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第十届中国东南地区数学奥林匹克试题


第十届中国东南地区数学奥林匹克
(第二天 2013 年 7 月 28 日 上午 8:00-12:00) 江西 鹰潭
2013 ?x? 5.设f ? x ? ? ? ? ?。对于整数n,若关于x的方程f ? x ? ? n有实数解,则称n为“好数”。 i ?1 ? i !? 试求集合?1,3,5,?, 2013?中有多少个好数

6.设n是

大于1的整数。将前n个素数由小到大依次记为p1 , p2 ,?, pn。 令A ? ? pkpk ,试求所有正整数x,使得
k ?1 n

A 是偶数,且恰恰有x个正约数。 x

7.把3 ? 3的正方形任一个角上的2 ? 2正方形挖去,剩下的图形称为“角形”。 今在10 ? 10的方格表中放置一些两两不重叠的角形,要求角形的边界与方格表的边界或分格线重合。 试求正整数k的最大值,使得无论以何种方式放置k个角形之后,总能在方格表中再放入一个完整的角形。
8.设正整数n ? 3,实数? , ? , ? ? ? 0,1? , ak , bk , ck ? 0 ? k ? 1, 2,..., n ? 且? ? k ? ? ? ak ? ? , ? ? k ? ? ? bk ? ? , ? ? k ? ? ? ck ? ?
k ?1 k ?1 k ?1 n n n

若满足上述条件的ak , bk , ck ? 0 ? k ? 1, 2,..., n ?,均有? ? k ? ? ? ak bk ck ? ? , 试求? 最小值。
k ?1

n


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