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高二数学(1.1分类加法与分步乘法计数原理 3课时)


高中新课程数学选修2 高中新课程数学选修2-3
第一章 计数原理
1.1 分类加法计数原理 与分步乘法计数原理

提出问题

? 1 ? 5730 p=? ? ?2?

t

将1元人民币兑换成角票,共有多 元人民币兑换成角票, 少种不同的兑换方法? 少种不同的兑换方法? 10种 10种

问题探究

1.用一个大写的英文字母或一个阿拉 1.用一个大写的英文字母或一个阿拉 伯数字给教室里的座位编号, 伯数字给教室里的座位编号,总共能 够编出多少种不同的号码? 够编出多少种不同的号码? 26+10=36 26+10=

问题探究

2.从甲地到乙地可以乘火车, 2.从甲地到乙地可以乘火车,也可以乘 从甲地到乙地可以乘火车 汽车,一天中火车有4 汽车有8 汽车,一天中火车有4班,汽车有8班, 那么一天中, 那么一天中,乘坐这些交通工具从甲地 到乙地共有多少种不同的走法? 到乙地共有多少种不同的走法? 4+8=12

问题探究

3.从师大声乐系某6名男生或8 3.从师大声乐系某6名男生或8名女生 从师大声乐系某 中任选一人表演独唱, 中任选一人表演独唱,共有多少种不 同的选派方法? 同的选派方法? 6+8=14

形成结论

4.上述计数问题的算法有何共同特点? 4.上述计数问题的算法有何共同特点? 上述计数问题的算法有何共同特点 完成一件事有两类不同方案, 完成一件事有两类不同方案,在 类方案中有m种不同的方法 种不同的方法, 第1类方案中有 种不同的方法,在第 类方案中有n 种不同的方法, 2类方案中有 种不同的方法,那么完 成这件事共有N= + 种不同的方法 种不同的方法. 成这件事共有 =m+n种不同的方法 上述原理称为分类加法计数原理. 上述原理称为分类加法计数原理. 分类加法计数原理

问题探究

如何从集合运算的角度理解这个原理? 如何从集合运算的角度理解这个原理? A B

若A∪B=U,A∩B=Φ,则 A∪B= A∩B= card(U)=card(A)+ card(U)=card(A)+card(B).

形成结论

如果完成一件事有n类不同方案,在第 如果完成一件事有 类不同方案, 类不同方案 1类方案中有m1种不同的方法,在第2 类方案中有 种不同的方法,在第2 类方案中有m2种不同的方法,…,在 类方案中有 种不同的方法, 第n类方案中有 n种不同的方法,那么 类方案中有m 种不同的方法, 类方案中有 完成这件事的方法总数为: 完成这件事的方法总数为 N=m1+m2+…+mn =

问题探究

1.用 1.用A~F六个大写的英文字母和1~9 六个大写的英文字母和1 九个阿拉伯数字, 九个阿拉伯数字,以A1,A2,…,B1, 的方式给教室里的座位编号, B2,…的方式给教室里的座位编号, 总共能够编出多少种不同的号码? 总共能够编出多少种不同的号码? 6×9=54

问题探究

2.从甲地到乙地,先要从甲地乘火车到 2.从甲地到乙地, 从甲地到乙地 丙地,再于次日从丙地乘汽车到乙地.一 丙地,再于次日从丙地乘汽车到乙地. 天中从甲地到丙地的火车有4班,从丙地 天中从甲地到丙地的火车有4 到乙地的汽车有8班,那么两天中,乘坐 到乙地的汽车有8 那么两天中, 这些交通工具从甲地到乙地共有多少种 不同的走法? 不同的走法? 4×8=32

问题探究

3.从师大声乐系某6名男生和8 3.从师大声乐系某6名男生和8名女生中 从师大声乐系某 各选一人表演男女二重唱, 各选一人表演男女二重唱,共有多少种 不同的选派方法? 不同的选派方法? 6×8=48 上述原理称为分步乘法计数原理. 上述原理称为分步乘法计数原理. 分步乘法计数原理

问题探究

4.上述计数问题的算法有何共同特点? 4.上述计数问题的算法有何共同特点? 上述计数问题的算法有何共同特点 完成一件事需要两个步骤,做第1 完成一件事需要两个步骤,做第1步有 m种不同的方法,做第2步有 种不同的 种不同的方法, 种不同的方法 做第2步有n 方法,那么完成这件事共有N 方法,那么完成这件事共有N=m×n种 × 种 不同的方法. 不同的方法.

