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基本不等式的证明1教案(赛课)


基本不等式的证明
扬州市甘泉中学 蒋庆富 2009.3
教学目标 1.了解两个正数的算术平均数与几何平均数的概念,能推导并掌握基本不等式; 2.理解基本不等式的几何意义,能够简单应用定理证明不等式。 教学重点,难点: 教学重点,难点:基本不等式的证明及其简单应用。 教学过程: 教学过程: 一.问题情境 ___;两个正数 a,b 的等比中项是__ ___。 引入

:两个正数 a,b 的等差中项是__ 算术平均数与几何平均数的定义. 问题:两个正数 a,b 的算术平均数与几何平均数之间具有怎样的大小关系呢? 二.学生活动 引导学生作如下思考: 试自己列举一些正数 a,b,分别计算它们的算术平均数与几何平均数之大小,总结规律,进行猜想? 三.建构数学 1.用具体数据验证得: 基本不等式: ab ≤

a+b (a ≥ 0, b ≥ 0) 2

即两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数,当两数相等时两者相等。 下面给出证明:

a+b 1 1 ? ab = [( a ) 2 + ( b ) 2 ? 2 a b ] = ( a ? b )2 ≥ 0 2 2 2 当且仅当 a = b 即 a = b 时,取“ = ” 。 a+b 证法 2: 要证 ab ≤ ,只要证 2 ab ≤ a + b 2 只要证 0 ≤ a ? 2 ab + b ,只要证 0 ≤ ( a ? b ) 2 a+b 因为最后一个不等式成立,所以 ab ≤ 成立,当且仅当 a = b 即 a = b 时,取“ = ” 。 2 证法 3:对于正数 a, b 有 ( a ? b ) 2 ≥ 0 , ? a + b ? 2 ab ≥ 0 a+b ? a + b ≥ 2 ab , ? ≥ ab 2 2.说明: (1)基本不等式成立的条件是: a ≥ 0, b ≥ 0
证法 1: (2)不等式证明的三种方法:比较法(证法 1) 、分析法(证法 2) 、综合法(证法 3) (3)

a+b ≥ ab 的几何解释: (如图 1)以 a + b 为直径作圆,在直径 AB 上取一点 C ,过 C 作 2 2 D 弦 DD′ ⊥ AB ,则 CD = CA ? CB = ab , a+b 从而 CD = ab ,而半径 ≥ CD = ab 2 A a C b B (4)当且仅当 a = b 时,取“ = ”的含义:一方面是当 a = b 时取等号,即 a+b a = b ? ab = ;另一方面是仅当 a = b 时取等号,即 ′ (图 1) D 2

a+b ? a =b。 2 2 2 (5)如果 a, b ∈ R ,那么 a + b ≥ 2ab (当且仅当 a = b 时取“ = ”. ) ab =
四.数学运用 例 1.设 a, b 为正数,证明下列不等式成立: (1)

b a + ≥2; a b

(2) a +

1 ≥2 a

证明:

例 2.已知 a, b, c 为实数,求证: a + b + c ≥ ab + bc + ca 证明:
2 2 2

例 3.已知 a、b、c 都是正数,求证:

( a + b )(b + c )( a + c ) ≥ 8 abc
变式:已知 a、b、c 都是正数,a + b + c =1, 求证: (1–a) (1–b) (1–c)≥8abc 思考题:求证:

4 + a ≥ 7 .( a > 3 ) a ?3

[思维切入]由于不等式左边含有字母 a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母 a,而左边

4 4 +a = + (a ? 3) + 3 .这样变形后,在用基本不等式即可得证. a ?3 a ?3
五.巩固练习: 巩固练习: 1.课本 P90 2,3, 4 2.给出下列结论: (1)若 x > 0, y > 0, 则 lg x + lg y ≥ 2 lg x ? lg y (2)若 x > 0, 则

1 1 + cos x ≥ 2 ? cos x = 2 cos x cos x 4 4 (3)若 x < 0 ,则 x + ≤ ?2 x ? = ?4 x x
x ?x x ?x

(4)若 x < 0 ,则 2 + 2 > 2 2 ? 2 其中正确的有 回顾小结: 六.回顾小结: 1.算术平均数与几何平均数的概念; 2.基本不等式及其应用条件; 3.不等式证明的三种常用方法。 作业: 七.课堂作业: P93 1,2,3,5

=2


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