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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学(人教A版,必修四) 第三章 三角恒等变换 3.2 课时作业]


§3.2

简单的三角恒等变换

课时目标 1.了解半角公式及推导过程.2.能利用两角和与差的公式进行简单的三角恒等变 换.3.了解三角变换在解数学问题时所起的作用,进一步体会三角变换的规律.

1.半角公式 α α (1)S :sin =____________________; 2 2 α α (2)C :cos =

____________________________; 2 2 α α (3)T :tan =______________(无理形式)=________________=______________(有理形式). 2 2 2.辅助角公式 使 asin x+bcos x= a2+b2sin(x+φ)成立时,cos φ=__________________,sin φ=______,其 中 φ 称为辅助角,它的终边所在象限由__________决定.

一、选择题 α 的值等于( ) 2 1-cos α 1-cos α A.- B. 2 2 1+cos α 1+cos α C.- D. 2 2 π π ? ? ? 2.函数 y=sin? ) ?x+3?+sin?x-3?的最大值是( 1 A.2 B.1 C. D. 3 2 π? 3.函数 f(x)=sin x-cos x,x∈? ) ?0,2?的最小值为( A.-2 B.- 3 C.- 2 D.-1 4.使函数 f(x)=sin(2x+θ)+ 3cos(2x+θ)为奇函数的 θ 的一个值是( π π π 2π A. B. C. D. 6 3 2 3 5.函数 f(x)=sin x- 3cos x(x∈[-π,0])的单调递增区间是( ) 5π? 5π π? ? ? A.?-π,- 6 ? B.?- 6 ,-6? π ? π ? C.? D.? ?-3,0? ?-6,0? α 1+tan 2 4 6.若 cos α=- ,α 是第三象限的角,则 等于( ) 5 α 1-tan 2 1 1 A.- B. C.2 D.-2 2 2 1 2 3 4 题 号 答 案 二、填空题 1.已知 180° <α<360° ,则 cos

)

5

6

π 7.函数 f(x)=sin(2x- )-2 2sin2x 的最小正周期是______. 4 2 8.已知等腰三角形底角的余弦值为 ,则顶角的正弦值是________. 3 4 9.已知等腰三角形顶角的余弦值为 ,则底角的正切值为________. 5 10.

2002 年在北京召开的国际数学家大会, 会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的. 弦 图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示).如果小正方形的面 积为 1,大正方形的面积为 25,直角三角形中较小的锐角为 θ,那么 cos 2θ 的值等于____. 三、解答题 π? π? 2? 11.已知函数 f(x)= 3sin? ?2x-6?+2sin ?x-12? (x∈R). (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合.

θ π? 8 2 12. 已知向量 m=(cos θ, sin θ)和 n=( 2-sin θ, cos θ), θ∈(π, 2π), 且|m+n|= , 求 cos? ?2+8? 5 的值. 能力提升 13.当 y=2cos x-3sin x 取得最大值时,tan x 的值是( ) 3 3 A. B.- C. 13 D.4 2 2 14.求函数 f(x)=3sin(x+20° )+5sin(x+80° )的最大值.

1.学习三角恒等变换,千万不要只顾死记硬背公式,而忽视对思想方法的理解,要学会借助 前面几个有限的公式来推导后继公式,立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式. 2.辅助角公式 asin x+bcos x= a2+b2sin(x+φ),其中 φ 满足: ①φ 与点(a,b)同象限;②tan b b a φ= (或 sin φ= 2 ). 2,cos φ= 2 a a +b a +b2 3.研究形如 f(x)=asin x+bcos x 的函数性质,都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函 数或余弦函数的形式.因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式,也是高 π? 考常考的考点之一. 对一些特殊的系数 a、 b 应熟练掌握. 例如 sin x± cos x= 2sin? sin x± 3 4?; ?x± π? cos x=2sin? 3?等. ?x±