如何从集合运算的角度理解这个原理? 如何从集合运算的角度理解这个原理? 若U={(a,b)|a∈A,b∈B},则 {(a,b)|a∈A,b∈B}, card(U)=card(A)× card(U)=card(A)×card(B).

形成结论

如果完成一件事需要n个步骤,做第1 如果完成一件事需要n个步骤,做第1步 种不同的方法,做第2步有m 有m1种不同的方法,做第2步有 2种不 同的方法, 做第n步有m 同的方法,…,做第n步有 n种不同的 方法, 方法,那么完成这件事的方法总数如何 计算? 计算? N=m1×m2×…×mn

典例讲评

在填写高考志愿时, 例1 在填写高考志愿时,一名高中毕业 生了解到, 生了解到,A,B两所大学各有一些自己感兴 趣的强项专业,具体情况如下: 趣的强项专业,具体情况如下: 大学: A大学:生物学 化学 医学 物理学 工程学 大学: B大学:数学 会计学 信息技术学 法学 如果这名同学只能选一个专业, 如果这名同学只能选一个专业,求他共有多 少种不同的选择方法? 少种不同的选择方法?

5 +4 =9 (种)

典例讲评

某班有男生30 30名 女生24 24名 例2 某班有男生30名,女生24名, 现要从中选出男、 现要从中选出男、女生各一名代表班 级参加朗诵比赛, 级参加朗诵比赛,求共有多少种不同 的选派方法? 的选派方法? 30×24=720( 30×24=720(种)

书架有三层,其中第一层放有4 例3 书架有三层,其中第一层放有4本 不同的计算机书,第二层放有3 不同的计算机书,第二层放有3本不同的 文艺书,第三层放有2本不同的体育书. 文艺书,第三层放有2本不同的体育书. 从书架上任取1本书, (1)从书架上任取1本书,有多少种不 同的取法? 同的取法? 从书架的第一, 三层各取1 (2)从书架的第一,二,三层各取1本 有多少种不同的取法? 书,有多少种不同的取法? (1)4+ (1)4+3+2=9(种) (2)4× (2)4×3×2=24(种) 24(

典例讲评

要从甲、 例4 要从甲、乙、丙3幅不同的画 中选出2 分别挂在左、 中选出2幅,分别挂在左、右两边墙上 的指定位置, 的指定位置,求共有多少种不同的挂 法? 3 ×2 =6 (种)

课堂小结

1.分类加法计数原理和分步乘法计数 1.分类加法计数原理和分步乘法计数 原理, 原理,都是解决完成一件事的方法数的 计数问题,其不同之处在于, 计数问题,其不同之处在于,前者是针 分类”问题的计数方法, 对“分类”问题的计数方法,后者是针 分步”问题的计数方法. 对“分步”问题的计数方法. 2.在 分类”问题中, 2.在“分类”问题中,各类方案中的 每一种方法相互独立, 每一种方法相互独立,选取任何一种方 法都能完成这件事; 分步”问题中, 法都能完成这件事;在“分步”问题中, 各步骤中的方法相互依存, 各步骤中的方法相互依存,只有各步骤 各选一种方法才能完成这件事. 各选一种方法才能完成这件事.

课堂小结

3.在应用分类加法计数原理时, 3.在应用分类加法计数原理时,分 在应用分类加法计数原理时 类方法不惟一,但分类不能重复, 类方法不惟一,但分类不能重复,也 不能遗漏. 不能遗漏. 在应用分步乘法计数原理 分步方法不惟一, 时,分步方法不惟一,但分步不能重 也不能缺少. 叠,也不能缺少.

布置作业

作业: 作业: P12习题1.1A组: P12习题1.1A 习题1.1A组 1,2,3,4,5.

