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高二数学(理科)期末复习训练(含答案)


高二数学(理科)期末复习训练(含答案)

(导数与积分练习)
1.计算下列定积分的值: (1) ? ( 4 x ? x ) dx ;
2 ?1 3

(2) ? ( x ? 1) dx ;
5 1

2

?

?

(3) ? (

x ? sin x )dx ;
2 0

(4) ? 2? cos
? 2

2

x dx ;

2. 已知函数 f ( x ) ? 4 x ? 3 x ,求
2

(1) f ( x ) 的图象在点 x ? 1 处的切线 l 方程 (2) f ( x ) 的图象与 x 轴所围成图形的面积 S .

3.已知函数 f ( x ) ? a x ? b x ? c ( a ? 0, b 、 c ? R ) ,曲线 y ? f ( x ) 经过点 P (0, 2 a ? 8) ,
2

2

且在点 Q ( ? 1, f ( ? 1)) 处的切线垂直于 y 轴,设 g ( x ) ? ( f ( x ) ? 1 6 ) ? e (I)用 a 分别表示 b 和 c ; (Ⅱ)当
c b

?x



取得最小值时,求函数 g ( x ) 的单调递增区间。

4、 设函数 f ( x ) ? a x ? b x ? k ( k ? 0 ) 在 x ? 0 处取得极值, 且曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处
2

的切线垂直于直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 . (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)若函数 g ( x ) ?
e
x

,讨论 g ( x ) 的单调性.

f (x)

5.已知函数 f ( x ) ? x ? a x ? 3 b x ? c ( b ? 0 ), 且 g ( x ) ? f ( x ) ? 2 是奇函数.
3 2

(Ⅰ)求 a,c 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调区间.

6. 某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法:达到 100 人的团体,每人收费 1000 元。 如果团体的人数超过 100 人,那么每超过 1 人,每人平均收费降低 5 元,但团体人数不能超 过 180 人,如何组团可使旅行社的收费最多? (不到 100 人不组团)

7.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量 y (升)关于行驶速度 x (千米/ 小时)的函数解析式可以表示为: y ?
1 128000 x ?
3

3 80

x ? 8 (0< x ≤120).已知甲、乙两地

相距 100 千米。 (Ⅰ)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (Ⅱ)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升

8.某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为 3 元,并且每件产品需向总公司交 a 元 ( 3 ≤ a ≤ 5 )的管理费,预计当每件产品的售价为 x 元( 9 ≤ x ≤ 1 1 )时,一年的 销 售量为 (1 2 ? x ) 万件. (1)求分公司一年的利润 L (万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值 Q (a ) .
2

高二数学(理科)期末复习训练答案

(导数与积分练习)
1.计算下列定积分的值: (1) ? ( 4 x ? x ) dx ;
2 ?1 3

(2) ? ( x ? 1) dx ;
5 1

2

?

?

(3) ? ( x ? sin x )dx ;
2 0

(4) ? 2? cos
? 2

2

x dx ;

解(1)

(2)
2

?

3 ?1

(4 x ? x )dx
2

? (2 x ?
2

x

3

?
( ? 1) 3
3

2

( x ? 1) d x
5

1

) 3
3

3 ?1

3 ? (2 ? 3 ? ? 9? ? 20 3 7 3

?
2

?

2

( x ? 1) d ( x ? 1)
5 6 2 1 6

1

) ? [ 2 ? ( ? 1) ?

]

? ? ?

( x ? 1) 6 ( 2 ? 1) 6 1 6

3

?

(1 ? 1) 6

6

(3)
?

(4)
?

?

2 0

( x ? sin x )d x x
2

?

2 ?

?
2

c o s xd x
?

2

?

?

?(

? co s x )

?

2 ?

1 ? cos 2 x 2
?
2 ?

?
2

dx

2 0

2 (

?

?

1 2

?

?
2

(1 ? c o s 2 x ) d x s in 2 x 2
?

)

2

?[ 2 2 ?

? co s

?
2

] ? (0 ? co s 0 )

?

1 2

(x ?

)

2 ?

?
2

?
8

2

?1

? ?

1 2

?[(

?
2

?

s in ? 2

) ? (?

?
2

?

? s in ? 2

)]

?
2

2. 已知函数 f ( x ) ? 4 x ? 3 x ,求
2

(1) f ( x ) 的图象在点 x ? 1 处的切线 l 方程

(2) f ( x ) 的图象与 x 轴所围成图形的面积 S . 解: (1) x ? 1 时, f (1) ? 4 ? 3 ? 1 ? 切点(1,1)
f ?( x ) ? 4 ? 6 x

?

k ? f ? (1) ? ? 2

则直线 l : 2 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 0 即 2 x ? y ? 3 ? 0 为所求
? y ? 4x ? 3x 2 ?y ? 0
4

(2)由 ?

