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2013年物理竞赛集训一动量和能量导学(功和功率)


前端导学?
?

动量和能量导学? 知识点梳理?
(一) 功和功率? 1 矢量标积? 矢量是既有大小又有方向且加减运算遵循平行四边形定则的一种量,矢量的大小也称 为绝对值。? ? 设矢量 A 、B 的夹角为 θ , 其标积用 A ? B 表示, 定义为 AB cos θ , 即 A ? B = AB cos θ ? “标”指结果为一般标量,

“积”指 A ? B 是一种乘积运算。这种乘法用其间的一个点表示, 故又称为点乘或点积。标积的正负与 θ 的取值有关。? 2 功? ? ? 力学中的“功”是指机械功,机械功有着特定的含义,它包含两个必要条件:一是物体所 受的力,二是物体在力的方向上发生了位移,两者缺一不可。? (1) 恒力的功? 恒力对直线运动的质点所作的功是这样定义的:功等于力的大小 F 和位移的大小 s 以 及两者夹角 θ 的余弦三者的乘积,即 W = Fs cos θ ? 功的正负只由 F 和 s 的夹角 θ 决定。当 0 ≤ θ < 功。当 θ =

J G J G

J G JG

J G J G

J G JG

π
2

时,W > 0 ,表示力对运动物体作正

π
2

时,W = 0 ,这时力对物体不做功。当

π
2

< θ ≤ π 时,表示力对物体作负功或

者说物体克服该力做正功。 功的正负仅表示力在使物体移动过程中起了动力作用还是阻力作 用,并不表明功有方向。从“做功与物体动能变化的关系”这个意义上理解,正功表示使物 体的动能增加,负功表示使物体的动能减少。在比较两个功的大小时,只比较它们的数值大 小,不考虑功的正负号。? 功可正、可负、可为零,力对物体做负功常说成物体克服该力做功。功是力 F 和位移 s 的标积,即 W = F ? s ? 如果将力 F 沿位移 s 方向分解,则功也等于沿 s 方向的分力 F ,和位移大小的乘积。 作出 F ? s 图像,则图像和 s 轴包围的“面积”在数值上等于功。? (2) 变力的功? ? ? ? 一般情况下,力是变力,而物体的运动轨迹可能是曲线。这时,上述公式不能直接应用, 而必须将上述公式的结果进行推广。? ? ? ? ? 设质点从 A 点沿曲线运动到 B 点,现在来确定变力 F 在这段过程中所做的功。为此, 将此过程分成许多小段,取其中任意一小段 Δsi ,当 Δsi 很小时, Δsi 可看作直线,其方向 沿曲线的切线,而在这小段上力可视为恒力,以 Fi 表示,设力 Fi 与 Δ si 夹角为 θ i ,则两者

JG

G

JG G

JG

G

G

JJ G

JJ G

J G

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前端导学?
的标积即为 Fi 在 Δ si 段对质点所做的功,称为元功,记为 ΔWi = Fi .Δ si = Fi Δsi cos θ ? 变力 F 从 A 到 B 对质点做的功,就等于所有元功的代数和,即
B B JJ G JG W = ∑ ΔWi = ∑ Fi ? Δ si ? A A

JJ G

J G

JJ G J G

同理,变力在曲线运动中的功也可由 F ? s 图像和 s 轴包围的“面积”求解。? 在一些特定情况下,例如:已知恒定功率和时间可用 W = Pt 求解;若知物体的动能变 化,可用动能定理求解;若作用力的大小随位移作线性变化,可用平均力作为恒力按功的定 义求解。? 在有几个力同时对物体做功的情况下, 求合力所做的功时, 也可以先算各个力所做的功, 再求它们的代数和。? 3 功率? (1) 平均功率? 功率是表示做功快慢的物理量,功 W 跟完成这些功所用时间 t 的比值,叫做平均功率, 用 P 表示,即 P = 定义式 P =

W ? t

W 给出的是平均功率,是对时间 t 内做功快慢的一种粗略描述。? t

(2) 即时功率?

当 t → 0 时,平均功率的极限就是即时功率,即 P = lim 故? P = F ? v = Fv cos θ ?

