tceic.com
简单学习网 让学习变简单
相关标签
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

数学竞赛之立体几何专题精讲(例题+练习)


数学竞赛中的立体几何问题
立体几何作为高中数学的重要组成部分之一,当然也是每年的全国联赛的必然考查内容.解法灵活而 备受人们的青睐,竞赛数学当中的立几题往往会以中等难度试题的形式出现在一试中,考查的内容常会涉 及角、距离、体积等计算.解决这些问题常会用到转化、分割与补形等重要的数学思想方法. 一、求角度 这类题常以多面体或旋转体为依托,考查立体几何中的异面直线所成角、

直线与平面所成角或二面角的 大小 解决这类题的关键是 ,根据已知条件准确地找出或作出要求的角. 立体几何中的角包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角三种.其中两条异面直线所成 的角通过作两条异面直线的平行线找到表示异面直线所成角的相交直线所成的角,再构造一个包含该角的 三角形,解三角形即可以完成;直线和平面所成的角则要首先找到直线在平面内的射影,一般来讲也可以 通过解直角三角形的办法得到,其角度范围是 ?0?,90?? ;二面角在求解的过程当中一般要先找到二面角的 平面角, 三种方法: ①作棱的垂面和两个半平面相交; ②过棱上任意一点分别于两个半平面内引棱的垂线; ③根据三垂线定理或逆定理. 另外还可以根据面积射影定理 S ? ? S ? cos ? 得到. 式中 S ? 表示射影多边形的 面积, S 表示原多边形的面积, ? 即为所求二面角. 例1 直线 OA 和平面 ? 斜交于一点 O , OB 是 OA 在 ? 内的射影, OC 是平面 ? 内过 O 点的任一直线,

设 ?AOC ? ? , ?AOB ? ? , ?BOC ? ? . ,求证: cos ? ? cos ? ? cos ? . A 分析:如图,设射线 OA 任意一点 A ,过 A 作

AB ? ? 于点 B ,又作 BC ? OC 于点 C ,连
接 AC .有: C ? 所以, cos ? ? cos ? ? cos ? . O

B

cos ? ?

OC OB OC , cos ? ? , cos ? ? ; OA OA OB

评注:①上述结论经常会结合以下课本例题一起使用.过平面内一个角的顶点作平面的一条斜线,如果斜 线和角的两边所成的角相等,那么这条斜线在平面内的射影一定会落在这个角的角平分线上.利用全等三 角形即可证明结论成立. ②从上述等式的三项可以看出 cos? 值最小,于是可得结论:平面的一条斜线和平面内经过斜足的 所有直线所成的角中,斜线与它的射影所成的角最小. 例、 (1997 年全国联赛一试)如图,正四面体 ABCD 中,E 在棱 AB 上, F 在棱 CD 上,使得: A

AE CF ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ? ,记 f ? ? ? ? ?? ? ?? , EB FD
B

E D G F C

其中 ? ? 表示 EF 与 AC 所成的角,其中 ? ? 表示 EF 与 BD 所成的角,则: (A) f (B) f ? ? ? 在 ? 0, ??? 单调减少; ?? ? 在 ?0, ??? 单调增加;

(C) f

(D) f ? ? ? 在 ? 0, ??? 为常数.` ?? ? 在 ? 0,1? 单调增加;在 ?1, ??? 单调减少;

分析:根据题意可首先找到与 ?? , ?? 对应的角.作 EG∥AC,交 BC 于 G,连 FG.显然 FG∥BD,∠GEF= ? ? ,∠GFE= ? ? .∵AC⊥BD,∴EG⊥FG ∴ ?? ? ?? ? 90?

例五、 ( 1994 年 全 国 联 赛 一 试 ) 已 知 一 个 平 面 与 一 个 正 方 体 的 12 条 棱 的 夹 角 都 等 于 ? , 则

s i n? ?

. D

C A

B

分析:正方体的 12 条棱可分为三组,一个平面与 12 条棱的夹角都 等于 ? 只需该平面与正方体的过同一个顶点的三条棱所成的角都等于

O

? 即可.如图所示的平面 A?BD 就是合乎要求的平面,于是:
sin ? ? 3 3
D?

C?
A?

B?

二、求体积 这类题常是求几何体的体积或要求解决与体积有关的问题 解决这类题的关键是 ,根据已知条件选择合适 的面作为底面并求出这个底面上的高 例十五、 (2003 年全国联赛一试)在四面体 ABCD 中,设 AB ? 1, CD ? 3 ,直线 AB 与 CD 的距离为 2, 夹角为

? ,则四面体 ABCD 的体积等于 3
3 ; 2

A

? A?