得 y ? f ( x ) 的图象与 x 轴的交点(0,0)( ;

4 3

,0)

?

S ?

?

3 0

( 4 x ? 3 x ) dx
2
4 2 3

3 ? ( 2 x ? x ) |0

?

32 9 32 27

?

64 27

?

32 27

即所求 S ?

…………

3.已知函数 f ( x ) ? a x ? b x ? c ( a ? 0, b 、 c ? R ) ,曲线 y ? f ( x ) 经过点 P (0, 2 a ? 8) ,
2

2

且在点 Q ( ? 1, f ( ? 1)) 处的切线垂直于 y 轴,设 g ( x ) ? ( f ( x ) ? 1 6 ) ? e (I)用 a 分别表示 b 和 c ; (Ⅱ)当
c b

?x



取得最小值时,求函数 g ( x ) 的单调递增区间。
2

解: (I)? 经过点 P (0, 2 a ? 8)
? c ? 2a ? 8 ;
2

由切线垂直于 y 轴可知 f '( ? 1) ? 0 ,从而有 ? 2 a ? b ? 0 ,
? b ? 2a

(Ⅱ)因为 a ? 0, 而 当且仅当 a ?
2

c b
4 a

?

2a ? 8
2

? a?

4 a

? 2

a?

4 a

? 4 ,

2a

,即 a ? 2 时取得等号。
?x

? f ( x ) ? 2 x ? 4 x ? 1 6, g ( x ) ? ( f ( x ) ? 1 6 ) ? e g '( x ) ? ( 4 x ? 4 ) e
?x

? (2 x ? 4 x)e
2 2

?x

? (2 x ? 4 x )e
2

?x

( ? 1) ? e

?x

(4 ? 2 x )

因为 e

?x

? 0

? g '( x ) ? 0 时 g ( x ) 为单调递增函数,即 ( ?
2

2,

2 ) 为单调递增区间

4、 设函数 f ( x ) ? a x ? b x ? k ( k ? 0 ) 在 x ? 0 处取得极值, 且曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处 的切线垂直于直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 . (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)若函数 g ( x ) ?
e
x

,讨论 g ( x ) 的单调性.

f (x)
? f / (0) ? 0 解: (1) f ( x ) ? 2 ax ? b ,根据题意,有 ? / ? f (1 ) ? 2
/

即?

?

b ? 0

?2a ? b ? 2

,? ?
e
2 x x

?a ? 1 ?b ? 0

g (x) ?

(2)
g (x) ?
/

x ? k
2

,
x

e (x ? k) ? e ? 2x (x ? k)
2
/

2

?

e (x ? 2x ? k)
x 2

(x ? k)
2

2

?

e [( x ? 1 ) ? k ? 1 ]
x 2

(x ? k)
2

2

当 k ? 1 ? 0即 k ? 1时 , g ( x ) 恒大于等于 当

0, g ( x ) 在 R 上单调递增。 ?

k ? 1 ? 0 即 k ? 1时 , 令 g ( x ) ? 0,即 x ? 2 x ? k ? 0,解得 x ?
/ 2

2?

4 ? 4k 2

?1?

1? k

? x ? ( ?? ,1 ?
x ? (1 ?

1 ? k ), g ( x ) ? 0 , x ? (1 ?
/
/

1 ? k ,? 1

1 ? k ), g ( x ) ? 0
/

1 ? k , ?? ), g ( x ) ? 0

? 函数 g ( x )的单调增区间是 单调减区间是 (1 ? 1 ? k ,? 1

( ?? ,1 ? 1? k )

1 ? k ) 和 (1 ?

1 ? k , ?? )

5.已知函数 f ( x ) ? x ? a x ? 3 b x ? c ( b ? 0 ), 且 g ( x ) ? f ( x ) ? 2 是奇函数.
3 2

(Ⅰ)求 a,c 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调区间. 解: (Ⅰ)因为函数 g(x)=f(x)-2 为奇函数,所以,对任意的 x∈R,g(-x)=-g(x),即 f(-x)2=-f(x)+2.又 f(x)=x3+ax2+3bx+c,所以-x3+ax2-3bx+c-2=-x3-ax2-3bx-c+2. 所以
a ? ?a, c ? 2 ? ?c ? 2.

