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第二章2.2第1课时等差数列的概念及通项公


第二章

数 列

2.2

等差数列

第1课时 等差数列的概念及通项公式

第二章

数 列

学习导航 1.了解等差数列与一次函数之间的联系. 2.理解等差数列的概念.会用定义证明数列是等 学习 差数列.(重点) 目标 3.掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念, 深化认识并能运用.(重点、难点) 1.要善于通过实例的观察、分析、归纳、提炼来理 解等差数列的概念,同时,还应准确理解等差数列 学法 的关键词“从第2项起”,“差是一个常数”等; 指导 要善于用归纳或叠加法探求等差数列的通项公式. 2.利用an+1-an=d(n∈N*)可以帮助我们判断一个 数列是否为等差数列.

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1.等差数列的定义

(1)前提条件:①从第2项起.
前一项 的差等于_________ 同一个 常数. ②每一项与它的_________ 等差 数列. (2)结论:这个数列是__________ 公差 ,常用字母 (3)相关概念:这个常数叫做等差数列的________

d 表示. ______

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2.等差中项 (1)前提:三个数a,A,b成等差数列. A (2)结论:_______ 叫做a,b的等差中项. a+b (3)满足的关系式:2A=____________ . 3.等差数列的通项公式 递推公式 an+1-an=d(n∈N*) 通项公式 a1+(n-1)d (n∈N*) an=_____________

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1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打 “×”) (1)若一个数列从第2项起的每一项与前一项的差是一个常数, 则该数列是等差数列.( × ) (2)常数列一定是等差数列.( √ ) (3)若三个数a,b,c满足2b=a+c,则a,b,c一定是等差数 列.( √ ) (4)等差数列的增减性与公差d无关.( × )
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解析:(1)错误.从第2项起每一项与前一项的差是同一个常 数,才是等差数列,是一个常数不一定是等差数列. (2)正确.因为从第2项起每一项与前一项的差是同一个常数0. (3)正确.若a,b,c满足2b=a+c,即b-a=c-b,故a,b, c为等差数列. (4)错误.等差数列的增减性是与公差d有关的,其关系为: 公差d d>0 d=0 d<0 数列{an}的增减性 数列{an}为递增数列 数列{an}为常数列 例子 1,2,3,4,…,n 1,1,…,1,1

数列{an}为递减数列 3,2,1,0,-1,…,4-n
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2.已知等差数列{an}中,首项a1=4,公差d=-2,则通项公
式an等于( C ) A.4-2n C.6-2n 解析:∵a1=4,d=-2, B.2n-4 D.2n-6

∴an=4+(n-1)×(-2)=6-2n.

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3.(2014· 吉林长春调研)在等差数列{an}中,a1· a3=8,

a2=3,则公差d=( C )
A.1 C.±1
解析:由已知得,
? ?a1 ( a1+ 2d)= 8 ? ,解得 d=± 1. ?a1 + d= 3 ?

B.-1 D.±2

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0 4. lg( 3+ 2)与 lg( 3- 2)的等差中项是 ________ .
解析: lg( 3+ 2)与 lg( 3- 2)的等差中项为: lg( 3+ 2)+ lg( 3- 2) lg[( 3+ 2)( 3- 2) ] = 2 2 lg 1 = = 0. 2

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等差数列的通项公式及其应用 (1)2 000是等差数列4,6,8,?的( B ) A.第998项 C.第1 001项 A.第13项 C.第15项 B.第999项 D.第1 000项 B.第14项 D.第16项

(2)在等差数列40,37,34,?中,第一个负数项是( C )

(3)在等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31,则首项a1= -2 3 ________ ,公差d=________ . (链接教材P38例1)
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[解析]

(1)∵此等差数列的公差 d= 2,

∴ an= 4+ (n- 1)× 2,即 2 000= 2n+ 2, ∴ n= 999. (2)∵ { an}是等差数列,首项是 40,公差 d= 37- 40=- 3, ∴此数列的通项公式为: an= 40+ (n- 1)×(- 3)=- 3n+ 43. 43 令 an=- 3n+ 43< 0,解得 n> , 3 由于要求的是等差数列 40, 37, 34,?中第一个负数项, 43 故应求 n> 时的最小正整数,∴n 取值为 15. 3
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? ?a5 = a1+( 5- 1) d, (3)由已知有? ? a12= a1+( 12- 1) d, ? ? ?10= a1+ 4d, 即? ?31= a1+ 11d, ?

解得 a1=- 2, d= 3.

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方法归纳 等差数列的基本运算: 如果知道等差数列中的任意两项 , 都可利用方程组的思想求 出a1,d,此类解法突出了等差数列两个基本量 a1,d的作用,

回归到a1,d是解决有关等差数列问题中最常用的方法,但是
要注意公式的变形及整体计算,以减少计算量.

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1.在等差数列 { an}中, (1)已知 a1= 2, d= 3, n= 10,求 an; (2)已知 a1= 3, an= 21, d= 2,求 n; (3)已知 a1= 12, a6 = 27,求 d; 1 (4)已知 d=- , a7= 8,求 a1 . 3

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解: (1)∵n= 10,∴ an= a10= 2+ (10- 1)× 3= 29. (2)由 an= a1+ (n- 1)× d 得, 21= 3+ (n- 1)× 2,解得 n= 10. (3)由已知得, 27= 12+ 5d, 解得 d= 3. (4)由已知得, 1 8= a1+ 6× (- ), 3 ∴ a1= 10.
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等差数列的判定和证明

已知数列 {an} 的通项公式为 an = pn + q,其中 p, q为
常数,那么这个数列一定是等差数列吗? (链接教材P38例3) [解] ∵an-an-1=pn+q-[p(n-1)+q]=pn+q-(pn-p+ q)=p,

∴它是一个与n无关的常数,
∴{an}是等差数列.