§3.2
知识梳理

简单的三角恒等变换

1.(1)± a a +b2 作业设计 1.C 2.
2

1-cos α 1+cos α (2)± (3)± 2 2 b 点(a,b) 2 a +b2

1-cos α 1-cos α sin α sin α 1+cos α 1+cos α

π 2.B [y=2sin xcos =sin x.] 3 π? ? π? 3.D [f(x)= 2sin? ?x-4?,x∈?0,2?. π π π ∵- ≤x- ≤ , 4 4 4 π? ∴f(x)min= 2sin? ?-4?=-1.] 4.D π 2x+ +θ?. [f(x)=sin(2x+θ)+ 3cos(2x+θ)=2sin? 3 ? ? 2 当 θ= π 时,f(x)=2sin(2x+π)=-2sin 2x.] 3 π? π 5 ? ? 5.D [f(x)=2sin? ?x-3?,f(x)的单调递增区间为?2kπ-6,2kπ+6π? (k∈Z), π 5 ? 令 k=0 得增区间为? ?-6,6π?.] 4 6.A [∵α 是第三象限角,cos α=- , 5 3 ∴sin α=- . 5 α sin 2 1+ α α α α α α α α 3 cos 1+tan 2 cos2+sin2 cos2+sin2 cos2+sin2 1+sin α 1-5 2 1 ∴ = = = · = = =- .] α α α α α α α α cos α 4 2 1-tan sin cos -sin cos -sin cos +sin - 2 2 2 2 2 2 2 2 5 1- α cos 2 7.π 2 2 2 2 解析 f(x)= sin 2x- cos 2x- 2(1-cos 2x)= sin 2x+ cos 2x- 2 2 2 2 2 π 2π =sin(2x+ )- 2,∴T= =π. 4 2 4 5 8. 9 解析 设 α 为该等腰三角形的一底角, 2 则 cos α= ,顶角为 180° -2α. 3 2?2 2 4 5 ∴sin(180° -2α)=sin 2α=2sin αcos α=2 1-? = . ?3? · 3 9 9.3 4 解析 设该等腰三角形的顶角为 α,则 cos α= , 5 1 底角大小为 (180° -α). 2

4 1+ 5 1 α 1 + cos α 1 ? -α??=tan?90° ∴tan? ?2?180° ? ? -2?= α= sin α = 3 =3. tan 2 5 7 10. 25 π? 解析 由题意,5cos θ-5sin θ=1,θ∈? ?0,4?. 1 ∴cos θ-sin θ= . 5 2 由(cos θ+sin θ) +(cos θ-sin θ)2=2. 7 ∴cos θ+sin θ= . 5 7 ∴cos 2θ=cos2 θ-sin2 θ=(cos θ+sin θ)(cos θ-sin θ)= . 25 π π x- ?+1-cos2?x- ? 11.解 (1)∵f(x)= 3sin2? ? 12? ? 12? π π 3 1 =2? sin2?x- ?- cos2?x- ??+1 ? 12? 2 ? 12?? ?2 π π x- ? ? =2sin?2? ? ? 12?-6?+1 π? 2π =2sin? ?2x-3?+1,∴T= 2 =π. π 2x- ?=1, (2)当 f(x)取得最大值时,sin? 3? ? π π 有 2x- =2kπ+ , 3 2 5π 即 x=kπ+ (k∈Z), 12 5π ∴所求 x 的集合为{x|x=kπ+ ,k∈Z}. 12 12.解 m+n=(cos θ-sin θ+ 2,cos θ+sin θ), |m+n|= ?cos θ-sin θ+ 2?2+?cos θ+sin θ?2 π? = 4+2 2?cos θ-sin θ?= 4+4cos? ?θ+4? π? =2 1+cos? ?θ+4?. π 8 2 7 θ+ ?= . 由已知|m+n|= ,得 cos? 4 ? ? 5 25 π θ π 2 ? ? ? 又 cos? ?θ+4?=2cos ?2+8?-1, θ π? 16 所以 cos2? ?2+8?=25. ∵π<θ<2π, 5π θ π 9π ∴ < + < . 8 2 8 8 θ π? ∴cos? ?2+8?<0. θ π? 4 ∴cos? ?2+8?=-5. 2 3 cos x- sin x?= 13(sin φcos x-cos φsin x) 13.B [y=2cos x-3sin x= 13? 13 13 ? ?

π = 13sin(φ-x),当 sin(φ-x)=1,φ-x=2kπ+ 时,y 取到最大值. 2 π ∴φ=2kπ+ +x,(k∈Z) 2 ∴sin φ=cos x,cos φ=-sin x, 2 3 ∴cos x=sin φ= ,sin x=-cos φ=- . 13 13 3 ∴tan x=- .] 2 14.解 3sin(x+20° )+5sin(x+80° )=3sin(x+20° )+5sin(x+20° )cos 60° +5cos(x+20° )sin 60° 11?2 ?5 3?2 11 5 3 +φ) = sin(x+20° )+ cos(x+20° )= ? +φ)=7sin(x+20° ? 2 ? +? 2 ? sin(x+20° 2 2 11 5 3 其中 cos φ= ,sin φ= .所以 f(x)max=7. 14 14


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