分类加法计数原理与 分步乘法计数原理的应用 (习题课) 习题课) 第一课时

复习巩固

1.分类加法计数原理: 1.分类加法计数原理: 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第1 完成一件事有两类不同方案,在第1类方 案中有m种不同的方法 在第2 种不同的方法, 案中有 种不同的方法,在第2类方案中 种不同的方法, 有n 种不同的方法,那么完成这件事共 种不同的方法. 有N=m+n种不同的方法 = + 种不同的方法

复习巩固

推广:如果完成一件事有n类不同方案, 推广:如果完成一件事有n类不同方案, 在第1类方案中有m 种不同的方法, 在第1类方案中有 1种不同的方法,在 类方案中有m 种不同的方法, 第2类方案中有 2种不同的方法,…, 在第n类方案中有m 种不同的方法, 在第n类方案中有mn种不同的方法,那 么完成这件事的方法总数为 N=m1+m2+…+mn

2.分步乘法计数原理: 2.分步乘法计数原理: 分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第1 完成一件事需要两个步骤,做第1步有 m种不同的方法,做第2步有 种不同的 种不同的方法, 种不同的方法 做第2步有n 方法,那么完成这件事共有N 方法,那么完成这件事共有N=m×n种 × 种 不同的方法. 不同的方法.

推广:如果完成一件事需要n个步骤, 推广:如果完成一件事需要n个步骤, 做第1步有m 种不同的方法,做第2 做第1步有 1种不同的方法,做第2步 种不同的方法, 做第n 有m2种不同的方法,…,做第n步有 mn种不同的方法,那么完成这件事的 种不同的方法, 方法总数为N 方法总数为N=m1×m2×…×mn

典例讲评

例1 给程序模块命名,需要用3个字 给程序模块命名,需要用3 符,其中首字符要求用字母A~G或U~Z, 其中首字符要求用字母A 后两个要求用数字1~9,问最多可以给 后两个要求用数字1 多少个程序命名? 多少个程序命名? 最多可以给1053个程序命名 最多可以给1053个程序命名 1053

核糖核酸(RNA) 例2 核糖核酸(RNA)分子是在生物细胞 中发现的化学成分,一个RNA RNA分子是一个有着 中发现的化学成分,一个RNA分子是一个有着 数百个甚至数千个位置的长链, 数百个甚至数千个位置的长链,长链中每一 个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占 总共有4种不同的碱基,分别用A 据.总共有4种不同的碱基,分别用A,C,G, 表示.在一个RNA分子中, RNA分子中 U表示.在一个RNA分子中,各种碱基能够以任 意次序出现, 意次序出现,所以在任意一个位置上的碱基 与其他位置上的碱基无关.假设有一类RNA RNA分 与其他位置上的碱基无关.假设有一类RNA分 子由100个碱基组成, 100个碱基组成 子由100个碱基组成,那么能有多少个不同的 RNA分子 分子? RNA分子?

4100个

A C A G U C C G AU G A

电子元件很容易实现电路的通与断、 例3 电子元件很容易实现电路的通与断、电位 的高与低等两种状态, 的高与低等两种状态,而这也是最容易控制的两 种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有0 种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有0或1 两种数字的记数法,即二进制. 两种数字的记数法,即二进制.为了使计算机能够 识别字符,需要对字符进行编码, 识别字符,需要对字符进行编码,每个字符可以 用一个或多个字节来表示, 用一个或多个字节来表示,其中字节是计算机中 数据存储的最小计量单位,每个字节由8 数据存储的最小计量单位,每个字节由8个二进制 位构成. 位构成.问: 一个字节( (1)一个字节(8位)最多可以表示多少个不同 的字符? 的字符? 256个 256个 计算机汉字国际码(GB码 包含了6 763个 (2)计算机汉字国际码(GB码)包含了6 763个 汉字,一个汉字为一个字符, 汉字,一个汉字为一个字符,要对这些汉字进行 编码,每个汉字至少要用多少个字节表示? 编码,每个汉字至少要用多少个字节表示? 2个