? B?

1 ; 2

?C ?

1 ; 3

? D?

3 3
B C

1 分析:根据锥体的体积公式我们知道: V= ? S ? h . 3
从题目所给条件看,已知长度的两条线段分别位于

E D

两条异面直线上,而已知距离是两条异面直线之间的距离而非点线距.显然需要进行转化. 作 BE∥CD,且 BE=CD,连接 DE、AE,显然,三棱锥 A—BCD 与三棱锥 A—BDE 底面积和高都相等,故它们有 相等的体积.于是有:

1 1 1 VA? BCD ? VA? BDE ? VD ? ABE ? S?BDE h ? AB ? BE ? sin ?ABE ? h ? 3 6 2
例十六、 (2002 年全国联赛一试)由曲线 x ? 4 y, x ? ?4 y, x ? 4, x ? ?4 围成的图形绕 y 轴旋转一周所得
2 2

旋转体的体积为 V1,满足

x 2 ? y 2 ? 16, x 2 ? ? y ? 2 ? ? 4, x 2 ? ? y ? 2 ? ? 4 的点 ? x, y ? 组成的图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体
2 2

积为 V2,则: (A)V1=

1 V2; 2

(B)V1=

2 V2; 3

(C)V1=V2;

(D)V1= 2 V2;

分析:我国古代数学家祖暅在对于两个几何体体积的比较方面作出了卓越的贡献,祖暅原理告诉我们: 对于两个底面积相同,高 相等的几何体,任做一个 平行于底面的截面,若每 一个截面的面积相等,则 这两个几何体的体积相等.运用祖 原理的思想我们可以将不规则的几何体的体积计算转化为规则几何体 的体积计算.如计算球的体积时我们可以将半球转化为圆柱与圆锥的组合体.显然,本题中的两个几何体 符合祖暅原理的条件,比较其截面面积如下: 取 y ? a ? ?4 ? a ? 4? ,则:

S1 ? 16? ? ? ? 2 ? a
当 a ? 0 时: S 2 ? ? ? 当 a ? 0 时: S 2

?

?

2

? 16? ? 4 a ?
2 2

? ? ? ??

? ? ? ? ? 4 ? ? a ? 2? ? ? 16? ? 4a? 16 ? a ? ? ? ? ? 4 ? ? a ? 2 ? ? ? 16? ? 4a?
16 ? a 2
2 2 2

显然, S1 ? S2 ,于是有: V1 ? V2 . 例十七、 (2000 年全国联赛一试)一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为 a ,则这个球 的体积是 .

分析:由正四面体的图象的对称性可知,内切球的球心必为正四面体的中心,球与各棱相切,其切点必为 各棱中点,考查三组对棱中点的连线交于一点,即为内切球的球心,所以每组对棱间的距离即为内切球的 直径,于是有: 2r ?

2 a 2
3

P

? 2 ? 4 2 3 ∴ V ? ?? ? ? a? ? ?a ? ? 3 4 24 ? ?
练习:同样可用体积法求出棱长为 a 的正四面体的外 接球和内切球的半径.分析可知,正四面体的内切球 与外接球球心相同,将球心与正四面体的个顶点相连, A

R

O

r
E B

C D

可将正四面体划分为四个全等的正三棱锥,于是可知内切球的半径即为正四面体高度的四分之一,外接球 半径即为高度的四分之三.故只要求出正四面体的高度即可.

? 3 ? 6 6 2 2 6 a, r ? a. 又: h ? a ? ? ,所以, R ? ? 3 a? ? ? 3a ? 3 a 4 12 ? ?
2

2

例十八、 (1999 年全国联赛一试) 已知三棱锥 S--ABC 的底面为正三角形, A 点在侧面 SBC 上的射影 H 是 ? SBC 的垂心,二面角 H-AB-C 的平面角等于 30 ? ,SA= 2 3 .那么,三棱锥 S-ABC 的体积为 分析:在求解立体几何问题时,往往需要首先明白所要 考查对象的图形特点.连接 BH 并延长交 SC 于 D,连 AD. ∵H 为 ? SBC 的垂心 ∴BD⊥SC, 且 HD⊥SC ,故 AD⊥SC ,SC⊥平面 ABC ∴SC⊥AB A E O B D H C S .

