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2015高三期末各区分类解析:函数与导数(理)


函数与导数 一、选择题: 1.(东城区第 6 题)

理科

?log 1 x, x ? 0, 1 ? 3 已知函数 f ( x ) ? ? 若 f (a ) ? ,则实数 a 的取值范围是 2 x ? ? 2 , x ? 0,
(A) (?1,0) (C) (?1, 0) 答案:D

( 3, ??)

/>( 3 , ??) 3

(B) (?1, (D) ( ?1,

3)
3 ) 3

2.(海淀区第 7 题) 某堆雪在融化过程中,其体积 V (单位:m ) 与融化时间 t (单位: h )近似满足函数关系:
3

V

V (t ) ? H (10 ?

1 3 t ) ( H 为常数) , 其图象如 10

图所示. 记此堆雪从融化开始到结束的平均融 化速度为 v(m3 / h) . 那么瞬时融化速度等于

v(m3 / h) 的时刻是图中的(


O t1 t2 t3 t4 100 t

(A) t1 答案:C

(B) t 2

(C) t3

(D) t 4

3. (丰台区第 5 题)已知函数 y ? logb ( x ? a) (b>0 且 b≠1)的图象如图所示,那么函数 的图象可能是 y ? a? s i n b x
y
y O -1 -2 π 2π 3π x y 2 1 π 2π 3π

1

O
x

1

2

3

4

x

O

-1

(A)
y

(B)
y 2

3 2

1
1

O
O π 2π 3π x

π





x

(C) 答案:B

(D)

4.(石景山区第 2 题)下列函数中,在 (0, ? ?) 上单调递减的是( A. f ( x) ? ln x 答案:D B. f ( x) ? ( x ? 1)
2

) D. f ( x ) ?

C. f ( x) ? x

3

1 x ?1

5. (石景山区第 8 题)函数 f ( x ) 的定义域为 ? ?1,1? ,图象如图 1 所示;函数 g ( x ) 的定义域为

??2,2? ,图象如图 2 所示,方程 f ( g ( x)) ? 0 有 m 个实数根,方程 g ( f ( x)) ? 0 有 n 个
实数根,则 m ? n ? ( A.6 y 1 -1 O -1
图1

) C. 10 D. 12 y 1

B. 8

1

x

-2

-1

O -1
图2

1

2

x

答案:C 二、填空题 1.(朝阳区第 14 题)已知函数 f ( x) ?

sin πx ( x ? R ) .下列命题: π x ? π1? x

①函数 f ( x ) 既有最大值又有最小值; ②函数 f ( x ) 的图象是轴对称图形; ③函数 f ( x ) 在区间 [? π, π] 上共有 7 个零点; ④函数 f ( x ) 在区间 (0,1) 上单调递增. 其中真命题是 答案:①②③ 2. (东城区第 13 题) . (填写出所有真命题的序号)

已 知 函 数 f ( x) 是 R 上 的 奇 函 数 , 且 f ( x ? 2) 为 偶 函 数 . 若 f (1) ? 1 ,

f (8) ? f (9) ?
答案: 1 3.(昌平区第 14 题)



已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) ,有如下结论: ① ?x ? ? ?1,1? ,有 f (? x) ? f ( x) ;② ?x ? ? ?1,1? ,有 f (? x) ? ? f ( x) ; ③ ?x1 , x2 ? ? ?1,1? ,有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0; x1 ? x2
x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? . 2 2 .(写出所有正确结论的序号)

④ ?x1 , x2 ? ? 0,1? ,有 f ( 其中正确结论的序号是 答案:② ③ ④ 三、解答题 1.(朝阳区第 18 题) 设函数 f ( x) ? (Ⅰ)当 a ?

eax ,a?R . x2 ? 1

3 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; 5 1 (Ⅱ)设 g ( x) 为 f ( x ) 的导函数,当 x ? [ , 2e] 时,函数 f ( x ) 的图象总在 g ( x) 的图象的 e
上方,求 a 的取值范围.
3x

e 5 (3x 2 ? 10 x ? 3) 3 答案: (Ⅰ)解:当 a ? 时, f ?( x) ? . 5 5( x 2 ? 1)2
2 由 f ?( x) ? 0 得 3x ? 10 x ? 3 ? 0 ,解得 x ?

