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河北省唐山市2016届高三数学上学期摸底考试试题 理


唐山市 2015—2016 学年度高三年级摸底考试 理 科 数 学

注意事项: 一、 本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 二、答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置. 三、全部答案在答题卡上完成,答在本试卷上无效. 四、考试结束后,将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,

共 60 分.在每小题给出的四个选项中,有 且只有一项符合题目要求. (1)已知集合 M={x|x>1},N={x|x -2x≥0},则 (A)(-∞,-2] (B)(-∞,0] (C) [0,1) (D)[-2,0] (2)已知 (i 为虚数单位) ,则实数 b=
2

∩N=

(A) (B)-6 (C)-2 (D)2 2 (3)已知随机变量 X 服从正态分布 N(2,σ ),P(X≤4)=0.84,则 P(X≤0)= (A)0.16 (B)0.32 (C)0.68 (D)0.84 (4)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 (A)2 (C)4 (B) (D)

(5)函数 f(x)= 3 sinx-cosx(x∈[0,π ])的单调递减区间 是 (A)[0, (C)[

x-y≤0, (6)x,y 满足约束条件? x+y-2≥0, 目标函数 z=2x+y,则 z 的取值范围是 3x-y+2≥0, (A)[-3,3] (C)[2,+∞) (B)[-3,2] (D)[3,+∞)

2? ,π ] 3

2? ] 3

(B)[

? 2? , ] 3 2 ? 5? (D)[ , ] 6 2

(7)非零向量 a,b 满足|a|= 2 |b|,且(a-b)⊥(2a+3b),则 a 与 b 夹角的大小为

? 3 2? (C) 3
(A)

(B)

? 4 3? (D) 4
1

(8)曲线 y= x 与直线 y=2x-1 及 x 轴所围成的封闭图形的面积为

5 12 1 (C) 6
(A)

(B)

11 12 1 (D) 2

(9)执行如右图所示的程序框图,若输入 a=390,b=156,则输出 a= (A)156 (B)78 (C)39 (D)26 (10)已知双曲线Γ :

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的右顶点为 A,与 x 轴 a 2 b2

平行的直线交Γ 于 B,C 两点,记∠BAC=θ ,若Γ 的离心率为 2,则 (A)θ ∈(0, (C)θ ∈(

3? ,π ) 4
x 2

? ) 2

(B)θ =

? 2 3? (D)θ = 4

(11)若函数 f ( x) =e -ax 有三个不同零点,则 a 的取值范围是

(A)(

e2 ,+∞) 4 e2 ) 4

(B)( e ,+∞)
2

(C)(1,

(D)(1,

e ) 2

(12)在三棱锥 A-BCD 中,AC=BD=3,AD=BC=4,AB=CD=m,则 m 的取值范围 是 (A)(1,5) (B)(1,7) (C)( 7 ,7) (D)( 7 ,5)

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 5 3 (13)(x+2) 的展开式中含 x 的项的系数是____. (用数字作答) (14)若函数 f ( x) ?

m ?10 x ? 1 为奇函数,则 m=____. 10 x ? 1
2

(15)斜率为 k(k>0)的直线 l 与抛物线 C:y =4x 交于 A,B 两点,O 为原点,M 是 线段 AB 的中点,F 为 C 的焦点,△OFM 的面积等于 2,则 k=______. (16)△ABC 中,∠A=60?,M 为边 BC 的中点,AM= 3 ,则 2AB+AC 的取值范围是 ________.

2

三、解答题:本大题共 70 分,其中(17)—(21)题为必考题, (22) , (23) , (24)题 为选考题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 正项等差数列 ?an ? 满足 a1=4,且 a2,a4+2,2a7-8 成等比数列, ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ?

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn. Sn ? 2

(18) (本小题满分 12 分) 某加油站工作人员根据以往该加油站 的销售情况,绘制了该加油站日销售量的 频率分布直方图,如图所示: 将日销售量落入各组的频率视为概 率,并假设每天的销售量相互独立. (Ⅰ)求未来 3 天内 ,连续 2 天日销量 不低于 40 吨,另一天日销量低于 40 吨的 概率; (Ⅱ)用 X 表示未来 3 天内日销售量 不低于 40 吨的天数,求随机变量 X 的分布列及期望.

(19) (本小题满分 12 分) 在四棱锥 P-ABCD 中,△PAD 为等边三角形,底面 ABCD 为等腰梯形,满足 AB∥CD,AD=DC= 且平面 PAD⊥平面 ABCD. (Ⅰ)证明:BD⊥平面 PAD; (Ⅱ)求二面角 A-P D-C 的余弦值.

1 AB=2, 2

3

(20) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1(- ,0),F2( ,0),且椭圆 C 过点 P(3,2).

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)与直线 OP 平行的直线交椭圆 C 于 A,B 两点,求证:直线 PA,PB 与 y 轴围成一个等腰三角 形.

