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【成才之路】2015-2016学年高中数学 2.3.1离散型随机变量的均值课时作业 新人教A版选修2-3


【成才之路】 2015-2016 学年高中数学 2.3.1 离散型随机变量的均值 课时作业 新人教 A 版选修 2-3

一、选择题 1.若 X 是一个随机变量,则 E(X-E(X))的值为( A.无法求 C.E(X) [答案] B [解析] 只要认识到 E(X)是一个常数,则可直接运用均值的性质求解. ∵E(aX+b)=aE(X)+b,而 E(X)为常数,

∴E(X-E(X))=E(X)-E(X)=0. 2.(2013·湖北理,9)如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为 125 个同样大小 的小正方体, 经过搅拌后, 从中随机取一个小正方体, 记它的油漆面数为 X, 则 X 的均值 E(X) =( ) B.0 D.2E(X) )

126 A. 125 168 C. 125 [答案] B

6 B. 5 7 D. 5

27 54 [解析] 题意知 X=0、1、2、3,P(X=0)= ,P(X=1)= , 125 125

P(X=2)=

36 8 ,P(X=3)= , 125 125

27 54 36 8 150 6 ∴E(X)=0× +1× +2× +3× = = . 125 125 125 125 125 5 3.已知离散型随机变量 X 的分布列如下:

X

1

3

5

1

P
则其数学期望 E(X)等于( A.1 C.2+3m [答案] D )

0.5

m

0.2

B.0.6 D.2.4

[解析] 由 0.5+m+0.2=1 得,m=0.3,∴E(X)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4. 4.(2015·宝鸡市金台区高二期末)有 N 件产品,其中有 M 件次品,从中不放回地抽 n 件产品,抽到次品数的数学期望值是( A.n C. ) B.(n-1) D.(n+1)

M N M N

nM N

[答案] C [解析] 设抽到的次品数为 X,∵共有 N 件产品,其中有 M 件次品,从中不放回地抽取

n 件产品,∴抽到的次品数 X 服从参数为 N、M、n 的超几何分布,∴抽到次品数的数学期望
值 E(X)= . 5. 今有两台独立工作在两地的雷达, 每台雷达发现飞行目标的概率分别为 0.9 和 0.85, 设发现目标的雷达台数为 X,则 E(X)=( A.0.765 C.1.765 [答案] B [解析] 由题意知,X 取值为 0,1,2, ) B.1.75 D.0.22

nM N

P(X=0)=(1-0.9)×(1-0.85)=0.015, P(X=1)=0.9×(1-0.85)+(1-0.9)×0.85=0.22, P(X=2)=0.9×0.85=0.765,
∴E(X)=0×0.015+1×0.22+2×0.765=1.75. 6.如果 a1、a2、a3、a4、a5、a6 的期望为 3,那么 2(a1-3),2(a2-3),2(a3-3),2(a4 -3),2(a5-3),2(a6-3)的期望是( A.0 C.6 [答案] A [解析] 由 E(aξ +b)=aE(ξ )+b=2×3-6=0. 二、填空题 7.(2014·浙北名校联盟联考)一袋中装有分别标记着 1、2、3 数字的 3 个小球,每次
2

) B.3 D.12

从袋中取出一个球(每只小球被取到的可能性相同), 现连续取 3 次球, 若每次取出一个球后 放回袋中,记 3 次取出的球中标号最小的数字与最大的数字分别为 X、Y,设 ξ =Y-X,则

E(ξ )=________.
[答案] 4 3

[解析] 由题意知 ξ 的取值为 0、1、2,ξ =0,表示 X=Y;ξ =1 表示 X=1,Y=2, 或 X=2,Y=3;ξ =2 表示 X=1,Y=3. 3 1 2×2×3 4 ∴P(ξ =0)= 3= ,P(ξ =1)= = , 3 3 9 3 9