作 SO⊥平面 ABC 于 O,连接 CO 并延长交 AB 于 E,易知:CE⊥AB,连 DE. ∵AB=AC ∴HB=HC,即 A 在平面 SBC 内的射影 H 在线段 BC 的垂直平分线上,而点 H 是 ? SBC 的垂心,可知 ? SBC 为 SB=SC 的等腰三角形. ∴S 在平面 ABC 内的射影 O 在线段 BC 的垂直平分线上. 故射影 O 为 ? ABC 的中心,三棱锥 S—ABC 为正三棱锥.设底面边长为 2 a ,则 CE= 3a , ∵SA=SB=SC= 2 3 ∴SO=3,OC= 3 ? ∴ VS ? ABC

2 2 3a CE= 3 3 1 1 1 3 9 ? S?ABC h ? ? ? 3 ? ? 3 ? 3 ? 3 3 3 2 2 4

例十九、 (1998 年全国联赛一试)?ABC 中,?C ? 90?, ?B ? 30?, AC ? 2 ,M 是 AB 的中点. 将 ?ACM 沿 CM 折起,使 A、B 两点间的距离为 2 2 ,此时三棱锥 A—BCM 的体积等于 .

分析:关于折叠问题,弄清折叠前后线段之间的变与不变的关系往往是我们解决问题的关键, A A 问题中经常会涉 D M 及折叠图形形成 D M F 二面角,在折叠 F B C B C 前作一条直线与 E E 折叠线垂直相交,于交点的两侧各取一点形成一个角,于是在折叠过程中,此角始终能代表图形折叠所形 成的二面角的大小.此外,通过分析可知解决本例的另一个关键是需要得到棱锥的高,其实只要能找到二 面角,高也就能迎刃而解了. 如图,作 BD⊥CM 的延长线相交于 D,AF⊥CM 于 F,并延长到 E,使 EF=BD,连 BE. 显然,AF=EF=BD=

3 ,EB=DF=2,所以: AE2=AB2-EB2=8-4=4

三棱锥 A—BCM 的高即点 A 到平面 BCM 的距离也就是等腰 ? AEF 中点 A 到边 EF 的距离.根据面积相等可求 得:

h?

2 ? 3 ?1 2 6 . ? 3 3



1 1 2 6 2 2 V ? ? ? 2 3 ?1 ? ? 3 2 3 3

例二十、 (1995 年全国联赛一试)设 O 是正三棱锥 P—ABC 底面△ABC 的中心,过 O 的动平面与 P—ABC 的 三条侧棱或其延长线的交点分别记为 Q、R、S,则和式 (A)有最大值而无最小值;

1 1 1 ? ? PQ PR PS

(B)有最小值而无最大值;

(C)既有最大值又有最小值,且最大值与最小值不等; (D)是一个与平面 QRS 位置无关的常量. 分析:借助于分割思想,将三棱锥 P—QRS 划分成三个以 O 为顶点,以三个侧面为 底面的三棱锥 O—PQR,O—PRS,O—PSQ. 显然三个三棱锥的高相等,设为 h ,又设 P B R O C S Q A

?QPR ? ?RPS ? ?SPQ ? ? ,于是有:
VP ?QRS ? VO ? PQR ? VO ? PRS ? VO ? PSQ ? ? 1 ? S?PQR ? S?PRS ? S?PSQ ? ? h 3

1 ? PQ ? PR ? PR ? PS ? PS ? PQ ? ? sin ? ? h 6 1 又: VP ?QRS ? VQ ? PRS ? PQ ? PR ? PS ? sin ? ? sin ? ,其中 ? 为 PQ 与平面 PRS 所成的角. 6

?? PQ ? PR ? PR ? PS ? PS ? PQ? ? sin? ? h ? PQ ? PR ? PS ? sin? ? sin?
于是得:

sin ? 1 1 1 ? ? ? h PQ PR PS

例二十一、 (1993 年全国联赛一试)三棱锥 S—ABC 中,侧棱 SA、SB、SC 两两互相垂直,M 为三角形 ABC 的重心,D 为 AB 中点,作与 SC 平行的直线 DP. 证明: (1)DP 与 SM 相交; (2)设 DP 与 SM 的交点为 D ? ,则 D 为三棱锥 S—ABC 的外接球的球心. 分析:根据题中三棱锥的特点,可将三棱锥补形成为一个如图所示的长方体,因为 C、M、D 三点共线,显然,点 C、S、D、M 在同一平面内.于是有 DP 与 SM 相交. C G F H M

