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【2016届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固:第9章 第2节 两直线的位置关系与距离公式


第九章

第二节

一、选择题 1.直线 ax+2y-1=0 与直线 2x-3y-1=0 垂直,则 a 的值为( A.-3 C .2 [答案] D a 2 [解析] 由(- )× =-1,得:a=3. 2 3 2. 已知直线 l1: (k-3)x+(4-k)y+1=0 与 l2: 2(k-3)x-2y+3=0 平行, 则 k 的取是( A.

1 或 3 C .3 或 5 [答案] C [解析] 由(k-3)×(-2)-2(k-3)×(4-k)=0 且-2×1-(4-k)×3≠0,知 k=3 或 5. 3.(文)(2015· 成都检测)已知直线 l1 的方程为 3x+4y-7=0,直线 l2 的方程为 6x+8y+1 =0,则直线 l1 与 l2 的距离为( 8 A. 5 C .4 [答案] B [解析] ∵直线 l1 的方程为 3x+4y-7=0,直线 l2 的方程为 6x+8y+1=0,即为 3x+4y 1 + =0, 2 1 | +7| 2 3 +4
2

)

4 B.- 3 D.3

)

B.1 或 5 D.1 或 2

) 3 B. 2 D.8

∴直线 l1 与直线 l2 的距离为

2=2,故选

3

B. )

(理)已知直线 3x+4y-3=0 与直线 6x+my+14=0 平行,则它们之间的距离是( A.1 1 C. 2 [答案] B 6 m [解析] 由直线 3x+4y-3=0 与直线 6x+my+14=0 平行可得 = . 3 4 ∴m=8,直线 6x+8y+14=0 可化为 3x+4y+7=0, B.2 D.4

-1-

∴d=

|-3-7| 3 +4
2

2=

10 =2. 5 )

4.过点 A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为( A.x+2y-5=0 C.x+3y-7=0 [答案] A

B.2x+y-4=0 D.3x+y-5=0

1 [解析] 由题意可知 OA 与所求直线 l 垂直.因为 kOA=2,所以 kl=- ,故 l 的方程为 y 2 1 -2=- (x-1), 2 即 x+2y-5=0. 5.(文)设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+2y+4=0 平行” 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] C a 2 -1 [解析] 本题考查了平面中两条直线平行的充要条件,由题意知: = ≠ ,所以 a=1. 1 2 4 两直线平行的条件一定要考虑全面,不要以为只要斜率相等即可. (理)设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+(a+1)y=0 平行”的 ( ) A.充分不必要条件 C.充分必要条件 [答案] A [解析] 本题主要考查充分必要条件. 若两直线平行,则 a(a+1)=2,即 a2+a-2=0 ∴a=1 或-2,故 a=1 是两直线平行的充分不必要条件. 此类题目要特别注意充分不必要与必要不充分两个条件. 3π 6.已知直线 l 的倾斜角为 ,直线 l1 经过点 A(3,2),B(a,-1),且 l1 与 l 垂直,直线 l2: 4 2x+by+1=0 与直线 l1 平行,则 a+b=( A.-4 C .0 [答案] B
-2-

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

) B.-2 D.2

[解析] l 的斜率为-1, 则 l1 的斜率为 1,kAB= 2-?-1? =1, 3-a

2 ∴a=0.由 l1∥l2,得- =1,b=-2,∴a+b=-2. b 二、填空题 7.与直线 2x+3y+5=0 平行,且距离等于 13的直线方程是______________. [答案] 2x+3y+18=0 或 2x+3y-8=0 [解析] ∵所求直线 l 与已知直线 l0:2x+3y+5=0 平行, ∴可设 l 为 2x+3y+C=0,由 l 与 l0 的距离为 13, 得 |C-5| = 13,解得 C=18 或 C=-8, 22+32

∴所求直线 l 的方程为 2x+3y+18=0 或 2x+3y-8=0. 8.直线 Ax+3y+C=0 与直线 2x-3y+4=0 的交点在 y 轴上,则 C 的值为________. [答案] -4 [解析] 因为两直线的交点在 y 轴上,所以当 x=0 时, C 4 C 4 y1=- ,y2= ,则 y1=y2,即- = ,故 C=-4. 3 3 3 3 9.若直线 ax+2y+3a=0 与直线 3x+(a-1)y=-7+a 平行,则实数 a=________. [答案] 3 [解析] 由题意知,a(a-1)-2×3=0 得 a=-2 或 a=3,当 a=-2 时,两直线重合,舍 去,∴a=3. 三、解答题 10.已知两直线 l1:mx+8y+n=0 和 l2:2x+my-1=0,试确定 m、n 的值,使 (1)l1 与 l2 相交于点 P(m,-1); (2)l1∥l2; (3)l1⊥l2,且 l1 在 y 轴上的截距为-1. [解析] (1)由条件知 m2-8+n=0,且 2m-m-1=0, ∴m=1,n=7. (2)由 m· m-8×2=0,得 m=± 4.
? ? ?m=4 ?m=-4 由 8×(-1)-n· m≠0,得? 或? . ?n≠-2 ? ? ?n≠2

