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2002郑州第19届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案


19 届复赛试题及答案

第十九届全国中学生物理竞赛
复 赛 试 题
全卷共七题,总分为 140 分。 一、 (20 分)某甲设计了一个如图复 19-1 所示的“自动喷泉”装置,其中 A、B、C 为三个容器,D、E、F 为三根细管。管栓 K 是关闭的。A、B、C 及细管 D、E 中均盛有水,容器水面的高度差 分别为 h1 和 h2 ,如图所

示。A、B、C 的截面半径为 12cm,D 的半径为 0.2cm。甲向同 K 伴乙说: “我若拧开管栓 K,会有水从细管口喷出。 ”乙认为不可能。理由是: “低处的水 D 自动走向高处,能量从哪儿来?”甲当即拧开 K,果然见到有水喷出,乙哑口无言,但 不明自己的错误所在。甲又进一步演示。在拧开管栓 K 前,先将喷管 D 的上端加长到足 A 够长,然后拧开 K,管中水面即上升,最后水面静止于某个高度处。 h 1 1.论证拧开 K 后水柱上升的原因。 2.当 K 管上端足够长时,求拧开 K 后 D 中静止水面与 A 中水面的高度差。 E 3.论证水柱上升所需能量的来源。 B h2 F C 图复 19-1 二、 (18 分)在图复 19-2 中,半径为 R 的圆柱形区域内有匀强磁场,磁场方向垂直图面指向纸外。磁感应 强度 B 随时间均匀变化,变化率

?B 。圆柱形区外空间中没有磁场,沿图中 AC 弦的方 ? K (K 为一正值常量) ?t

向画一直线,并向外延长,弦 AC 与半径 OA 的夹角? ? 求从 A 沿直线到该点的电动势的大小。

?

4

。直线上有一任意点,设该点与 A 点的距离为 x , A C

α O

图复 19-2

三、 (18 分)如图复 19-3 所示,在水平光滑绝缘的桌面上,有三个带正电的质点 1、2、3,位于边长为 l 的 等边三角形的三个顶点处,C 为三角形的中心。三个质点的质量皆为 m,带电量皆为 q。质点 1、3 之间和 2、3 之间用绝缘的轻而细的刚性杆相连,在 3 的连接处为无摩擦的铰链,已知开始时三个质点的速度为零,在此后 运动过程中,当质点 3 运动到 C 处时,其速度大小为多少? 1 l l C l 2 图复 19-3 3

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19 届复赛试题及答案

四、 (18 分)有人设计了下述装置用以测量线圈的自感系数。在图复 19-4(a)中,E 为电压可调的直流电 源,K 为开关,L 为待测线圈的自感系数,rL 为线圈的直流电阻,D 为理想二极管,r 为用电阻丝做成的电阻器 的电阻,A 为电流表。将图复 19-4(a)中 a 、 b 之间的电阻丝装进图复 19-4(b)所示的试管 1 内。图复 19-4 (b)中其他装置见图下说明。其中注射器筒 5 和试管 1 组成的密闭容器内装有某种气体(可视为理想气体) , 通过活塞 6 的上下移动可调节毛细管 8 中有色液柱的初始位置,调节 a 后将阀门 10 关闭,使两边气体隔开。毛细管 8 的内直径为 d 。 K D 已知在压强不变的条件下, 试管中每摩尔气体的温度升高 1K 时, E r rL L 需要吸收的热量为 C p ,大气压强为 p 。设试管、三通管、注射器和 毛细管皆为绝热的,电阻丝的热容不计。当接通开关 K 后,线圈 L 中 将产生磁场,已知线圈中储存的磁场能量W ?