DD? DM 1 ? ? ,而点 D 为长 又因为: SC MC 2 方体的底面 SAEB 的中心,故必有点 D ? 为
对角线 SF 的中点,即为长方体的也是三棱

D?
B D

S

A

E

锥的外接球的球心. 例二十二、 (1992 年全国联赛一试)从正方体的棱和各个面的面对角线中选出 k 条,使得其中任意两条线 段所在的直线都是异面直线,则 k 的最大值是 分析:本题可以采用构造法求解.考查图中的 四条线段:A1D、AC、BC1、B1D1,显然其中任意 两条都是异面直线.另一方面,如果满足题目 要求的线段多于 4 条,若有 5 条线段满足要求, 因为 5 条线段中任意两条均为异面直线, D A1 . D1 B1 C1

C

A B 所以其中任意两条没有公共点,于是产生这些线段的端点几何体的顶点的个数必定大于或等于 10 个,这 与题中的正方体相矛盾.故: k ? 4 . 例二十三、 (1991 年全国联赛一试)设正三棱锥 P—ABC 的高为 PO,M 为 PO 的中点,过 AM 作与棱 BC 平行 的平面,将三棱锥截为上、下两个部分,试求此两部分的体积比. 分析:取 BC 的中点 D,连接 PD 交 AM 于 G,设 所作的平行于 BC 的平面交平面 PBC 于 EF,由 直线与平面平行的性质定理得:EF∥BC,连接 AE,AF,则平面 AEF 为合乎要求的截面. 作 OH∥PG,交 AG 于点 H,则:OH=PG. A O D B M H E P F G C

BC PD PG ? GD GD GD AD 5 ? ? ? 1? ? 1? ? 1? ? ; EF PG PG PG OH AO 2

VA? PEF 4 V S 4 ? EF ? 故: A? PEF ? ?PEF ? ? ? . ? ? ;于是: V 21 VA? PBC S?PBC ? BC ? 25 A? EFBC
三、求面积 这类题常设计为求几何体中某一特殊位置的截面面积 解决这类题的关键是 ,封断出截面的形状及截面和 已知中相关图形的关系

2

四、求距离 这类题常是以几何体为依托 ,求其中的某些点 、线 、面之间的距离 解决这类题的关键在于 ,根据已知条 件判断出或作出符合题意的线段 ,其长度就是符合题意的距离 4、 (1996 年全国联赛一试)已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起,恰得到一个所有二面角都 相等的六面体,并且该六面体的最短棱的长为 2,则最远的两顶点间的距离是________. 解:该六面体的棱只有两种,设原正三棱锥的底面边长为 2a,侧棱为 b.取 CD 中点 G,则 AG⊥CD,EG⊥CD,故∠AGE 是二面角 A—CD—E 的平面角.由 BD⊥AC, 作平面 BDF⊥棱 AC 交 AC 于 F,则∠BFD 为二面角 B—AC—D 的平面
B
b b

A
b

F
2a

D
a

C E

G

2a b2-a2 角. AG=EG= b2-a2,BF=DF= ,AE=2 b 2AG2-AE2 2BF2-BD2 得 = .∴ 2AG2 2BF2 最远的两个顶点距离为 3.

2 b2-( 3a)2=2 3

4 b2- a2. 由 cos∠AGE=cos∠BFD, 3

4 4(b2- 2a2) 3 4a2b2 4 ?9b2=16a2,?b= a,从而 b=2,2a=3.AE=2.即 2 2 = 2 2 3 b -a 4a (b -a2)

分析:设正三棱锥的底面边长为 a ,侧棱长为 b ,则:

P

a2 3 ? 2 a a2 a ? b2 ? b2 ? 4 4 b a 2 b2 ?
化简得:

b a2 2 即: ? b ? 2 3

F A D O B E C

a?

3b 2

所以, a ? 3, b ? 2 .于是可求得线段 PP? 的长: pp? ? 2 4 ? 3 ? 2 .于是有最远距离为底边长 3.

P?