P(ξ =2)=

2×3+A3 4 = , 3 3 9

3

1 4 4 4 ∴E(ξ )=0× +1× +2× = . 9 9 9 3 8.设 p 为非负实数,随机变量 X 的概率分布为:

X P
则 E(X)的最大值为________. [答案] 3 2

0 1 -p 2

1

2 1 2

p

1 ? ?0≤ -p≤1, [解析] 由表可得? 2 ? ?0≤p≤1,

1 1 从而得 P∈[0, ],期望值 E(X)=0×( -p)+ 2 2

1 1 3 1×p+2× =p+1,当且仅当 p= 时,E(X)最大值= . 2 2 2 9.(2014·哈师大附中高二期中)一批型号相同的产品,其中有 2 件次品、5 件正品, 每次抽一件测试,直到将两件次品全部区分为止.假设抽后不放回,则第 5 次测试后停止的 概率是________. [答案] 4 21

[解析] “第五次测试后停止”的含义是: 在前四次测试中有一件次品, 第五次测试结 C2·C5 1 4 果为次品,故所求概率为 P= 4 · 1= . C7 C3 21 三、解答题 10.(2015·河北衡水中学一模)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,射击次数相同, 已知两名运动员击中的环数 X 稳定在 7 环,8 环,9 环,10 环,他们比赛成绩的统计结果如 下:
3
1 3

环数 击中频率 选手 甲 乙 请你根据上述信息,解决下列问题:

7 0.2 0.2

8 0.15

9 0.3 0.2

10

0.35

(1)估计甲、乙两名射击运动员击中的环数都不少于 9 环的概率; (2)若从甲、乙运动员中只能任选一名参加某大型比赛,请你从随机变量均值意义的角 度,谈谈让谁参加比较合适? [解析] (1)记甲运动员击中 n 环为事件 An; 乙运动员击中 n 环为事件 Bn(n=1,2,3, ?, 10),甲运动员击中的环数不少于 9 环的事件 A9∪A10,乙运动员击中的环数不少于 9 环为事 件 B9∪B10.由题意可知事件 A9 与事件 A10 互斥,事件 B9 与事件 B10 互斥,事件 A9∪A10 与事件 B9 ∪B10 独立. ∴P(A9∪A10)=P(A9)+P(A10)=1-0.2-0.15=0.65,

P(B9∪B10)=P(B9)+P(B10)=0.2+0.35=0.55.
∴甲、乙两名射击运动员击中的环数都不少于 9 环的概率等于 0.65×0.55=0.3575. (2)设甲、乙两名射击运动员击中的环数分别为随机变量 X、Y,由题意知 X、Y 的可能 取值为:7、8、9、10. 甲运动员射击环数 X 的概率分布列为:

X P
甲运动员射击环数 X 的均值

7 0.2

8 0.15

9 0.3

10 0.35

E(X)=7×0.2+8×0.15+9×0.3+10×0.35=8.8.
乙运动员射击环数 Y 的概率分布列为:

Y P
乙运动员射击环数 Y 的均值

7 0.2

8 0.25

9 0.2

10 0.35

E(Y)=7×0.2+8×0.25+9×0.2+10×0.35=8.7.
∵E(X)>E(Y), ∴从随机变量均值意义的角度看,选甲去比较合适.

一、选择题 11.某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1000 粒,对于没有发芽的种子,每 粒需再补种 2 粒,补种的种子数记为 X,则 X 的均值为( )

4

A.100 C.300 [答案] B

B.200 D.400

[解析] 记“不发芽的种子数为 ξ ”,则 ξ ~B(1000,0.1),所以 E(ξ )=1000×0.1 =100,而 X=2ξ ,故 E(X)=E(2ξ )=2E(ξ )=200,故选 B. 12.已知抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)的对称轴在 y 轴的左侧,其中 a、b、c∈{-3, -2,-1,0,1,2,3},在这些抛物线中,记随机变量 ξ =|a-b|的取值,则 ξ 的数学期望
2