1 2 LI ,I 为通过线圈 2

A 图复 19-4(a)

b

的电流, 其值可通过电流表 A 测量。 现利用此装 置及合理的步骤测量线圈的自感系数 L。 1.简要写出此实验的步骤。 2. 用题中所给出的各已知量 ( r 、rL 、C p 、

6 1 3 a b 5 4 图复 19-4(b) 9 10 8

p 、 d 等)及直接测得的量导出 L 的表达式。
7 五、 (20 分)薄凸透镜放在空气中时,两侧 焦点与透镜中心的距离相等。 如果此薄透镜两侧 的介质不同,其折射率分别为 n1 和 n2 ,则透镜 两侧各有一焦点(设为 F1 和 F2) ,但 F1、F2 和 透镜中心的距离不相等,其值分别为 f1 和 f 2 。

2

1.试管 2.橡皮塞 3.铜导线 4.三通管 5.注射器筒 6.活塞 7.电阻丝 8.水平放置的毛细管,内有一段 有色液柱, 其右端与大气相通, 左端与试管相通 9. 画

有刻度尺的底板 10.阀门 现有一薄凸透镜 L,已知此凸透镜对平行光束起 会聚作用,在其左右两侧介质的折射率及焦点的位置如图复 19-5 所示。 1.试求出此时物距 u ,像距 v ,焦距 f1 、 f 2 四者之间的关系式。 2. 若有一傍轴光线射向透镜中心, 已知它与透镜主轴的夹角为? 1 , 则与之相应的出射线与主轴的夹角? 2 多 大? 3. f1 、 f 2 , n1 、 n2 四者之间有何关系? L n1 F1 f1 O f2 n2 F2

图复 19-5

六、 (20 分)在相对于实验室静止的平面直角坐标系 S 中,有一个光子,沿 x 轴正方向射向一个静止于坐标 原点 O 的电子。在 y 轴方向探测到一个散射光子。已知电子的静止质量为 m0 ,光速为 c ,入射光子的能量与 散射光子的能量之差等于电子静止能量的 1∕10。 1.试求电子运动速度的大小 v ;电子运动的方向与 x 轴的夹角? ;电子运动到离原点距离为 L0(作为已知 量)的 A 点所经历的时间△t。 2.在电子以 1 中的速度 v 开始运动时,一观察者 S′相对于坐标系 S 也以速度 v 沿 S 中电子运动的方向运 动(即 S′相对于电子静止) ,试求 S′测出的 OA 的长度。

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七、 (26 分)一根不可伸长的细轻绳,穿上一粒质量为 m 的珠子(视为质点) ,绳的下端固定在 A 点,上端 系在轻质小环上,小环可沿固定的水平细杆滑动(小环的质量及与细杆摩擦皆可忽略不计) 。细杆与 A 在同一竖 直平面内。开始时,珠子紧靠小环,绳被拉直,如图复 19-6(a)所示。已知:绳长为 l ,A 点到杆的距离为 h , 绳能承受的最大张力为 T d ,珠子下滑过程中到达最低点前绳子被拉断。求细绳被拉断时珠子的位置和速度的大 小(珠子与绳子之间无摩擦) 。 注:质点在平面内做曲线运动时,它在任一点的加速度沿该点轨道法线方向的分量称为法向加速度 an ,可 以证明, an ? v 2 / R , v 为质点在该点时速度的大小,R 为轨道曲线在该点的“曲率半径” 。所谓平面曲线上某 点的曲率半径,就是在曲线上取包含该点在内的一段弧,当这段弧极小时,可以把它看作是某个“圆”的弧, 则此圆的半径就是曲线在该点的曲率半径。如图复 19-6(b)中曲线在 A 点的曲率半径为 RA,在 B 点的曲率半 径为 RB。 环 珠子 h A 图复 19-6(a) 图复 19-6(b) l 细杆 A RA RB

B

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19 届复赛试题及答案

第十九届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答
一、参考解答 实践证明,甲的设计是正确的,所以乙的结论肯定是错的。 (1)设大气压为 p0 ,水的密度为 ? 。拧开 K 前的情况如图复解19-l的(a)图所示。由流 体静力学可知, B 、 C 中气体的压强为 pB ? pC ? p0 ? ? g (h1 ? h2 ) (1) (2)

D 中气体的压强为 pD ? pB ? ? gh1
由(1)、(2)两式可得 pD ? p0 ? ? gh2

K D A E B F

H h1 h2 A B

K

即 pD ? p0 ,当拧开 K 后, D 中气体压强降至 p0 ,此时

pB ? p0 ? ? gh1

(3)