五、求元素个数 这类题常以长方体或三棱锥等几何体为背景 ,通过计算符合题意的元素个数 ,来考查学生对计数问题 的理解程度 解决这类题的关键是计数时要有规律的数 ,作到不重复、不遗漏

8、如果空间三条直线a,b,c两两成异面直线,那么与a,b,c都相交的直线

P
有 (A) 0 条 (B) 1 条 (C)多于 1 的有限条 (D) 无穷多条 解: 在 a、 b、 c 上取三条线段 AB、 CC?、 A?D?, 作一个平行六面体 ABCD—A?B?C?D?, 在 c 上取线段 A?D?上一点 P,过 a、P 作 一个平面,与 DD?交于 Q、与 CC? 交于 R, 则 QR∥a, 于是 PR 不与 a 平行, 但 PR 与 a 共面. 故 PR 与 a 相交. 由 于可以取无穷多个点 P.故选 D.
Q D
a

c

D’ R C

C’ b

A‘ A B

B‘ S

9、给定平面上的 5 个点 A 、 B 、 C 、 D 、 E ,任意三点不共线. 由这些点连成 4 条线,每点至少是一条 线段的端点,不同的连结方式有 种. 解:图中, 4 种连结方式都满足题目要求.(图中仅表示点、线间连结形式,不考虑点的位置) .

(1)

(2)

(3)

(4)

情况(1) ,根据中心点的选择,有 5 种其连结方式;情况(2) ,可视为 5 个点 A 、 B 、 C 、 D 、 E 的排 列,但一种排列与其逆序排列是同一的,且两者是一一对应的,则有连结方式

5! ? 60 种;情况(3) ,首 2

2 先是分歧点的选择有 5 种,其次是分叉的两点的选择有 C4 ? 6 种,最后是余下并连两点的顺序有别,有 2!

种,共计 5 ? 6 ? 2 ? 60 种; 情况(4) ,选择 3 点构造三角形,有 C5 ? 10 种. 共有 5 ? 60 ? 60 ? 10 ? 135 种连结方式.
3

3. 设四棱锥 P ? ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面 ? 去截此四棱锥, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 (A) 不存在 ) (B)只有 1 个

?(

(C) 恰有 4 个

(D)有无数多个

例一、 (1991 年全国联赛一试)由一个正方体的三个顶点所能构成的正三角形的个数为 (A)4; (B)8; (C)12; (D)24.

分析:一个正方体一共有 8 个顶点,根据正方体的结构特征可知,构成正三角形的边必须是正方体的面对 角线.考虑正方体的 12 条面对角线,从中任取一条可与其他面对角线构成两个等边三角形,即每一条边
1 要在构成的等边三角形中出现两次,故所有边共出现 2C12 ? 24 次,而每一个三角形由三边构成,故一共

可构成的等边三角形个数为

24 ? 8 个. 3

例二、 (1995 年全国联赛一试)将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两个端点异色, 如果只有 5 种颜色可供使用,那么不同的染色方法的总数是 .

分析:就四棱锥 P—ABCD 而言,显然顶点 P 的颜色必定不同于 A、B、C、D 四点,于是分三种情况考虑:
3 ① 若使用三种颜色,底面对角线上的两点可同色,其染色种数为: A5 ? 60 (种) 1 4 ② 若使用四种颜色,底面有一对对角线同色,其染色种数为: C2 ? A5 ? 240 (种) 5 ③ 若使用五种颜色,则各顶点的颜色各不相同,其染色种数为: A5 ? 120 (种)

故不同染色方法种数是:420 种.

六、特殊四面体 1.四面体 由于四面体是三角形在空间中的推广,因此三角形的许多性质也可以推广到四面体: (1)连接四面体的棱中点的线段交于一点,且在这里平分这些线段; (2)连接四面体任一顶点与它对面 重心的线段交于一点,且这点将线段分成的比为 3:1,G 称为四面体的重心. (3)每个四面体都有外接球, 球心是各条棱的中垂面的交点. (4) 每个四面体都有内切球, 球心是四面体的各个二面角的平分面的交点. 例 10(1983 年全国)在六条棱长分别为 2、3、3、4、5、5 的所有四面体中,最大的体积是多少?证明你 的结论. 2.特殊四面体 (i)等腰四面体:三组对棱分别相等的四面体. 1 性质(1)等腰四面体各面积相等,且为全等的锐角三角形; (2)体积是伴随长方体的 . 3 (ii)直角四面体 从一个顶点出发的三条棱相互垂直的四面体. 性质(1)直角四面体中,不含直角的面是锐角三角形(称该面为底面) ; (2)任一侧面面积是它在底面投 影的面积和地面面积的比例中项,且侧面面积的平方和是底面面积的平方; (3)三个侧面与底面所成三个 二面角的余弦的平方和是 1. 3.正四面体 每个面都是全等的等边三角形的四面体.

