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高三数学第二学期专题复习(数形结合思想)


高三数学第二学期专题复习(数形结合思想)
一.集合中的应用 1.已知集合 A = { x| 0 ? x ? 3 } , B = { x| x2 – x – a( a – 1 ) ? 0 },若 A ? B,求实数 a 的取值范围。

2.已知全集 U = R,集合 A = { x| |1 –

x ?1 | > 2 , x ? R } , B = x| x2 – 2x + 1 – m2 > 0 , m < 0 },若“x ? A”是 3 “x ? B”的充分非必要条件,求实数 a 的取值范围。

3.设 A = { x| –2 ? x ? a } , B = { y| y = 2x + 3 , x ? A } , C = { z| z = x2 , x ? A },若 C ? B,求实数 a 的取值范 围。

二.不等式中的应用
1

4.解不等式: x 2 ? x 3 。

5.若函数 f (x) ? log1 x ? 3 的反函数为 f–1(x),解不等式:f–1(x) < x – 2。
2

6.已知 f(x)是定义在( –? , 0 )∪( 0 , +? )上的偶函数, 且在( –? , 0 )上单调递增, 若 f(–3) = 0, 求不等式 的解集。

x ?0 f (x)

1 7.若不等式 x2 – logax ? 0 在 x ? (0, ] 内恒成立,求实数 a 的取值范围。 2

1 2 1 8.若关于 x 的不等式 lg(1 ? x 2 ) ? lg(ax ? b) ? 0 的解集为 (? , ) ,求实数 a,b 的值。 2 3 2

9. 设函数 f (x) ? x 2 ? 1 ? ax ,其中 a > 0。 (1) 解不等式 f(x) ? 1; (2) 证明:当 a ? 1 时,函数 f(x)在 [0,??) 是单调函数。

10.对于满足不等式 0 ? p ? 4 的实数 p,不等式 x2 + px > 4x + p – 3 恒成立,求 x 的范围。

11.函数 f(x) = ( a – 2 )x2 + 2( a – 2 )x – 4 ( a ? R )。 (1) 若 x ? R 时,f(x) < 0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2) 若 x ? [ 1 , 3 ]时,f(x) < 0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3) 若 x ? ( 1 , 3 )时,f(x) < mx – 7 恰好成立,求实数 a , m 的值。

12.若不等式| x – 1 | < ax 的解集恰只含有一个整数解,求实数 a 的取值范围。

三.方程中的应用 13.关于 x 的方程|x2 – 2x – 3 | = m – 5 有且只有两解,求实数 m 的取值范围。

14.若方程

lg( 2 ? x 2 ) ? 2 有实数解,求实数 a 的取值范围。 lg( x ? a )

15.若方程|x| = kx + 1 有且只有一个实数解,求实数 k 的取值范围。

16.若 a , b 分别是方程 x + lgx = 3 与 x + 3x = 3 的解,求 a + b 的值。

17.求方程 sinx = lgx 的解的个数。

18.若方程 lg( x2 + 3x – m ) = lg( 3 – x )在( 0 , 3)内有唯一解,求实数 m 的取值范围。

四.函数性质中的应用 19.当函数 y = |x2 – 1|的图象与直线 y = x + k 的交点恰有 3 个时,求实数 k 的取值范围。

20.求函数 f (x) ? x 2 ? 8x ? 17 ? x 2 ? 4x ? 29 的最小值。

21.已知 f ( x ) ?

a x ? ? 2 ,求 f(x)在 x ? [ 1 , 3 ]上的最大值和最小值。 x 4a

22.设 f(x) = |x2 – 4x – 5| (1) 在区间[ –2 , 6 ]上画出函数的图象; (2) 设 A = { x| f(x) ? 5 } , B = (??,?2] ? [0,4] ? [6,??) ,使判断 A 与 B 之间的关系; (3) 当 k > 2 时,求证:在区间[ –1 , 5 ]上,y = kx + 3 的图象位于 f(x)的图象上方。