即 D 管中容器 B 水面以上的那一段水柱所受合力向上,所以 D 管中水柱上 升。 C C (2)拧开 K 后,水柱上升,因 D 管上端已足够长,故水不会从管口喷 出.设到 D 中的水面静止时 D 中增加水量的体积为 ? V ,则 B 中减少水量的 (a) (b) 体积亦为 ? V ,其水面将略有降低,因而 B 及 C 中气体压强路有下降, A 中 图复解 19-1 的水将通过 E 管流入 C 中,当从 A 流入水量的体积等于 ? V 时, B 、C 中气 体压强恢复原值。因为 A 、 B 、 C 的半径为 D 管半径的 60 倍,截面积比为 3600 倍,故 A 、 B 、C 中少量水的增减( ??V )引起的 A 、 B 、C 中水面高度的变化可忽略不计,即 h1 和 h2 的数值保持不变。 设 D 中水面静止时与 A 中水面的高度差为 H ,(见图复解19-1(b)),则有 (4) p0 ? ? g (h1 ? h2 ) ? p0 ? ? g ( H ? h1 ) 由此可得

H ? h2

(5)

(3)将图复解 19-l(a)和(b)两图相比较可知,其差别在于体积为 ? V 的水从 A 移至 C 中,另 ? V 的水 又由 B 移入 D 中,前者重力势能减少,而后者重力势能增大,前者的重力势能减少量为 ?E1 ? ? g ?V (h1 ? h2 ) (6)

D 中增加的水柱的重心离 A 中水面的高度为 h2 / 2 ,故后者的重力势能增量为 1 (7) ?E2 ? ? g ?V (h1 ? h2 ) 2 即 ?E1 ? ?E2 。 由此可知,体积为 ? V 的水由 A 流入 C 中减少的势能的一部分转化为同体积的水由 B 进入 D 中所需的势 能,其余部分则转化为水柱的动能,故发生上下振动, D 中水面静止处为平衡点.由于水与管间有摩擦等原因, 动能逐步消耗,最后水面停留在距 A 中水面 h2 处。
二、参考解答 由于圆柱形区域内存在变化磁场,在圆柱形区域内外空间中将产生涡旋电场,电场线为圆,圆心在圆柱轴线 上,圆面与轴线垂直,如图中虚点线所示.在这样的电场中,沿任意半径方向移动电荷时,由于电场力与移动方 向垂直,涡旋电场力做功为零,因此沿半径方向任意一段路径上的电动势均为零. 1.任意点在磁场区域内:令 P 为任意点(见图复解19-2-1) x ? 2R ,在图中连直线 OA 与 OP 。取闭合回 路 APOA ,可得回路电动势 E1 ? EAP ? EPO ? EOA ,式中 EAP , EPO , EOA 分别为从 A 到 P 、从 P 到 O 、从

O 到 A 的电动势。由前面的分析可知 EPO ? 0 , EOA ? 0 ,故
令 ?AOP 的面积为 S1 ,此面积上磁通量 ?1 ? BS1 ,由电磁感应定律,回路的电动势大小为

E AP ? E1

(1)

E1 ?

??1 ?B ? S1 ?t ?t
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19 届复赛试题及答案

根据题给的条件有 E1 ? S1k 由图复解19-2-2可知 1 xR S1 ? xR sin ? ? 2 2 2 由(1)、(2)、(3)式可得沿 AP 线段的电动势大小为 kR E AP ? x 2 2

(2)

(3)

(4)

A R

?

x P O

C

A

C ? R O ? ? D

Q
?

