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高中数学(苏教版选修2-3)双基达标训练:2.1 随机变量及其概率分布


第2章 2. 1





随机变量及其概率分布

双基达标

?限时15分钟?

1.接连射击,直到命中目标为止,所需要的射击次数为 X,则{X=k,k∈N*} 表示的随机试验的结果为____________________________________

______. 答案 射击了 k 次,前 k-1 次都未击中目标,第 k 次击中目标

2.一袋中装有 5 个球,编号为 1,2,3,4,5,从袋中同时取 3 个,以 X 表示取出的 3 个球的号码之和,则 X 的所有可能的取值为________. 答案 6,7,8,9,10,11,12

c 3.已知 X 的分布列为 P(X=k)=2k(k=1,2,…,6),其中 c 为常数,则 P(X≤2) =________. 解析 c c c c c c 由题意得,2+4+8+16+32+64=1,

64 解得 c=63, 64 1 1 16 P(X≤2)=P(X=1)+P(X=2)=63×(2+4)=21. 答案 16 21

4.某人投篮的命中率是不命中概率的 3 倍,以随机变量 X 表示 1 次投篮的命中 次数,则 P(X=1)=________. 答案 3 4

5.一个袋中有 5 个白球和 3 个红球,从中任取 3 个,则随机变量为下列中的 ________(填序号). ①所取球的个数;②其中含白球的个数;③所取白球与红球的总数;④袋中 球的总球. 解析 答案 从袋中取出 3 个球,则①、③、④都是定值,不是随机变量. ②
第1页 共5页

6.袋中有 5 只乒乓球,编号为 1 至 5,从袋中任取 3 只,若以 X 表示取到的球 中的最大号码,试写出 X 的概率分布. 解 C2 2 依题意知,X 可能的取值为 3,4,5.取到每个值的概率分别为 P(X=3)=C3 5

1 =10; C2 3 3 P(X=4)=C3=10;
5

C2 4 3 P(X=5)=C3=5.故 X 的概率分布为:
5

X P

3 1 10

4 3 10

5 3 5

综合提高

?限时30分钟?

7.一袋中装有 6 个同样大小的黑球,编号为 1,2,3,4,5,6.现从中随机地取出 3 个, 用 X 表示取出的球的最大号码,则{X=6}表示的试验结果是________. 解析 X=6 表示取出的 3 个球的最大号码是 6,其余的是 1,2,3,4,5 号球中的

任意两个. 答案 从 6 个球中取出 3 个,其中一个是 6 号球,其余的 2 个是 1,2,3,4,5 号

球中的任意两个. 8.随机变量 X 的概率分布规律为 P(X=k)= 5? ?1 则 P?2<X<2?的值为______. ? ? 解析 c c P(X=1)=2,P(X=2)=6, c c ,P(X=4)= . 12 20 c ,k=1,2,3,4,其中 c 是常数, k?k+1?

P(X=3)=

1? 5 ?1 1 1 ∴?2+6+12+20?c=1,∴c=4. ? ? 5? ?1 P?2<X<2?=P(X=1)+P(X=2) ? ? ?1 1? 2 5 5 =?2+6?c=3×4=6. ? ?

第2页 共5页

答案

5 6

9.袋内有 5 个白球,6 个红球,从中摸出两球,记 ?0,两球全红, X=? 则 X 的分布列为________. ?1,两球非全红, 解析 C2 3 6 P(X=0)=C2 =11, 11

3 8 P(X=1)=1-11=11.故 X 的分布列如下表. X P 答案 X P 10.已知随机变量 η 的概率分布如下表: η P 1 0.2 2 x 3 0.25 4 0.1 5 0.15 6 0.2 0 3 11 1 8 11 0 3 11 1 8 11

则 x=________;P(η>3)=________;P(1<η≤4)=________. 解析 由分布列的性质得:0.2+x+0.25+0.1+0.15+0.2=1,解得 x=0.1.

P(η>3)=P(η=4)+P(η=5)+P(η=6)=0.1+0.15+0.2=0.45, P(1<η≤4)=P(η=2)+P(η=3)+P(η=4)=0.1+0.25+0.1=0.45. 答案 0.1 0.45 0.45

11.先后抛掷一个骰子两次,以下的随机变量可能取哪些值? (1)两次抛掷出的最大点数; (2)两次掷出的点数之和; (3)第一次与第二次掷出的点数差. 解 (1)用随机变量 X 表示抛掷骰子两次掷出的最大点数, 则 X 的取值集合为

{1,2,3,4,5,6}. (2) 用 随 机 变 量 ζ 表 示 抛 掷 两 次 掷 出 的 点 数 之 和 , 则 ζ 的 取 值 集 合 为 {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}.

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(3)用随机变量 X 表示第一次与第二次掷出的点数差, 则 X 的取值集合为{-5, -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}. i 12.设随机变量 X 的分布列为 P(X=i)=10,(i=1,2,3,4). (1)求 P(X<3); 7? ?1 (2)求 P?2<X<2?; ? ? (3)求函数 F(x)=P(X<x). 解 3 (1)P(X<3)=P(X=1)+P(X=2)=10.

7? ?1 (2)P?2<X<2?=P(X=1)+ ? ? 3 P(X=2)+P(X=3)=5

? 1 ?10 ?1<x≤2?, ?3 (3)F(x)=P(X<x)=?10 ?2<x≤3?, ?3 ?3<x≤4?, 5 ? ?1 ?x>4?.
13.(创新拓展)有甲、乙两个盒子,甲盒子中有 8 张卡片,其中 2 张写有数字 0,3 张写有数字 1,3 张写有数字 2;乙盒子中有 8 张卡片,其中 3 张写有数字 0,2 张写有数字 1,3 张写有数字 2. (1)如果从甲盒子中取 2 张卡片,从乙盒中取 1 张卡片,那么取出的 3 张卡片 都写有 1 的概率是多少? (2)如果从甲、 乙两个盒子中各取 1 张卡片, 设取出的两张卡片数字之和为 X, 求 X 的概率分布. 解
1 C2 3 3C2 (1)取出 3 张卡片都写有 1 的概率为C2C1=112. 8 8

0

?x≤1?,

(2)X 所有可能取的值为 0,1,2,3,4.
1 C1 6 3 2C3 P(X=0)=C1C1=64=32, 8 8

第4页 共5页

1 1 1 C1 2C2 C3C3 13 P(X=1)=C1C1+C1C1=64, 8 8 8 8 1 1 1 1 1 C1 21 3C2 C2C3 C3C3 P(X=2)=C1C1+C1C1+C1C1=64, 8 8 8 8 8 8 1 1 1 C1 3C2+C3C3 15 P(X=3)= =64, 1 C1 8 C8 1 C1 9 3C3 P(X=4)=C1C1=64. 8 8

∴X 的概率分布为: X P 0 3 32 1 13 64 2 21 64 3 15 64 4 9 64

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