E(ξ )为(
8 A. 9 2 C. 5

) 3 B. 5 1 D. 3

[答案] A [解析] ∵抛物线的对称轴在 y 轴的左侧, ∴- <0,即 >0,∴a 与 b 同号. 2a a ∴ξ 的分布列为 ξ 0 1 3 1 4 9 2 2 9

b

b

P
1 4 2 8 ∴E(ξ )=0× +1× +2× = . 3 9 9 9

[点评] 基本事件只与 a、b 的取值有关,故可不必考虑 c 的取值;a、b 同号的所有可 能取法有 2×(3×3)=18 种,由于 ξ =|a-b|,∴a、b 同正和 a、b 同负时,ξ 的取值只 有 0、1、2 三种. 13.设口袋中有黑球、白球共 7 个,从中任取 2 个球,已知取到白球个数的数学期望值 6 为 ,则口袋中白球的个数为( 7 A.3 C.5 [答案] A [解析] 设白球 x 个,则黑球 7-x 个,取出的 2 个球中所含白球个数为 ξ ,则 ξ 取 值 0、1、2, ) B.4 D.2

P(ξ =0)=

C7-x ?7-x??6-x? , 2 = C7 42

2

5

P(ξ =1)=

Cx·C7-x x?7-x? = , 2 C7 21 C7 42

1

1

2 Cx x?x-1? P(ξ =2)= 2= ,

?7-x??6-x? x?7-x? x?x-1? 6 ∴0× +1× +2× = , 42 21 42 7 ∴x=3. 二、填空题 14. 设离散型随机变量 X 可能取的值为 1、 2、 3、 4.P(X=k)=ak+b(k=1、 2、 3、 4). 又

X 的均值 E(X)=3,则 a+b=________.
[答案] 1 10

[解析] 由条件知
? ??a+b?×1+?2a+b?×2+?3a+b?×3+?4a+b?×4=3, ? ??a+b?+?2a+b?+?3a+b?+?4a+b?=1, ? ?30a+10b=3, ? ∴? ? ?10a+4b=1,

1 ? ?a= ∴? 10 ? ?b=0

1 ,∴a+b= . 10

15.已知随机变量 ξ 和 η ,其中 η =4ξ -2,且 E(η )=7,若 ξ 的分布列如下表, 则 n 的值为________. ξ 1 1 4 2 3 4 1 12

P
[答案] 1 3

m

n

[分析] 由分布列的性质可得 m 与 n 的一个方程, 由期望的定义与性质可得 m 与 n 的另 一个方程,两方程联立可解得 m、n. [ 解析] 9 9 1 η = 4ξ -2 ? E(η ) =4E(ξ ) -2 ? 7=4·E(ξ )- 2? E(ξ ) = ? =1× + 4 4 4

1 1 1 1 2×m+3×n+4× ,又 +m+n+ =1,联立求解可得 n= . 12 4 12 3 [点评] 这一部分内容公式较多, 熟记离散型随机变量的期望、 方差的定义式及其性质, 熟记各种概率分布的期望、方差公式是正确解答概率分布问题的先决条件. 三、解答题 16. (2015·广西梧州市苍梧中学高二期末)根据某电子商务平台的调查统计显示, 参与 调查的 1000 位上网购物者的年龄情况如图所示.

6

(1)已知[30,40)、[40,50)、[50,60)三个年龄段的上网购物者人数成等差数列,求 a,

b 的值.
(2)该电子商务平台将年龄在[30,50)之间的人群定义为高消费人群, 其他的年龄段定义 为潜在消费人群,为了鼓励潜在消费人群的消费,该平台决定发放代金券,高消费人群每人 发放 50 元的代金券,潜在消费人群每人发放 100 元的代金券,现采用分层抽样的方式从参 与调查的 1000 位上网购者中抽取 10 人,并在这 10 人中随机抽取 3 人进行回访,求此三人 获得代金券总和 X 的分布列与数学期望. [解析] (1)∵[30,40)、[40,50)、[50,60)三个年龄段的上网购物者人数成等差数列, ∴由频率分布直方图得
??0.015+a+b+0.015+0.010?×10=1, ? ? ? ?2b=a+0.015.