五.函数图象变换中的应用 23.已知函数 f(x) = sin?x 的部分图象如图甲所示:有以下四个解析式:(1) y = f(2 – x);(2) y = f(x + 1); 1 (3) y ? f ( x ? ) ;(4) y = f(1 – x)。其中与图乙所对应的解析式为____________。 (写出所有正确解析式的序 2 号)

–1

1

–1 甲

1

乙 b a a 甲 b

24. 已知函数 f(x)的定义域为 [ a , b ],其图像如图甲所示, 则 函 数 f(|x|) 的 图 象 是 ________。

–b a A –a B

b a C b D

25.设 f(x)是定义在区间上( –? , +? )的以 2 为周期的函数,对于 k ? Z,用 Ik 表示区间 (2k ? 1,2k ? 1] ,已知当 x ? I0 时,f(x) = x2。 (1) 求 f(x)在 Ik 上的解析式; (2) 对自然数 k,求集合 Mk = { a| 使方程 f(x) = ax 在 Ik 上有两个不同的不相等的实数根 }。

26.已知集合 M 是同时满足如下条件的函数 f(x) , x? D 的全体:①f(x)在 D 上单调;②存在区间[ a , b ] ? D, 使 f(x)在[ a , b ]上值域也是[ a , b ]。 (1) 求函数 y = –x3 符合②的区间[ a , b ]; (2) 判断 f(x) = 3x – lgx 是否属于集合 M?若是,求区间[ a , b ];若不是,说明理由; (3) 若函数 y ? k ? x ? 2 是集合 M 中的元素,求实数 k 的取值范围。

六.三角中的应用 2 ? sin x 27.求 y ? 的最大值和最小值。 3 ? cos x

28.已知 f ( x ) ? sin x ? 3 cos x, x ? [0,

4? ] 有唯一解,求实数 a 的取值范围。 3

29.方程 sinx + 2|sinx| = k 在[ 0 , 2? ]内有四个实数根,求实数 k 的取值范围。

30.方程 2cos2x + sinx – p = 0 在[ 0 , ? ]内有实数根,求实数 p 的取值范围。

? ? ? 31.已知定义在区间上 [? , ?] 的函数 y = f(x)图象关于直线 x ? 对称,当 x ? 时,f(x) = sinx。 2 4 4 ? ? (1) 求 f ( ? ) 及 f ( ? ) 的值; 2 4 (2) 求 y = f(x)的解析式; (3) 若关于 x 的方程 f(x) = a 有解,那么将方程中的 a 取一确定的值所得的所有的解的和为 Ma,求 Ma 的 所有可能的值及相应的 a 的取值范围。

七.复数中的应用 32.已知 z1 = i( 1 – i )3,当复数 z 满足|z| = 1 时,求|z – z1|的最大值。

33.已知集合 A = { z| |z – 2| ? 2 } , B = { z| |z – b – i| ? 1 }。 (1) 若 A∩B = B,求实数 b 的范围; (2) 若 A∩B = ?,求实数 b 的范围。

八.解几中的应用 34.若把圆 x2 + y2 + 2x – 4y = 0 按向量 n ? (1,2) 平移后,恰与直线 x – 2y + ? = 0 相切,求?的值。

35.已知 a2sin ? +acos ? -2=0,b2sin ? +bcos ? -2=0,(a ? b) .抛物线 M 的方程为 y2=4(x-2)

(1) 求抛物线的准线方程; (2) 求证:对任意 a,b ? R,经过两点(a,a2) , (b,b2)的直线一定与圆 C 相切,并求出圆 C 的方程; (3) 设 AB 为定圆 C 的任意一条被直线 L 平分的的弦,求证:所有的这些弦所在的直线都与某一条抛物 线有且只有一个公共点。

36.椭圆的两焦点 F1,F2 与短轴的两个端点 B1,B2 恰好是一个正方形的四个顶点,且焦点到椭圆上的点的最 近距离是 2 -1 (1)求椭圆的标准方程 (2)过 D(0,2)的直线与椭圆交于不同的两点 M、N,且 D 在 M 与 N 之间,设 DM ? ?DN ,求实数 ? 的 取值范围



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