图复解 19-2-1

图复解 19-2-2

2.任意点在磁场区域外:令 Q 为任意点(见图复解19-2-2), x ? 2R 。在图中连 OA 、 OQ 。取闭合回 路 AQOA ,设回路中电动势为 E2 ,根据类似上面的讨论有

EAQ ? E2

(5)

对于回路 AQOA ,回路中磁通量等于回路所包围的磁场区的面积的磁通量,此面积为 S2 ,通过它的磁通量

?2 ? BS2 。根据电磁感应定律可知回路中电动势的大小
E2 ? S2 k 在图中连 OC ,令 ?COQ ? ? ,则 ?OQC ? ? ? ? ,于是
S2 ? ?AOC的面积 ? 扇形OCD的面积 1 ? ? ( R sin ? ) ? 2 R cos ? ? ? R2 2 2? 1 2 ? R (sin 2? ? ? ) 2 1 当? ? ? / 4 时, S2 ? R2 (1 ? ?) , 2 ?OCQ 中有
x ? 2R R ? sin ? sin[(? / 4) ? ? ]
(6)

R sin ? ? ( x ? 2 R)sin( ? ? ) 4 1 ? ( x ? 2 R) (cos ? ? sin ? ) 2 x ? 2R x ? 2R (R ? )sin ? ? cos ? 2 2 x ? 2R tan ? ? x
于是得

?

1 2 x ? 2R R (1 ? arctan ) 2 x 由(5)、(6)、(7)式可得沿 AQ 线的电动势的大小为 S2 ?
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(7)

19 届复赛试题及答案

E AQ ?

kR x ? 2R (1 ? arctan ) 2 x

2

(8)

三、参考解答 以三个质点为系统,由对称性可知,开始时其质心应位于 C 处,因为质点系所受的合外力 为零,由质心运动定理可知,质心总是固定不动的。质点 1、2 在静电力作用下,彼此间距离必 增大,但不可能保持在沿起始状态时 1、2 连线上运动,若是那样运动,由于杆不能伸长,质点 3 必向左运动,三者的质心势必亦向左运动,这与“质心不动”相矛盾,故不可能。由此可知, 由于杆为刚性,质点 1、2 在静电力作用下,要保持质心不动,质点 1、2 必将分别向题图中右 上方和右下方运动,而质点 3 将向左运动.当 3 运动到 C 处时,1、2 将运动到 A 、 B 处, A 、 B 、C 三点在一直线上,1、2 的速度方向向右,3 的速度方向左(如图复解 19-3 所示)。令 v1 、

v 2 、 v3 分别表示此时它们的速度大小,则由对称性可知此时三质点的总动能为

1 2 1 2 EK ? mv3 ? 2( mv1 ) 2 2
再由对称性及动量守恒可知 mv3 ? 2mv1 系统原来的电势能为

图复解 19-3

(1) (2)

q2 l 其中 k 为静电力常数.运动到国复解 19-3 所示的位置时的电势能为 q2 q2 E P? ? 2 k ?k l 2l 根据能量守恒有 E ?E ??E E P ? 3k
P P K

(3)

(4)

(5)

由以上各式可解得

v3 ?

2kq 2 3lm

(6)

四、参考解答 1.(1)调整活塞6使毛细管8中有色液柱处于适当位置,将阀门10关闭使两边气体隔绝,记下有色液柱的位置; (2)合上开关 S ,测得电流 I ; (3)打开开关 S ; (4)测出有色液体右移的最远距离 ?x ; (5)改变电源电压,重复测量多次,记下多次的 I 和 ?x 值。

1 2 LI ,因二极管 D 的存在, r 中无电流。打开开关 S 后,由于 L 中有 2 感应电动势,在线圈 L 、电阻器 ab 和二极管 D 组成的回路中有电流通过,最后变为零。在此过程中原来线圈中 储存的磁场能量将转化为 r 和 rL 上放出的热量,其中 r 上放出的热量为
2.合上开关 S 后,线捆贮有磁场能量W ?

?Q ?

1 2 r LI ? 2 r ? rL

(1)

此热量使试管中的气体加热、升温。因为是等压过程,所以气体吸热为 m ?Q ? C p ?T (2)

?

式中 m 为气体质量, ? 为其摩尔质量, ?T 为温升,因为是等压过程,设气体体积改变量为 ? V ,则由理想气 体状态方程可得 m p?V ? R?T (3)

?

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19 届复赛试题及答案

而 由以上各式可得

?V ?

?d
4

2

?x
2

(4)

L?

