? ? a ?1? t ?1 ? 0 ,对任意 ?t ? ? t ?1 ?
?1 ? t ? ? ,1? 成立. ?2 ?
2 因为 a ? 0 ,所以函数 y ? at ? ? a ?1? t ?1 在区间 ? ,1? 上单调递增, t ?

?1 ? ?2 ?

1 时, y 2

有最小值

3 1 3 1 2 a ? ,由 a ? ? 0 ,得 a ? . 4 2 4 2 3

故 a 的取值范围为 ? , ?? ? .

?2 ?3

? ?

8


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