(21) (本小题满分 12 分) 2 设 f(x)=lnx+a(x -1)-2(x-1).2 (Ⅰ)若 a=0 时直线 y=mx+1 与曲线 y=f(x)相切,求 m 的值; (Ⅱ)已知(x-1)f(x)≥0,求 a 的取值范围.

请考生在第(22) , (23) , (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答 时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 为圆 O 的直径,CB 是圆 O 的切线,弦 AD∥OC. (Ⅰ)证明:CD 是圆 O 的切线; (Ⅱ)AD 与 BC 的延长线 相交于点 E,若 DE=3OA,求∠AEB C 的大小.

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

4

曲线 C 的参数方程为

x ? 2 ? 2cos a y ? 2sin a

?(α 为参数) .以坐标原点

O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2:ρ =2cosθ 与 极轴交于 O,D 两点. (Ⅰ)分别写出曲线 C1 的极坐标方程及点 D 的极坐标; (Ⅱ)射线 l:θ =β (ρ >0,0<β <π )与曲线 C1,C2 分别交于点 A,B,已知△ABD 的面积为

3 ,求β . 2

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式|x-3|+|x-5|≤m 的解集不是空集,记 m 的最小值为 t. (Ⅰ)求 t; (Ⅱ)已知 a>0,b>0,c=max{

1 a 2 ? b2 , },求证:c≥1. a tb

注:maxA 表示数集 A 中的最大数.

5

唐山市 2015—2016 学年度高三年级摸底考试 理科数学参考答案 一、选择题: BCADC CDABB 二、填空题: (13)40 (14)1 (15) 1 2 (16)(2 3,4 3) AD

三、解答题: (17)解: 2 (Ⅰ)设数列{an}公差为 d(d>0) ,由已知得:a2(2a7-8)=(a4+2) , 2 化简得:d +4d-12=0,解得:d=2 或 d=-6(舍) , 所以 an=a1+(n-1)d=2n+2. …5 分 (Ⅱ)因为 Sn= 所以 bn=

n(a1+an)
2



n(2n+6)
2

=n +3n,

2

1 1 1 1 1 = 2 = = - , Sn+2 n +3n+2 (n+1)(n+2) n+1 n+2 1 1 1 1 1 1 1 1 - )+( - )+( - )+…+( - ) 2 3 3 4 4 5 n+1 n+2 …12 分

所以 Tn=b1+b2+b3+…+bn =( =

1 1 n - = . 2 n+2 2n+4

(18)解: (Ⅰ)由频率分布直方图可知,日销售量不低于 40 吨的频率为: 10×(0.025+0.015)=0.4, 记未来 3 天内,第 i 天日销售量不低于 40 吨为事件 Ai(i=1,2,3) ,则 P(Ai)=0.4, 未来 3 天内, 连续 2 天日销量不低于 40 吨, 另一天日销量低于 40 吨包含两个互斥事件 A1A2- A 3 和- A
1 2 3

A A ,则: P(A1A2- A3∪- A1A2A3)=P(A1A2- A3)+P(- A1A2A3)
=0.4×0.4×(1-0.4)+(1-0.4)×0.4×0.4=0.192. (Ⅱ)X 可能的取值为 0,1,2,3,相应的概率分别为: …6 分

P(X=0)=(1-0.4) =0.216, P(X=1)=C1 3×0.4×(1-0.4) =0.432, P(X=2)=C2 3×0.4 ×(1-0.4)=0.288, P(X=3)=0.4 =0.064, X 的分布列为 X 0 1 2 P 0.216 0.432 0.288 E(X)=3×0.4=1.2.
3 2 2

3

3 0.064 …12 分

(19)解: (Ⅰ)在梯形 ABCD 中,取 AB 中点 E,连结 DE,则 DE∥BC,且 DE=BC. 1 故 DE= AB,即点 D 在以 AB 为直径的圆上,所以 BD⊥AD. 2
6

因为平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,BD?平面 ABCD, 所以 BD⊥平面 PAD. …5 分 (Ⅱ)取 AD 中点 O,连接 PO,则 PO⊥AD,连接 OE,则 OE z ⊥AD. P 以 O 为原点,分别以 OA,OE,OP 为 x 轴,y 轴,z 轴建立 空间直角坐 标系,易得 OE= 1 BD= 3, 2
O A x D C

∥ BD ,∴ OE 如图所示的

则 A(1,0,0),D(-1,0,0),E(0, 3,0),P(0,0, 3), → DC =→ AE =(-1, 3,0),→ DP =(1,0, 3). 取平面 PAD 的一个法向量为 n=(0,1,0), 设平面 PDC 的一个法向量为 m=(x,y,z), 由→ DC ·m=0,→ DP ·m=0 得:
?-x+ 3y=0, ? ? 令 y=1,得 m=( 3,1,-1), ?x+ 3z=0, ?