?x rL ? r C p p? d ? ? R I 2 2r

(5)

五、参考解答 利用焦点的性质,用作图法可求得小物 PQ 的像 P?Q? ,如下图所示。

Q y P

n1 f1 F1 u

n2 F2 f2 v
图复解 19-5-1

P? y?

Q?

(1)用 y 和 y? 分别表示物和像的大小,则由图中的几何关系可得 f2 y u ? f1 ? ? ? y f1 v ? f2

(1)

(u ? f1 )(v ? f2 ) ? f1 f 2
简化后即得物像距公式,即 u , v , f1 , f 2 之间的关系式

f1 f 2 ? ?1 u v

(2)

(2)薄透镜中心附近可视为筹薄平行板,入射光线经过两次折射后射出,放大后的光路如图复解19-5-2所 示。图中? 1 为入射角,?2 为与之相应的出射角, ? 为平行板中的光线与法线的夹角。设透镜的折射率为 n ,则 由折射定律得 n1 sin?1 ? n sin ? ? n2 sin? 2 得 (3)

对傍轴光线,? 1 、?2 ≤1,得 sin ?1 ? ?1 , sin? 2 ? ? 2 ,因而

?1

n1

n
? ?

n2
?2

n1 ?1 (4) n2 (3)由物点 Q 射向中心 O 的入射线,经 L 折射后,出射线应 射向 Q? ,如图复解19-5-3所示,

?2 ?

图复解 19-5-2

Q y P

n1

L

n2 F2

?1
F1 u

?2
v u
图复解 19-5-3

P? y?

Q?

在傍轴的条件下,有

y y? ? tan?1 ? ?1, ? tan?2 ? ?2 u v
二式相除并利用(4)式,得 y ?u n1 ? yv n2 用(1)式的 y? / y ? f1 /(u ? f1 ) 代入(6)式,得
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(5)

(6)

19 届复赛试题及答案

f1u n ? 1 (u ? f1 )v n2 n1uv f1 ? 即 n2u ? n1v 用(1)式的 y? / y ? (v ? f 2 ) / f 2 代入(6)式,得

(7)



(v ? f 2 )u n1 ? f 2v n2 n2uv f2 ? n2u ? n1v
从而得 f1 , f 2 , n1 , n2 之间关系式

(8)

f 2 n2 ? f1 n1
六、参考解答 (1)由能量与速度关系及题给条件可知运动电子的能量为

(9)

m0c 2 1 ? (v / c )
由此可解得
2 2

? 1.10m0c2

(1)

0.21 ? 0.417c ? 0.42c (2) 1.10 h? h? ? 入射光子和散射光子的动量分别为 p ? 和 p? ? ,方向如图复解19-6所示。电子的动量为 mv , m 为 c c 运动电子的相对论质量。由动量守恒定律可得 m0v h? (3) cos? ? 2 2 光子散射方向 c 1 ? (v / c ) v?

m0v 1 ? (v / c )
已知
2 2

sin ? ?

h? ? c

(4) 光子入射方向 (5) (6) (7) (8)

电子

?

h? ? h? ? ? 0.10m0c2 由(2)、(3)、(4)、(5)式可解得 ? ? 0.37m0c2 / h

A 光子入射方向

图复解 19-6

? ? ? 0.27m0c2 / h ?? 27 ? ? tan-1 ? arctan( ) ? 36.1? ? 37 电子从 O 点运动到 A 所需时间为 L ?t ? 0 ? 2.4L0 / c v
L ? L0 1 ? (v 2 / c 2 ) L ? 0.91L0

(9)

(2)当观察者相对于 S 沿 OA 方向以速度 v 运动时,由狭义相对论的长度收缩效应得 (10) (11)

七、参考解答 1. 珠子运动的轨迹 建立如图复解19-7所示的坐标系, 原点 O 在过 A 点的竖直线与细杆相交处,x 轴沿细杆向右, y 轴沿 OA 向 下。当珠子运动到 N 点处且绳子未断时,小环在 B 处, BN 垂直于 x 轴,所以珠子的坐标为 x ? PN,y ? BN 由 ?APN 知 ( AP)2 ? ( PN )2 ? ( AN )2
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即有 (h ? y) ? x ? (l ? y) ,得
2

2

2

x2 ? ?2(l ? h) y ? (l 2 ? h2 )

(1)

这是一个以 y 轴为对称轴,顶点位于 y ? (l ? h) 处,焦点与顶点的距离为 (l ? h) 的抛物线,如图复解 19-7-1所示,图中的 H ? (l ? h) , A 为焦点。 C? H A?