JG G

JG J G W ,因为 W = F ? S ? t →0 t

(二) 动能定理? 1 质点动能? 物体由于运动而具有的能叫做动能。 物体的动能定义为它的质量跟它的速度的平方乘积 的一半,用 Ek 表示, Ek =

1 2 mv ? 2

动能是标量,与质点运动过程无关而仅与其运动速度有关,故为状态量。在国际单位制 中,它的单位是 kg .m / s ,即 J ,与功的单位相同。? 动能具有相对性,对于不同的参照物,由于 v 不同,因而动能也不同,通常以地面为参 照物。? 2 质点动能定理? 质点在经过无限小位移 Δ s 过程中所受合外力若为 F ,则 F 所做元功为 ΔW = F ? Δ s ?
2 2

G

JG

JG

JG

G

G JG JG F 在 Δ s 方向的投影就是 F 沿质点运动方向的切向分力,所以 ΔW = F切 Δs = ma 切 Δs ?
无 限 小 段 Δs 的 切 向 运 动 可 视 为 切 向 加 速 度 是 常 量 的 匀 变 速 运 动 , 故

G

v末2 ? v初2 =2ma切Δs ,即得? ΔW =
JG

把无限小段 Δ s 所以, 合外力 F 在无限小段 Δ s 所做的元功等于质点动能在该段的增量。 北京清北学堂教育科技有限公司? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? www.topschool.rog?
?

G

1 1 -E (初) =Δ E k ? mv末 2 - mv初 2 =E (末) k k 2 2

G

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所做的元功累加,可得从 A 到 B 合外力所做的总功为:?

W A → B = ∑ ΔW = ∑ Δ Ek = Ek ( B ) ? Ek ( A ) =
A A

B

B

1 1 mvB 2 ? mv A 2 = ΔEk ( A→ B ) ? 2 2

即合外力对质点所做的总功等于质点动能的增量,这就是质点动能定理。? 3 质点组动能定理? 若干质点所组成的系统称为质点组,各质点动能 Eki 之和为质点组总动能 Ek ,即

Ek = ∑ Eki ?
i =1

n

设质点组的初状态的动能为 Ek 1 ,质点组末态动能为 Ek 2 ,则所有力做的总功就等于质 点组动能增量,即 W(1→ 2) = Ek 2 ? Ek 1 ? 将质点所受力分为外力和内力两类, 内力是指组内质点间相互作用力, 外力是指组外质 点施予组内质点的力,则有 W(1→ 2) = W内(1→ 2) + W外(1→ 2) ? 故有 W内(1→ 2) + W外(1→ 2) = Ek 2 ? Ek 1 ? 上式的物理意义就是: 作用在质点组上的外力所做的总功与内力所做的总功之和等于质 点组动能的增量,这就是质点组动能定理。? (三) 机械能守恒定律? 1 保守力? 如果力对质点做功与质点运动的路径无关, 则将这种力称为保守力。 保守力做功只与质 点的初始位置和终了位置有关,而与选取的具体路径无关。? 力对质点做功与质点运动的路径有关, 这种力称之为非保守力, 例如质点在水平桌面上 沿不同路径从初始位置运动到终了位置,摩擦力对质点所做的功各不相同。路线越长,功的 数值越大。摩擦力是非保守力,空气的阻力也都是非保守力,非保守力也称为耗散力。? 几种常见的保守力:? (1) 重力? 设质量为 m 的质点从 a 位置经任一条曲线运动到 b 位置,如图 5‐2 所示,从 a 到 b 重力做功 W( a →b ) = mg ? s = mgs cos α = mgh , h 为两点间的竖直高度差。由于 h 仅由

J G G

a 、 b 位置确定,而与 a 到 b 路径无关,可见重力是保守力。?
? ? ? ? ? ? ? ? 因此,重力做功与物体运动的路径无关,只与物体的初、末位置有关,而跟物体运 动的路径无关。它决定于重力与两位置高度差的乘积。在该水平面上方 h 取正,下方取负。 ? (2) 万有引力? 万有引力是一种有心力,可以证明有心力均是保守力。质量为 m 的质点在另一质量为

M 的质点引力作用下, 相对位置 (距离) 由 r1 运动到 r2 , 此过程中万有引力对质量为 m
的质点所做的功为 W = GMm(

1 1 ? )? r2 r1

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