即 m=4,n≠-2 时,或 m=-4,n≠2 时,l1∥l2; (3)当且仅当 m· 2+8· m=0,

-3-

n 即 m=0 时,l1⊥l2,又- =-1,∴n=8. 8 即 m=0,n=8 时,l1⊥l2 且 l1 在 y 轴上的截距为-1. [点评] 若直线 l1、l2 的方程分别为 A1x+B1y+C1=0 与 A2x+B2y+C2=0,则 l1∥l2 的充 要条件是 A1B2-A2B1=0 且 A1C2≠A2C1;而 l1⊥l2 的充要条件是 A1A2+B1B2=0.

一、选择题 1.若直线 l1:y=k(x-4)与直线 l2 关于点(2,1)对称,则直线 l2 恒过定点( A.(0,4) C.(-2,4) [答案] B [解析] 由于直线 l1:y=k(x-4)恒过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2), 又由于直线 l1:y=k(x-4)与直线 l2 关于点(2,1)对称, ∴直线 l2 恒过定点(0,2). 2.已知两直线 l1:mx+y-2=0 和 l2:(m+2)x-3y+4=0 与两坐标轴围成的四边形有外 接圆,则实数 m 的值为( A.1 或-3 1 C .2 或 2 [答案] A [解析] ∵两直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆,∴对角互补,∴两条直线垂直, ∴ m+2 · (-m)=-1,∴m=1 或 m=-3. 3 ) B.-1 或 3 1 D.-2 或 2 B.(0,2) D.(4,-2) )

二、填空题 3. 若 y=a|x|的图像与直线 y=x+a(a>0)有两个不同的交点, 则 a 的取值范围是________. [答案] (1,+∞) [解析] 如图,要使 y=a|x|的图像与直线 y=x+a(a>0)有两个不同的交点,则 a>1.

1 1 4. 已知 + =1(a>0, b>0), 则点(0, b)到直线 3x-4y-a=0 的距离的最小值是________. a b [答案] 9 5

-4-

|3×0-4×b-a| |4b+a| [解析] d= = . 5 32+?-4?2 ∵a>0,b>0, 4b+a 4 1 ∴d= = b+ a 5 5 5 4 1 1 1 =( b+ a)( + ) 5 5 a b = 4b 4 1 a + + + 5a 5 5 5b 4b· a 5a· 5b

4b a =1+ + ≥1+2 5a 5b 2 9 =1+2× = , 5 5

4b a 1 1 3 当且仅当 = 且 + =1,即 a=3,b= 时等号成立. 5a 5b a b 2 三、解答题 5.已知两条直线 l1:ax-by+4=0 和 l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的 a、b 的 值. (1)l1⊥l2,且 l1 过点(-3,-1); (2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.
? ?a?a-1?-b=0 [解析] (1)由题意得? ,解得 a=2,b=2. ?-3a+b+4=0 ?

(2)∵l2 的斜率存在,l1∥l2, ∴直线 l1 的斜率存在,∴k1=k2. a 即 =1-a b 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等,l1∥l2. ∴l1,l2 在 y 轴上的截距互为相反数. 4 即 =b b ④ 2 . ③

? ? ?a= ?a=2 由③④联立解得? 或? 3 ?b=-2 ? ?

?b=2

6.(文)过点 P(0,1)作直线 l 使它被直线 l1:2x+y-8=0 和 l2:x-3y+10=0 截得的线段 被点 P 平分,求直线 l 的方程. [解析] 设 l1 与 l 的交点为 A(a,8-2a), 则由题意知,点 A 关于点 P 的对称点 B(-a,2a-6)在 l2 上, 代入 l2 的方程得-a-3(2a-6)+10=0,
-5-

∴a=4,即点 A(4,0)在直线 l 上, 所以直线 l 的方程为 x+4y-4=0. (理)在直线 l:3x-y-1=0 上求一点 P,使得 P 到 A(4,1)和 B(0,4)的距离之差最大. [解析] 如图所示,设点 B 关于 l 的对称点为 B′,连接 AB′并延长交 l 于 P,此时的 P 满足|PA|-|PB|的值最大.

设 B′的坐标为(a,b), 则 kBB′· kl=-1, b-4 即 3· =-1. a ∴a+3b-12=0. a b+4 又由于线段 BB′的中点坐标为( , ),且在直线 l 上, 2 2 a b+ 4 ∴3× - -1=0, 2 2 即 3a-b-6=0. 解①②,得 a=3,b=3,∴B′(3,3). y-1 x-4 于是 AB′的方程为 = ,即 2x+y-9=0. 3-1 3-4
? ? ?3x-y-1=0, ?x=2, 解? 得? ?2x+y-9=0, ?y=5, ? ?





即 l 与 AB′的交点坐标为 P(2,5). 此时点 P 到 A(4,1)和 B(0,4)的距离之差最大.

-6-


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