1 2

1 2

1 2

O F P A C y T T

B

xM 切线 N

x

法线

?
O

N? mg xM 切线 N x

h H

?

? ?
mg

法线 A

P T C y

mg

图复解 19-7-1 图复解 19-7-2 2. 珠子在 N 点的运动方程 因为忽略绳子的质量,所以可把与珠子接触的那一小段绳子看做是珠子的一部分,则珠子受的力有三个,一 是重力 mg ;另外两个是两绳子对珠子的拉力,它们分别沿 NB 和 NA 方向,这两个拉力大小相等,皆用 T 表示, 则它们的合力的大小为 F ? 2T cos ? (2) N ? ANB 的角平分线方向。 ? 为 点两边绳子之间夹角的一半, F 沿 N 点的法线是 ?ANB BN 平行于 y 轴, 因为 AN 是焦点至 N 的连线, 根据解析几何所述的抛物线性质可知, 的角平分线.故合力 F 的方向与 N 点的法线一致。 由以上的论证.再根据牛顿定律和题中的注,珠子在 N 点的运动方程(沿法线方向)应为 v2 2T cos ? ? mg cos ? ? m (3) R mv 2 2T cos ? ? ? mg cos ? (4) R 式中 R 是 N 点处轨道曲线的曲率半径; v 为珠子在 N 处时速度的大小。根据机械能守恒定律可得

v ? 2 gy

(5)

3. 求曲车半径 R 当绳子断裂时 T ? Td ,由(4)式可见,如果我们能另想其他办法求得曲率半径 R 与 y 的关系,则就可能由 (4)、(5)两式求得绳子断裂时珠子的纵坐标 y 。现提出如下一种办法。做一条与小珠轨迹对于 x 轴呈对称状 态的抛物线,如图复解19-7-2所示。由此很容易想到这是一个从高 H 处平抛物体的轨迹。平抛运动是我们熟悉 的,我们不仅知道其轨迹是抛物线,而且知道其受力情况及详细的运动学方程。这样我们可不必通过轨道方程而 是运用力学原理分析其运动过程即可求出与 N 对称的 N ? 点处抛物线的曲率半径 R 与 y 的关系,也就是 N 处抛 物线的曲率半径 R 与 y 的关系。 设从抛出至落地的时间为 t ,则有

v0t ? l 2 ? h2
由此解得

v0 ? g (l ? h)
设物体在 N ? 处的速度为 v ,由机械能守恒定律可得
2 v ? v0 ? 2 g ( H ? BN ?) 2

(7)

(8)

物体在 N ? 处法线方向的运动方程为
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19 届复赛试题及答案

mg cos? ?

mv R

2

(9)

式中 R 即为 N ? 处抛物线的曲率半径,从(7)、(8)、(9)式及 H ? (l ? h) ,可求得

R?

这也等于 N 点抛物线的曲率半径, BN ? BN ? ? y ,故得

2(l ? BN ?) cos? 2(l ? y) cos?

1 2

R?

(10)

4. 求绳被拉断时小珠的位置和速度的大小 把(5)式和(10)式代入(4)式,可求得绳子的张力为 mgl T? 2(l ? y )

(11)

当 T ? Td 时绳子被拉断,设此时珠子位置的坐标为 ( xd , yd ) ,由(11)式得

yd ? l (1 ?
代入(1)式,得

mg ) 2Td

(12)

xd ? mgl (

l ?h ) ? (l ? h)2 Td
mg ) 2Td

(13)

绳子断开时珠子速度的大小为

vd ? 2 gyd ? 2 gl (1 ?

(14)

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