例4 计算机编程人员在编写好程序以后需 要对程序进行测试, 要对程序进行测试,程序员需要知道到底有 多少条执行路径( 多少条执行路径(即程序从开始到结束的路 ),以便知道需要提供多少个测试数据 以便知道需要提供多少个测试数据. 线),以便知道需要提供多少个测试数据.一 般地,一个程序模块由许多子模块组成.如图 般地,一个程序模块由许多子模块组成. 所示是一个具有许多执行路径的程序模块. 所示是一个具有许多执行路径的程序模块. 这个程序模块有多少条执行路径; (1)这个程序模块有多少条执行路径; 为了减少测试时间, (2)为了减少测试时间,程序员需要设法减 少测试次数, 少测试次数,你能帮助程序员设计一个测试 方法,以减少测试次数吗? 方法,以减少测试次数吗?

开始

子模块1 子模块1 18条执行路径 18条执行路径

子模块2 子模块2 45条执行路径 45条执行路径 A

子模块3 子模块3 28条执行路径 28条执行路径

子模块4 子模块4 38条执行路径 38条执行路径

子模块5 子模块5 43条执行路径 43条执行路径 结束

7371条 7371条

178次 178次

随着人们生活水平的提高, 例5 随着人们生活水平的提高,某 城市家庭汽车拥有量迅速增长, 城市家庭汽车拥有量迅速增长,汽车牌 照号码需要扩容. 照号码需要扩容.交通管理部门出台了一 种汽车牌照组成方法, 种汽车牌照组成方法,每一个汽车牌照 都必须有3个不重复的英文字母和3 都必须有3个不重复的英文字母和3个不 重复的阿拉伯数字,并且3 重复的阿拉伯数字,并且3个字母必须合 成一组出现, 成一组出现,3个数字也必须合成一组出 现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌 照? 共能给22 000辆汽车上牌照 辆汽车上牌照. 共能给22 464 000辆汽车上牌照.

布置作业

集合A 集合A={a1,a2,…,an}共有多少个 子集? 子集?

作业: 作业: P10练习: P10练习:1,2,3,4. 练习

分类加法计数原理与 分步乘法计数原理的应用 (习题课) 习题课) 第二课时

典例讲评

一种号码锁有4个拨号盘, 例1 一种号码锁有4个拨号盘, 每个拨号盘上有从0 10个数字 个数字, 每个拨号盘上有从0到9共10个数字, 这4个拨号盘可以组成多少个四位 数字号码? 数字号码? 10×10×10× 10000( N=10×10×10×10=10000(种)

典例讲评

要从甲、 例2 要从甲、乙、丙3名工人中 选出2名分别上日班和晚班, 选出2名分别上日班和晚班,有多少 种不同的选法? 种不同的选法? 第一步:选1人上日班; 有3种方法 第一步: 人上日班; 第二步: 第二步:选1人上晚班. 有2种方法 人上晚班 N =3 ×2 =6 (种)

某班有5人会唱歌,另有4 例3 某班有5人会唱歌,另有4人 会跳舞,还有2人能歌善舞, 会跳舞,还有2人能歌善舞,从中任 人表演一个节目, 选1人表演一个节目,共可表演多少 个节目? 个节目?
第1类:从会唱歌者中选1人唱歌; 从会唱歌者中选1人唱歌; 第2类:从会跳舞者中选1人跳舞; 从会跳舞者中选1人跳舞; 第3类:从能歌善舞者中选1人唱歌 从能歌善舞者中选1 或跳舞; 或跳舞;

13( N=5+4+2×2=13(种)

有架楼梯共6 例4 有架楼梯共6级,每次只允 许上一级或两级, 许上一级或两级,求上完这架楼梯共 有多少种不同的走法? 有多少种不同的走法? 1种走法 第1 类:走3 步 6种走法 第2 类:走4 步 5种走法 第3 类:走5 步 第4 类:走6 步 1种走法 13( N=1+6+5+1=13(种)

典例讲评

由数字0 例5 由数字0,1,2,3,4,5可 以组成多少个无重复数字的三位数? 以组成多少个无重复数字的三位数? 百位 十位 个位 5种 5种 4种 100( N=5×5×4=100(种)