性质(1)若正四面体的棱长为 a,则四面体的全面积 S= 3a2,体积 V= 连线长 d= 2 6 6 a; (3)正四面体外接球的半径 a,内切球的半径为 a. 2 4 12

2 3 a; (2)正四面体对棱中点的 12

七、 “ 多球” 问 题 在解决立体几何问题时, 常会遇到若干个球按照一定的法则“ 叠加” 的问题, 我们将 这类问题简称 为“ 多球” 问题. 对于“ 多球” 问 题, 我们往往可以从多球中提炼出球心所组成的立体图形, 将 问题简化, 然后通过解决这简化的问题, 获得原问题的待求结论,这是 解决“ 多球” 问题的一个常 用方法. 5、将八个半径都为 1 的球分放两层放置在一个圆柱内,并使得每个球都和其相邻的四个球相切,且与圆 柱的一个底面及侧面都相切,则此圆柱的高等于 . 解:如图,ABCD 是下层四个球的球心,EFGH 是上层的四个球心.每个球心 H 与其相切的球的球心距离=2. EFGH 在平面 ABCD 上的射影是一个正方形. 是 把正方形 ABCD 绕其中心旋转 45?而得.设 E 的射影为 N,则 MN= 2- 1.EM= 3,故 EN2=3-( 2-1)2=2 2.∴ EN= 4 8.所求圆柱的高=2+ 4 8.
N M A B E G F D C

1 6、底面半径为 1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为 cm 的实心铁球,四个球 2

两两相切,其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水,使水面恰好浸没所有铁球,则需要注水 cm3. 1 2 填( + )π. 3 2 解:设四个实心铁球的球心为 O1,O2,O3,O4,其中 O1,O2 为下层两球的球心,A,B,C,D 分别为四 个球心在底面的射影.则 ABCD 是一个边长为 4 1 1 2 × π( )3=( + )π. 3 2 3 2 例 1 在桌面上放着四个两两相切、 半 径均为 r 的球, 试确定其顶端离桌面的高度;并求夹在这四个球 所组成图形空隙中与四个 球均相切的小球的半径. 2 2 2 的正方形.所以注水高为 1+ .故应注水 π(1+ )-4 2 2 2

例 2 制作一个底圆直径为 4 c m 的圆 柱形容器, 要内装直径为 2 器至少要多高?( 上海市 1 9 8 6 年竞赛试题)

c m 的钢珠 2 6 只,那么这容

例 3 在正四面体内装入半径相同的球, 使相邻的球彼此相切, 且外层的球又和正四面体的面都相切, 如此装法, 当球的个数无穷大时, 求所装球的体积与正四面体体积之比的极限. ( 第八届希望杯高二数 学培训题)

八、体积法及其应用

体积法是处理立体几何问题 的重要方法. 在高中数学竞赛中, 利用体积法解题形式简洁、 构思容易, 内涵深刻,应用广泛,备受青睐. 几何体的体积包括基本几何体的体积计算、等积变换等方法 , 同时有以下常用方法和技巧: ( 1 ) 转移法:利用祖咂原理或等积变换,把所求几何体转化为与它等底 、等高的几何体的体积. ( 2 ) 分割求和法 :把所求几何体分割成基本几何体的体积. ( 3 ) 补形求差法 :通过补形化归为基本几何体的体积. ( 4 ) 四面体体积变换法. ( 5 ) 算两次法: 对同一几何体的体积, 从两种方法计算 ,建立出未知元素的等量关系, 从而使 问题 求解.利用这种方法求点到平面的距离 ,可以回避作出表示距离 的垂线段.另外 ,体积法中对 四面体 的体积变换涉及较多应用广泛.关于四面体的体积有如下常用性质: ( 1 ) 底面积相同的两个三棱锥体积之 比等于对应高之比; ( 2 ) 高相同的两个三棱锥的体积 比等于其底面积之比 ; ( 3 ) 用平行于底面的平 面去截三棱锥 ,截得的小三棱锥与原三棱锥的体积之比等于相似比的立方;

九、立体几何中的截面问题 截面问题涉及到截面形状的判定、截面面积和周长的计算、 截面图形的计数、 截面图形的性质及截面图 形的最值.本文介绍此类问题的求解方法. 1 判断截面图形的形状