解得 a=0.035,b=0.025. (2)利用分层抽样从样本中抽取 10 人, 其中属于高消费人群的有(a+b)×10×10=6 人, 属于潜在消费人群的有 10-6=4 人. 从中取出 3 人,并计算 3 人所获得代金券的总和 X, 则 X 的所有可能取值为:150,200,250,300.

P(X=150)= 3 = , P(X=200)= P(X=250)=
C6C4 1 3 = , C10 2 C6C4 3 , 3 = C10 10
3 1 2 2 1

C6 C10

3

1 6

C4 1 P(X=300)= 3 = , C10 30 ∴X 的分布列为:

X P

150 1 6

200 1 2

250 3 10

300 1 30
7

E(X)=150× +200× +250× +300× =210.
17.(2014·深圳市二调)某班联欢晚会玩飞镖投掷游戏,规则如下: 每人连续投掷 5 支飞镖,累积 3 支飞镖掷中目标即可获奖;否则不获奖.同时要求在以 下两种情况下中止投掷:①累积 3 支飞镖掷中目标;②累积 3 支飞镖没有掷中目标. 已知小明同学每支飞镖掷中目标的概率是常数 p(p>0.5),且掷完 3 支飞镖就中止投掷 1 的概率为 . 3 (1)求 p 的值; (2)记小明结束游戏时,投掷的飞镖支数为 X,求 X 的分布列和数学期望. 1 3 3 [解析] (1)由已知 P(X=3)=p +(1-p) = , 3 1 2 解得 p= 或 p= . 3 3 2 ∵p>0.5,∴p= . 3 (2)X 的所有可能取值为 3,4,5.

1 6

1 2

3 10

1 30

P(X=3)= ,
2 2 2 P(X=4)=[C2 , 3×( ) × ]× +[C3×( ) × ]× =

1 3

2 3

1 3 1 3

2 3

1 3

2 3

1 10 3 27

2 2 P(X=5)=C2 (或 P(X=5)=1-P(X=3)-P(X=4)= ). 4×( ) ×( ) =

2 3

8 27

8 27

X 的分布列为 X P
3 1 3 4 10 27 5 8 27

1 10 8 107 ∴X 的数学期望为 E(X)=3× +4× +5× = . 3 27 27 27 1 18.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为 与 p,且乙投 2 1 球 2 次均未命中的概率为 . 16 (1)求乙投球的命中率 p; (2)若甲投球 1 次,乙投球 2 次,两人共命中的次数记为 ξ ,求 ξ 的分布列和数学期 望. [解析] (1)设“甲投球一次命中”为事件 A,“乙投球一次命中”为事件 B.

8

1 2 2 由题意得(1-P(B)) =(1-p) = , 16 3 5 3 解得 p= 或 p= (舍去),所以乙投球的命中率为 . 4 4 4 1 1 3 1 (2)由题设和(1)知 P(A)= ,P( A )= ,P(B)= ,P( B )= . 2 2 4 4 ξ 可能的取值为 0、1、2、3,故

P(ξ =0)=P( A )P( B · B )= ×( )2= , P(ξ =1)=P(A)P( B · B )+C1 2P(B)P( B )·P( A )
1 1 2 3 1 1 7 = ×( ) +2× × × = , 2 4 4 4 2 32

1 2

1 4

1 32

P(ξ =3)=P(A)P(B·B)= ×( )2= , P(ξ =2)=1-P(ξ =0)-P(ξ =1)-P(ξ =3)= .
ξ 的分布列为 ξ 0 1 32 1 7 32 2 15 32 3 9 32 15 32

1 2

3 4

9 32

P

1 7 15 9 ξ 的数学期望 E(ξ )=0× +1× +2× +3× =2. 32 32 32 32

9


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