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北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编29:定积分的计算及其应用(教师版)


北京市 2014 届高三理科数学一轮复习试题选编 29:定积分的计算及其应用
一、选择题 1 .(安徽寿县一中 2012 年高三第四次月考试卷)求由曲线 y ? ? x ,直线 y

? ? x ? 2 及 y 轴所围成的图
( )

形的面积错误的为 A.

?

4


0

(2 ? x ? x )dx B. ?
C.

4

0

xdx

C.

?

2

?2

(2 ? y ? y 2 )dy D. ? (4 ? y 2 )dy
?2

0

【答案】

? 1 , ( x ? 3) ? 2 2 2 .(江西重点高中协作体第二次联考理科)若函数 f ( x) ? ? 4 ? x , ( 3 ? x ? 2) ,则 ? ?1 [ f ( x) ? x]dx ? 0 , ( x ? 2) ?
的值为 A. ( )

?
2

?

3? 3 3

B. C.

?
3

?

5? 3 2

C.

?
3

?

3? 3 2

D.

?
2

?

5? 3 3
?

【答案】

3 . (2011-2012 学年厦门市 3 月份高三数学质量检查试题(理科))如图,已知幂函数 y ? x 的图像过点

P(2, 4) ,则图中阴影部分的面积等于

y P

O
A.

2
16 3

x
B.





8 3

C.

4 3

D.

2 3

【答案】 C. 4 .(2012 年高考(湖北理))已知二次函数 y ? f ( x) 的图象如图所示,则它与 x 轴所围图形的面积为

y
1

?1
?1 O

1

x ( B.
4 3

第 ?1 3 题图 A.
2π 5

?1

π 2

C.

3 2

D.

【 答 案 】 解 析 : 根 据 图 像 可 得 : y ? f ( x) ? ? x 2 ? 1 , 再 由 定 积 分 的 几 何 意 义 , 可 求 得 面 积 为

第 1 页,共 6 页

1 1 4 S ? ? (? x 2 ? 1)dx ? (? x3 ? x)1 1 ? . ? ?1 3 3

5 .(2012 年高考(福建理))如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P,则点 P 恰好取自阴影部分

的概率为

( A.



1 4

B. 【答案】C

1 5

C.

1 6

D.

1 7

【答案】

【解析】? S阴影 ?

1 1 1 2 3 1 ( x ? x)dx ? ( x 2 ? x 2 ) ? S正 ? 1 ,故 P ? ,答案 C ?0 6 3 2 0 6
1

6 . (北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(理)试题)函数

的图象与 x 轴所 ( )

围成的封闭图形的面积为

A.

B.1

C.2
?

D.

【答案】A【解析】根据积分的应用可求面积为

S ? ? f ( x)dx ? ? ( x ? 1)dx ? ? 2 cos xdx
2 ?1 ?1 0

0

?

1 ? ( x 2 ? x) 2
A.

0 ?1

? sin x

?
2 0

?

1 3 ?1 ? 2 2

,选
1





(x 7 . (2013 北京朝阳二模数学理科试题)若 ?
0

2

? mx)dx ? 0

,则实数 m 的值为 D. ?2





A. ?

1 3

B. ? B.

2 3

C. ?1

【答案】

8 . (2013 届北京大兴区一模理科)抛物线 y = x (- 2 ≤ x ≤ 2) 绕 y 轴旋转一周形成一个如图所示的旋转
2

体,在此旋转体内水平放入一个正方体,使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐,则此正方体 的体积是 ( )

第 2 页,共 6 页

A.1
【答案】B

B.8

C. 8 2

D. 16 2

9 .(陕西省西安中学 2012 届高三下学期第三次月考试题)如图,设 D 是图中边长为 4 的正方形区域,E 是 D

内函数 y=x 图象下方的点构成的区域.向 D 中随机投一点,则该点落入 E 中的概率为

2

( A.



1 5

B. C.

1 4

C.

1 3

D.

1 2

【答案】

10.(东北四校 2012 届高三第一次高考模拟考试数学(理)试题)若

?

a

1

1 (2 x ? )dx ? 3 ? ln 2(a ? 1) ,则 a 的 x
( )

值是 A.2 C.4
【答案】

B.3 D.6 ( )

A. 11 . (2013 湖 北 高 考 数 学 ( 理 )) 一 辆 汽 车 在 高 速 公 路 上 行 驶 , 由 于 遇 到 紧 急 情 况 而 刹 车 , 以 速 度

v ? t ? ? 7 ? 3t ?
位; m )是 A. 1 ? 25ln 5
【 答 案 】

25 ( t 的单位: s , v 的单位: m / s )行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单 1? t
( )

11 B. 8 ? 25ln 3
C 解 : 令

C. 4 ? 25ln 5

D. 4 ? 50 ln 2

v ? t ? ? 7 ? 3t ?

25 ?0 , 则 t?4 . 汽 车 刹 车 的 距 离 是 1? t

?

4

0

25 ? ? ? 7 ? 3t ? ? dt ? 4 ? 25ln 5 ,故选 C. 1? t ? ?
2

12. (2013 北京高考数学(理) 直线 l 过抛物线 C: x =4y 的焦点且与 y 轴垂直,则 l 与 C 所围成的图形的面 )

积等于
第 3 页,共 6 页





A.