2 截面面积和周长的计算

3 计算截面图形的个数

4 确定截面图形的性质

5 求截面图形的最值

九、综合问题 7、顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A 是底面圆周上的点,B 是底面圆内的点,O 为底面圆圆 心,AB⊥OB,垂足为 B,OH⊥PB,垂足为 H,且 PA=4,C 为 PA 的中点,则当三棱锥 O-HPC 的体积最 大时,OB 的长为 A. 5 3 2 5 B. 3 C. 6 3 2 6 D. 3

解:AB⊥OB,?PB⊥AB,?AB⊥面 POB,?面 PAB⊥面 POB.OH⊥PB,?OH⊥面 PAB,?OH⊥HC, OH⊥PC, 又, PC⊥OC, ?PC⊥面 OCH. ?PC 是三棱锥 P-OCH 的高. PC=OC=2. 而 P ?OCH 的面积在 OH=HC= 2时取得最大值(斜边=2 的直角三角形).当 OH= 2时, 2 6 由 PO=2 2,知∠OPB=30?,OB=POtan30?= . 3 1 PH PO2 解 2: 连线如图, 由 C 为 PA 中点, 故 VO-PBC= VB-AOP, 而 VO-PHC∶VO-PBC= = 2 2 PB PB 1 1 (PO2=PH· PB). 记 PO=OA=2 2=R, ∠AOB=?, 则 VP—AOB= R3sin?cos?= R3sin2?, 6 12
A C O H B

VB-PCO=

1 3 PO2 R2 1 2 sin2? 1 3 sin2? R sin2?. 2 = 2 2 2 = = .?VO-PHC= ? R .∴ 令 y= , 24 PB R +R cos ? 1+cos2? 3+cos2? 3+cos2? 12 3+cos2?

2cos2?(3+cos2?)-(-2sin2?)sin2? 1 3 2 6 y?= =0,得 cos2?=- ,?cos?= ,∴ OB= ,选 D. 3 3 3 (3+cos2?)2 例 19 把一个长方体切割成 k 个四面体,则 k 的最小值是 .

C 为二面角内一定点, 例 20 已知 ? ? l ? ? 是大小为 45 的二面角, 且到半平面 ? 和 ? 的距离分别为 2 和

6 , A , B 分别是半平面 ? , ? 内的动点,则 ? ABC 周长的最小值为_____.

例 21 如图所示,等腰 △ ABC 的底边 AB ? 6 6 ,高 CD ? 3 ,点 E 是线段 BD 上异于点 B,D 的动点, 点 F 在 BC 边上,且 EF ⊥ AB ,现沿 EF 将 △BEF 折起到 △PEF 的位置,使 PE ⊥ AE ,记 BE ? x , P V ( x) 表示四棱锥 P ? ACFE 的体积. (1)求 V ( x) 的表达式; (2)当 x 为何值时, V ( x) 取得最大值? (3)当 V ( x) 取得最大值时,求异面直线 D F E

AC 与 PF 所成角的余弦值.

A C

B

例六、设锐角 ? , ? , ? 满足: cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 1. 求证: tan ? ? tan ? ? tan ? ? 2 2 . 分析:构造长方体模型.构造如图所示的长方体 ABCD—A1B1C1D1,连接 AC1、A1C1、BC1、DC1. 过同一个顶点的三条棱 AD、AB、AA1 与对角线 AC1 所成的角为锐角 ? , ? , ? ,满足: D D1

C1

B1 A1

C A

B

cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 1
不妨设长方体过同一个顶点的三条棱 AD、AB、AA1 的长分别为 a, b, c .则:

b2 ? c 2 2bc c2 ? a2 2ac a 2 ? b2 2ab tan ? ? ? , tan ? ? ? , tan ? ? ? a a b b c c
以上三式相乘即可. 证明二:因为 ? , ? , ? 为锐角,故:

sin 2 ? ? 1 ? cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 2cos ? ? cos ? ,?sin ? ? 2cos ? ? cos ? ,
同理: sin ? ? 2cos? ? cos ? ,sin ? ? 2cos ? ? cos? ,三式相乘.

例 22 已知三棱锥 P ? ABC 的三条侧棱 PA 、PB 、PC 两两垂直,侧面 PAB 、PBC 、PCA 与底面 ABC 所成的二面角的平面角的大小分别为 ? 1 、 ? 2 、 ? 3 ,底面 ABC 的面积为 4 3 . (1)证明: tan?1 ? tan? 2 ? tan?3 ? 2 2 ; (2)若 tan?1 ? tan? 2 ? tan?3 ? 3 2 ,求该三棱锥的体积 VP ? ABC . 练 习 题

例七、 (1994 年全国联赛一试)在正 n 棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 (A) ?