典例讲评

人中选4人参加数、 例6 从5人中选4人参加数、理、 化学科竞赛,其中数学2 化学科竞赛,其中数学2人,理、化 求共有多少种不同的选法? 各1人,求共有多少种不同的选法? 物理1人 化学1人 数学2人 化学1 数学2 物理1 5种 4种 3种

60( N=5×4×3=60(种)

200这些自 例7 在1,2,3,…,200这些自 然数中,各个数位上都不含数字8 然数中,各个数位上都不含数字8的 自然数共有多少个? 自然数共有多少个? 不含8 不含8的一位数 不含8 不含8的二位数 不含8 不含8的三位数 8个 8×9=72个 9=72个 9×9+1=82个 9+1=82个

162( N=8+72+82=162(个)

种不同颜色给图中A 例8 用5种不同颜色给图中A,B, 四个区域涂色, C,D四个区域涂色,每个区域只涂 一种颜色,相邻区域的颜色不同, 一种颜色,相邻区域的颜色不同, 求共有多少种不同的涂色方法? 求共有多少种不同的涂色方法? A5 C3 4 B D3

180( N=5×4×3×3=180(种)

例9 将一个四棱锥的每个顶点染上 一种颜色, 一种颜色,并使同一条棱上的两端点颜 色不同,如果只有5种颜色可供使用, 色不同,如果只有5种颜色可供使用,求 共有多少种不同的染色方法? 共有多少种不同的染色方法?
S C D A

涂S 点 涂A 点 涂D 点 B 涂B 、C 点

5 4 3 7

420( N=5×4×3×7=420(种)

例10 从-3,-2,-1,0,1,2, 3中任取三个不同的数作为抛物线 y=ax x+ ≠0)的系数, x+c( ≠0)的系数 y= x2+bx+ (a≠0)的系数,如果抛物 线过原点,且顶点在第一象限, 线过原点,且顶点在第一象限,问 这样的抛物线共有多少条? 这样的抛物线共有多少条? c取值 c=1 取值 1种 a取值 a<0 取值 3种 3种 b取值 b>0 取值 N=3×3×1=9(种)

名田径运动员报名参加100m 100m, 例11 某4名田径运动员报名参加100m, 200m和400m三项短跑比赛 三项短跑比赛. 200m和400m三项短跑比赛. 每人限报1个项目, (1)每人限报1个项目,共有多少种不 同的报名方法? 同的报名方法? 每个项目限报1 (2)每个项目限报1人,共有多少种不 同的报名方法? 同的报名方法? 81种 (1)34=81种; 64种 (2)43=64种.

典例讲评

630的正约数 包括1 630) 的正约数( 例12 630的正约数(包括1和630) 共有多少个? 共有多少个? 630= 630=2×32×5×7 正约数:2 正约数:2a×3b×5c×7d 2×3×2×2=24(个) 24(

典例讲评

20个大小相同的小球放入编号 例13 将20个大小相同的小球放入编号 的三个盒子中, 为1,2,3的三个盒子中,要求每个盒子 内的球数不小于该盒子的编号数, 内的球数不小于该盒子的编号数,求共 有多少种不同的放法? 有多少种不同的放法? 15+14+ 15+14+…+2+1=120(种) 120(

某电视节目中有A 两个信箱, 例14 某电视节目中有A、B两个信箱, 分别存放着先后两次竞猜中入围的观众 来信,其中A信箱中有30封来信, 30封来信 来信,其中A信箱中有30封来信,B信箱 中有20封来信.现由主持人从A信箱或B 20封来信 中有20封来信.现由主持人从A信箱或B信 箱中抽取1名幸运观众, 箱中抽取1名幸运观众,再由该幸运观众 两个信箱中各抽取1名幸运伙伴, 从A、B两个信箱中各抽取1名幸运伙伴, 求共有多少种不同的可能结果? 求共有多少种不同的可能结果? 30×29×20+20×19× 30×29×20+20×19×30 17400+11400=28800( =17400+11400=28800(种)



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