解得 a=0,c=2. (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f(x)=x3+3bx+2.所以 f′(x)=3x2+3b(b≠0). 当 b<0 时,由 f′(x)=0 得 x=± ? b .

x 变化时,f′(x)的变化情况如下表: x f′(x) (-∞,+
?b )

- ?b 0

(- ? b , ? b ) -

?b

( ? b ,+∞) +

0

所以,当 b<0 时,函数 f (x)在(-∞,- ? b )上单调递增,在(- ? b , ? b )上单调 递减,在( ? b ,+∞)上单调递增. 当 b>0 时,f′(x)>0.所以函数 f (x)在(-∞,+∞)上单调递增. 6. 某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法:达到 100 人的团体,每人收费 1000 元。 如果团体的人数超过 100 人,那么每超过 1 人,每人平均收费降低 5 元,但团体人数不能超 过 180 人,如何组团可使旅行社的收费最多? (不到 100 人不组团)

解:设参加旅游的人数为 x,旅游团收费为 y 则依题意有
f ( x)

=1000x-5(x-100)x

(100≤x≤180)

令 f ?( x ) ? 1 5 0 0 ? 1 0 x ? 0 得 x=150 又 f (1 0 0 ) ? 1 0 0 0 0 0 ,
f (1 5 0 ) ? 1 1 2 5 0 0

, f (1 8 0 ) ? 1 0 8 0 0 0

所以当参加人数为 150 人时,旅游团的收费最高,可达 112500 元。
7.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量 y (升)关于行驶速度 x (千米/ 小时)的函数解析式可以表示为: y ?
1 128000 x ?
3

3 80

x ? 8 (0< x ≤120).已知甲、乙两地

相距 100 千米。 (Ⅰ)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (Ⅱ)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升 解: (I)当 x ? 4 0 时,汽车从甲地到乙地行驶了 要耗没 (
1 128000 ? 40 ?
3

100 40

? 2 .5 小时,

3 80

? 4 0 ? 8 ) ? 2 .5 ? 1 7 .5 (升) 。

答:当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油 17.5 升。 (II)当速度为 x 千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了 依题意得
h(x) ? ( 1 128000 x ?
3

100 x

小时,设耗油量为 h ( x ) 升,

3 80

x ? 8 ).

100 x

?

1 1280

x ?
2

800 x

?

15 4

(0 ? x ? 1 2 0 ),

h '( x ) ?

x 640

?

800 x
2

?

x ? 80
3

3

640 x

2

(0 ? x ? 1 2 0 ). 令 h '( x ) ? 0, 得 x ? 8 0 . 当 x ? (0, 8 0 ) 时,

h '( x ) ? 0, h ( x ) 是减函数;当 x ? (8 0,1 2 0 ) 时, h '( x ) ? 0, h ( x ) 是增函数。

∴当 x ? 8 0 时, h ( x ) 取到极小值 h (8 0 ) ? 1 1 .2 5 . 因为 h ( x ) 在 (0,1 2 0 ] 上只有一个极值,所 以它是最小值。 答:当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为 11.25 升。 8.某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为 3 元,并且每件产品需向总公司交 a 元 ( 3 ≤ a ≤ 5 )的管理费,预计当每件产品的售价为 x 元( 9 ≤ x ≤ 1 1 )时,一年的 销 售量为 (1 2 ? x ) 万件. (1)求分公司一年的利润 L (万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值 Q (a ) .
2

解: (1)分公司一年的利润 L (万元)与售价 x 的函数关系式为:
L ? ( x ? 3 ? a )(1 2 ? x ) , x ? [9,1] . 1
2

(2) L ? ( x ) ? (1 2 ? x ) ? 2 ( x ? 3 ? a )(1 2 ? x ) ? ( 1 2 ? x ) ( 1 ? a 2? x . ) 8 3
2

令 L? ? 0 得 x ? 6 ?

2 3

a 或 x ? 1 2 (不合题意,舍去) .
2 3 a≤ 28 3

? 3 ≤ a ≤ 5 ,? 8 ≤ 6 ?



在x ? 6 ?

2 3

a 两侧 L ? 的值由正变负.
2 3
2

所以(1)当 8 ≤ 6 ?

a ? 9 即3 ≤ a ?

9 2

时,

L m ax ? L (9 ) ? (9 ? 3 ? a )(1 2 ? 9 ) ? 9 (6 ? a ) .

(2)当 9 ≤ 6 ?
2

2 3

a≤

28 3



9 2

≤ a ≤ 5 时,
2 3

L m ax

2 2 ?? 1 ? ? ?? ? ? ? L (6 ? a ) ? ? 6 ? a ? 3 ? a ? ?1 2 ? ? 6 ? a ? ? ? 4 ? 3 ? a ? , 3 3 3 ?? 3 ? ? ?? ? ?

9 ? 9 (6 ? a ), 3≤ a ? , ? 2 ? 所以 Q ( a ) ? ? 3 9 ?4 ? 3 ? 1 a ? , ≤ a≤ 5 ? ? ? ? 3 ? 2 ?

答:若 3 ≤ a ?

9 2

,则当每件售价为 9 元时,分公司一年的利润 L 最大,最大值
9

Q ( a ) ? 9 ( 6? a )(万元) ;若

2 ? ? ≤ a ≤ 5 ,则当每件售价为 ? 6 ? a ? 元时,分公司一年的 2 3 ? ?
3

1 ? ? 利润 L 最大,最大值 Q ( a ) ? 4 ? 3 ? a ? (万元) . 3 ? ?


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