?n?2 ? ? n ?1 ? ? ?? ? n ? 2 n ?1 ? ? , ? ? ; (B) ? ? , ? ? ; (C) ? 0, ? ; (D) ? ?, ? ?. n ? n ? ? n ? ? 2? ? n ?

分析:根据正 n 棱锥的结构特征,相邻两侧面所成的二面角应大于底面正 n 边形的内角,同时小于 ? ,于 是得到(A) . 例八、 ( 1992 年全国联赛一试)设四面体四个面的面积分别为 S1 、S2、 S3、 S4 ,它们的最大值为 S,记

??

S1 ? S 2 ? S3 ? S 4 ,则 ? 一定满足 S

(A) 2 ? ? ? 4 ; (B) 3 ? ? ? 4 ; (C) 2.5 ? ? ? 4.5 ; (D) 3.5 ? ? ? 5.5 . 分析:因为 所以

Si ? S

?i ? 1, 2,3, 4?

S1 ? S2 ? S3 ? S4 ? 4 .特别的,当四面体为正四面体时取等号. S

另一方面,构造一个侧面与底面所成角均为 45 ? 的三棱锥,设底面面积为 S4,则:

??

S1 ? S2 ? S3 ? S4 S1 ? S2 ? S3 ? ? S1 ? S2 ? S3 ? ? cos 45? ? ? 1 ? 2 ? 2.5 , S ? S1 ? S2 ? S3 ? ? cos 45?
若从极端情形加以考虑,当三棱锥的顶点落在底面上时,一方面不能构成三棱锥,另外此时有

. S1 ? S2 ? S3 ? S4,也就是 ? ? 2 ,于是必须 ? ? 2 .故选(A)


推荐相关:

数学竞赛之立体几何专题精讲(例题+练习)

数学竞赛之立体几何专题精讲(例题+练习)_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 数学竞赛之立体几何专题精讲(例题+练习)_学科竞赛_高中...


立体几何(文)习题精选精讲

立​体​几​何​(​文​)​习​题​精​选​精​讲习题精选精讲 例谈立体几何中的转化 立体几何中所蕴含的数学思想方法非常丰富,其中最重...


小升初数学竞赛练习题第十四讲立体几何综合

小升初数学竞赛练习题第十四讲立体几何综合_学科竞赛_小学教育_教育专区。1 第十四讲 立体几何综合【拓展 1】一个表面积为 56cm 的长方体如图切成 27 个小长...


高中数学竞赛专题练习——立体几何

数学竞赛之立体几何专题精... 暂无评价 38页 2财富值 高中立体几何 提高专题练习...高中数学竞赛专题练习——立体几何 隐藏>> 竞赛试题选讲之 立体几何 一、选择...


竞赛试题选编之立体几何

竞赛试题选编之立体几何_理学_高等教育_教育专区。竞赛试题选编之立体几何 一.选择题 (2005 年全国高中数学联赛 ) 空间四点 A 、 B 、 C 、 D 满足 | AB ...


2014全国数学竞赛预赛试题分类:立体几何

2014全国数学竞赛预赛试题分类:立体几何_学科竞赛_小学教育_教育专区。2014 数学...( ) 23 A. 36 13 B. 36 13 C. 23 12 D. 23 湖南 13. (本小题...


高中立体几何大量习题及答案1

高中立体几何大量习题及答案1_学科竞赛_高中教育_教育专区。立体几何 一、选择题...高中数学立体几何测试题... 4页 1下载券 高中立体几何习题2(含答... 5页...


高中数学竞赛专题讲座之六:立体几何

高中数学竞赛专题讲座之六:立体几何_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高考资源...来信请注明投稿,一经采纳,待遇从优 竞赛试题讲之六:立体几何一、选择题部分...


2000-2012全国高中数学联赛分类汇编 专题08 立体几何

2000-2012全国高中数学联赛分类汇编 专题08 立体几何_学科竞赛_高中教育_教育专区...每一讲按照选择题、填空题和解答题的顺序排序,每一个题目由原题、答案和解析...


2012年高中数学联赛试题分类立体几何

2012年高中数学联赛试题分类立体几何_数学_高中教育_教育专区。2012 年高中数学联赛试题分类立体几何 2012 浙江 6、如图,四棱锥 S ? ABCD 的底面是正方形, SD ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com