E y

B

m·n 5 所以 cos?m,n?= = , |m||n| 5 因为二面角 A-PD-C 的平面角为钝角,
所以二面角 A-PD-C 的余弦值为- (20)解: 5 . 5 …12 分

x2 y2 (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0) , a b
2 ? ?a -b =10, ?a =18, 9 4 ? 可得? 解得 2 ?b =8. 2+ 2=1, ? ?a b 2 2

y A P B F1 O F2 x

由 题 意

故椭圆 C 的方程为 + =1. …5 分 18 8 (Ⅱ)直线 OP 方程为 2x-3y=0,设直线 AB 方程为 2x-3y+t=0(t∈R,且 t≠0) . 2 2 将直线 AB 的方程代入椭圆 C 的方程并整理得 8x +4tx+t -72=0. 设 A (x1,y1),B (x2,y2). 2 2 2 当 Δ =16t -32(t -72)=16(144-t )>0,即 0<|t|<12 时, 2 t t -72 有 x1+x2=- ,x1x2= . ① 2 8 所以 y1-2 y2-2 2x1+t-6 2x2+t-6 4x1x2+(t-12)(x1+x2)-6(t-6) kPA+kPB= + = + = . x1-3 x2-3 3(x1-3) 3(x2-3) 3(x1-3)(x2-3) 将①代入上式得 kPA+kPB=0. 故直线 PA,PB 与 y 轴围成一个等腰三角形. …12 分 (21)解: 1 (Ⅰ)当 a=0 时,f (x)=ln x-2(x-1),f ?(x)= -2.

x2

y2

x

设切点为(x0,y0),

7

? ?y0=ln x0-2(x0-1), ?x0=1, y0-1 则? 1 解得? , ?y0=0. ? -2= ? x0
x0
直线 y=mx+1 过点(1,0),解得 m=-1. 1 (Ⅱ)f ?(x)= +2ax-2. …5 分

x

(ⅰ)若 a>0,则 f ?(x)= 当 a≥

1

x

+2ax-2≥2( 2a-1),当且仅当 x=

1 2a

时等号成立.

1 时,f ?(x)≥0,f (x)在(0,+∞)单调递增. 2 又 f (1)=0,所以当 x∈(0,1)时,f (x)<0;当 x∈(1,+∞)时,f (x)>0. 于是有(x-1)f (x)≥0. 1 1+ 1-2a 当 0<a< ,记 x1= ,则 x1>1,当 x∈(1,x1)时,f ?(x)<0, 2 2a 所以 f (x)在(1,x1)单调递减,此时 f (x)<0,即(x-1)f (x)< 0. 1 1 (ⅱ)若 a=0,则当 x∈( ,1)时,f ?(x)<0,f (x)在( ,1)单调递减, 2 2 此时 f (x)>f (1)=0,即(x-1)f (x)<0. 1- 1-2a (ⅲ)若 a<0,记 x2= ,则 0<x2<1. E 2a 当 x∈(x2,1)时,f ?(x)<0,所以 f (x)在(x2,1)单调 递减, 此时 f (x)>f (1)=0,即(x-1)f (x)<0. 综上,a 取值范围是[ 1 ,+∞). 2 …12 分
D F A O B C

(22)解: (Ⅰ)连 BD,与 OC 交于点 F, 因为 AB 为圆 O 的直径,所以 AD⊥BD, 又 AD∥OC,故 OC⊥BD,且 BF=DF, 所以 CD=CB,连 OD,则△OCD≌△OCB, 由 CB⊥OB 得 CD⊥OD,CD 是圆 O 的切线. (Ⅱ)设 OA=1,AD=x,则 AB=2,AE=x+3, 2 由 AB =AD?AE, 即 x(x+3)=4 得,x=1. 则∠OAD=60°,∠AEB=30°.

…5 分

…10 分

(23)解: 2 2 (Ⅰ)曲线 C1 的普通方程为(x-2) +y =4, 将其化为极坐标方程为 ρ =4cos θ . 在曲线 C2 的极坐标方程中,令 θ =0,得其极坐标为 D (2,0). …4 分 (Ⅱ)不妨设 A (ρ A,β ),B (ρ B,β ),则|AB|=|ρ A-ρ B|=ρ B=2cos β , 1 3 由△ABD 的面积 S= |AB|?|OD|sin β =sin 2β = , 2 2 π π 解得 β = 或 . …10 分 6 3 (24)解: (Ⅰ)因为|x-3|+|x-5|≥|(x-3)-(x-5)|=2,
8

当 3≤x≤5 时取等号, 故 m≥2,即 t=2.

…4 分 1

a2+b2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 c=max{ , }. a 2b 2 2 2 2 1 a +b a +b 2 则c≥ ? = ≥1, a 2b 2ab 2 2 1 a +b 等号当且仅当 = =1,即 a=b=1 时成立. a 2b 因为 c>0,所以 c≥1.

…10 分

9


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