4 3

B.2

C.

8 3

D.

16 2 3

【 答 案 】 C

l 的 方 程 是 y ?1 , 所 求 面 积 相 当 于 一 个 矩 形 面 积 减 去 一 个 积 分
2

值: S ? 4 ? 2
二、填空题

?

0

x2 x2 2 8 . dx ? 4 ? ( 0) ? 4 12 3

13. (北京市海淀区 2013 届高三上学期期中练习数学(理)试题) 【答案】 e ? 1

? e dx ? ___________.
x 0

1

14.北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 12 月综合练习(一)数学理试题) ( 由曲线 y ?

x ,直线 y ? x ? 2

及 y 轴所围成的图形的面积为______________.
【 答 案 】

? ?x ? 4 16 ? y= x 【 解 析 】 由 ? , 解 得 ? , 即 B(4, 2) , 所 以 所 求 面 积 为 3 ? y =x ? 2 ? y =2 ?

2 3 1 16 4 [ x ? ( x ? 2)]dx ? ( x 2 ? x 2 ? 2 x) 0 ? ?0 3 2 3
4

15. (北京市海淀区 2013 届高三 5 月查缺补漏数学(理) 计算 ) 【答案】

?

e

1

1 (2 x ? )dx ? ____________. x

e

2

16.(2013 湖南高考数学(理))若

?

T

0

x2 dx ? 9, 则常数T的值为 _________.
T

【答案】

3 解:

?

T

0

x3 x dx ? 3
2

?
0

T3 ?9?T ?3 3

17.(2012 年高考(江西理))计算定积分 【答案】

?

1

?1

( x2 ? sin x)dx ? ___________.

2 【解析】本题考查有关多项式函数,三角函数定积分的应用. 3

第 4 页,共 6 页

? x3 ? 1 ?1 ? ? ?1 ? 1 1 2 ??1 ( x ? sin x)dx ? ? 3 ? cos x ? |?1 ? ? 3 ? cos1? ? ? 3 ? cos1? ? 3 ? 3 ? 3 . ? ? ? ? ? ?
1 2

18 . ( 福 建 省 龙 岩 市 高 中 毕 业 班 数 学 3 月 质 量 检 查 ( 理 科 )) 设 函 数 f ( x) ? a x ? c a 0 , 若 ( ? )
2

?

1

0

f ( x)dx ? f ( x0 ) , 其中 0 ? x0 ? 1 ,则 x0 =________.

【答案】 ? 19.(2012 年高考(山东理))设 a ? 0 .若曲线 y ?

x 与直线 x ? a, y ? 0 所围成封闭图形的面积为 a 2 ,则

a ? ______.
【答案】 【解析】由已知得 S ?

?

a

0

x?

2 2 a 2 2 2 4 x |0 ? a ? a 2 ,所以 a 2 ? ,所以 a ? . 3 3 3 9
3 2 2

3

3

1

20.(湖北黄冈中学高三五月模拟)函数 f ( x) ? x ? x ? x ? 1 在点 (1,2) 处的切线与函数 g ( x) ? x 围成的

图形的面积等于_________.
【答案】

4 3
2 2 2

21. (2012 年石景山区高三数学一模理科)如图,圆 O : x ? y ? ? 内的正弦曲线 y ? sin x 与 x 轴围成的区

域记为 M (图中阴影部分),随机往圆 O 内投一个点 A ,则点 A 落在区域 M 内的概率是_________.

【答案】

4

?3

22.(2012 年高考(上海文))已知函数 y ? f (x) 的图像是折线段 ABC,若中 A(0,0),B( 1 ,1),C(1,0). 2

函数 y ? xf ( x) (0 ? x ? 1) 的图像与 x 轴围成的图形的面积为_______ .
【答案】[解析] 如图 1, f ( x) ? ?

0? x? 1 ?2 x , 2 , 2 ? 2 x, 1 ? x ? 1 2 ?

y 1 A (O) 图1 B C 1 P x O

y M N D 1 图2 x

第 5 页,共 6 页

? 2x2 , 0 ? x ? 1 2 所以 y ? xf ( x ) ? ? , 2 1 ?? 2 x ? 2 x, 2 ? x ? 1
易知,y=xf(x)的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同,只是开口方向及顶点位置不同,如图 2, 封闭图形 MND 与 OMP 全等,面积相等,故所求面积即为矩形 ODMP 的面积 S= 1 ? 1 ? 2 2
1 4

.

23 . 北 京 市 东 城 区 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 理 科 试 题 ) 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 等 (





【答案】 1

解:根据积分应用可知所求面积为

? 3x dx ? x
2 0

1

3 1 0

? 1。
2

24.(惠州市 2012 届高三一模考试数学(理科)试题解析版)由曲线 y ? x , y ? x 围成的封闭图形面积为
3

___________.

1 3 1 4 1 【答案】 【解析】结合图形可知所求封闭图形的面积为 ? ( x ? x )dx ? ( x ? x ) ? . 0 3 4 12 0
1 2 3

1

25. (北京市房山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )

?

1 0

( x ? 1)dx =

.

【答案】

3 2

第 6 页,共 6 页


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