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方法归纳 定义法是判定(或证明)数列{an}是等差数列的基本方法,其步 骤为:

(1)作差an+1-an;
(2)对差式进行变形; (3)当an+1-an是一个与n无关的常数时,数列{an}是等差数列; 当an+1-an不是常数,是与n有关的代数式时,数列{an}不是 等差数列.

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2.判断下列数列是否为等差数列. (1)在数列{an}中,an=3n+2;

(2)在数列{an}中,an=n2+n.
解:(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N*), 它是一个与n无关的常数,这个数列为等差数列. (2)an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,不是常数, 所以这个数列不是等差数列.

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等差数列的实际应用 某市出租车的计价标准为2元1 km,起步价为8元,即 最初的4 km(不含4千米)计费8元,如果某人去往14 km处的目 的地,且一路畅通,等候时间为0,需要支付多少车费? (链接教材P38例2) [解 ] 根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4 km时,每

增加1 km,乘客需要支付2元,所以,可以建立一个等差数列
{an}来计算车费. 令a1=10,表示4 km处的车费,

公差d=2,那么当出租车行至14 km处时,n=11,
此时需要支付车费a11=10+(11-1)×2=30(元). 故需要支付车费30元.
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方法归纳 (1)在实际问题中,若涉及一组与顺序有关的数,可考虑利用 数列方法解决,若这组数依次成直线递增或递减,则可考虑 利用等差数列的方法解决.

(2)在利用数列方法解决实际问题时,一定要分清首项、项数
等关键问题.

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3.梯子的最高一级宽33 cm,最低一级宽110 cm,中间还有10 级,各级宽度依次成等差数列,计算中间各级的宽度. 解:设梯子的第n级的宽为an cm,其中最高一级宽为a1 cm,

则数列{an}是等差数列.
由题意,得a1=33,a12=110,n=12, 则a12=a1+11d.

所以110=33+11d,解得d=7.
所以a2=33+7=40,a3=40+7=47,?,a11=96+7=103, 即梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm,47 cm,54

cm,61 cm,68 cm,75 cm,82 cm,89 cm,96 cm,103 cm.
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易错警示

由数列通项确定n(或d)中的误区

已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,且a11=- 26,a51=54,求a14的值.你能判断该数列从第几项开始为 正数吗?

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[解]

由等差数列通项公式 an= a1 +(n- 1)d,

? ? ?a1 + 10d=- 26, ?a1 =- 46, 列方程组? 解得? ?a1 + 50d= 54, ?d= 2. ? ?

∴ a14=- 46+ 13× 2=- 20. ∴ an=- 46+ (n- 1)× 2= 2n- 48. 令 an≥ 0,得 2n- 48≥ 0? n≥ 24, ∴从第 25 项开始,各项为正数.
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[错因与防范] (1)忽略了对“从第几项开始为正数”的理解, 误认为n=24也满足条件. (2)由通项公式计算时 , 易把公式写成 an =a1+ nd, 导致结果 错误.

(3)等差数列通项公式中有 a1, an, n, d四个量 ,知三求一 ,
一定要准确应用公式.

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1 4.一个等差数列的首项为 ,公差 d> 0,从第 10 项起每一项 25 都大于 1,求公差 d 的范围.
解:设等差数列为 { an}, 由 d> 0,知 a1< a2<?< a9< a10< a11?,
? ?1< a10< a11<?, 依题意,有? ? ?a1 < a2<?< a9≤ 1,

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? ?a10> 1 即? ? ? ?a9 ≤ 1

? ?1 ?25+( 9- 1) d≤ 1,

1 +( 10- 1) d> 1, 25

8 3 解得 < d≤ , 75 25 8 3? ? 即公差 d 的取值范围是? , ?. 75 25

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名师解题

巧设等差数列的项完成有关计算

已知三个数成等差数列并且数列是递增的,它们的和 为18,平方和为116,求这三个数.
[解] 法一:设这三个数为 a, b, c,则由题意, 2b= a+ c,
2 2 2

? ?a= 4, ?a+ b+ c= 18, ? 得? 解得?b= 6, a + b + c = 116, ? ?c= 8, ? ?a< b< c,
∴这三个数分别是 4, 6, 8.
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法二:设这三个数为 a- d, a, a+ d, 由已知得
? ① ?( a- d)+ a+( a+ d)= 18, ? 2 2 2 ? ?( a- d) + a +( a+ d) = 116, ②

由①得 a= 6,代入②,得 d=± 2. ∵该数列是递增的,∴ d=-2 舍去, ∴这三个数分别为 4, 6, 8.

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[名师点评]

(1)本例的常规解法是利用已知条件求出 a1与d,

再求这三个数 , 此方法较麻烦 , 由于这三个数的和已知 , 故

可设为a-d,a,a+d,这样求解更简单一些.
(2)利用等差数列的定义巧设未知量可以简化计算.一般地有 如下规律:当等差数列{an}的项数n为奇数时,可设中间一项 为a,再以公差为d向两边分别设项:?,a-2d,a-d,a,a +d,a+2d,?;当项数为偶数项时,可设中间两项为a-d,

a+d,再以公差为2d向两边分别设项:?,a-3d,a-d,a
+d,a+3d,?,这样可减少计算量.
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