1 或 x ? 3; 3

由 f ?( x) ? 0 得 3x ? 10 x ? 3 ? 0 ,解得
2

1 ? x ? 3. 3

所以函数 f ( x ) 的单调增区间为 (??, ) , (3, ??) ,单调减区间为 ( ,3) . ……………..5 分

1 3

1 3

eax (ax 2 ? 2 x ? a) (Ⅱ)因为 g ( x) ? f ?( x) ? , ( x 2 ? 1)2
又因为函数 f ( x ) 的图象总在 g ( x) 的图象的上方, 所以 f ( x) ? g ( x) ,即

eax eax (ax2 ? 2 x ? a) 1 ? 在 x ? [ , 2e] 恒成立. 2 2 2 e x ?1 ( x ? 1)

又因为

eax ? 0 ,所以 a( x2 ? 1) ? 2 x ? ( x2 ? 1) ,所以 (a ?1)( x2 ? 1) ? 2x . 2 x ?1

又 x ? 1 ? 0 ,所以 a ? 1 ?
2

2x . x ?1
2

设 h( x ) ?

2x 1 ,则 a ? 1 ? h( x)min ( x ? [ , 2e]) 即可. x ?1 e
2

又 h?( x) ?

2(1 ? x2 ) 2(1 ? x 2 ) 1 1 ? .由 h ( x ) ? ? 0 ,注意到 x ? [ , 2e] ,解得 ? x ? 1 ; 2 2 2 2 e e ( x ? 1) ( x ? 1) 2(1 ? x 2 ) 1 ? 0 ,注意到 x ? [ , 2e] ,解得1 ? x ? 2e . 2 2 e ( x ? 1)
?1 ? ?e ?

由 h?( x) ?

所以 h( x) 在区间 ? ,1? 单调递增,在区间 ?1, 2e? 单调递减. 所以 h( x) 的最小值为 h ( ) 或 h(2e) .

1 e

2e 4e 4e 2e ? 2 , h(2e) ? 2 ,作差可知 2 , e ?1 4e ? 1 4e ? 1 e ? 1 4e 所以 a ? 1 ? 2 . 4e ? 1
因为 h( ) ?
2

1 e

所以 a 的取值范围是 (??, 2. (朝阳区第 20 题)

4e2 ? 4e+1 ). 4e2 ? 1

……………..13 分

已知函数 f ( x) ? ( x ? x1 )( x ? x2 )( x ? x3 ) , x1 , x2 , x3 ? R ,且 x1 ? x2 ? x3 . (Ⅰ)当 x1 ? 0 , x2 ? 1 , x3 ? 2 时,若方程 f ( x) ? mx 恰存在两个相等的实数根,求实数

m 的值;
(Ⅱ)求证:方程 f ?( x) ? 0 有两个不相等的实数根; (Ⅲ)若方程 f ?( x) ? 0 的两个实数根是 ? , ? 明理由. 答案: (Ⅰ)当 x1 ? 0 , x2 ? 1 , x3 ? 2 时, f ( x) ? x( x ? 1)( x ? 2) .
2 当 x( x ? 1)( x ? 2) ? mx 时,即 x x ? 3 x ? 2 ? m ? 0 .

?? ? ? ? ,试比较

x1 ? x2 与 ? , ? 的大小并说 2

?

?

依题意,若方程 f ( x) ? mx 恰存在两个相等的实数根,包括两种情况: (1)若 x ? 0 是一元二次方程 x2 ? 3x ? 2 ? m ? 0 的一个实数根,则 m ? 2 时,方程

x ? x 2 ? 3 x ? 2 ? m ? ? 0 可化为 x2 ( x ? 3) ? 0 ,恰存在两个相等的实数根 0
(另一根为 3 ). ( 2 ) 若 一 元 二 次 方 程 x 2 ? 3x ? 2 ? m ? 0 有 两 个 相 等 的 实 数 根 , 则 方 程

x2 ? 3x ? 2 ? m ? 0 的根的判别式 ? ? 9 ? 4(2 ? m) ? 0 ,解得 m ? ?
f ( x) ? mx 恰存在
两个相等的实数根 所以当 m ? ?

1 . 此时方程 4

3 (另一根为 0 ). 2

1 或 m ? 2 时,方程 f ( x) ? mx 恰存在两个相等的实数根. 4
………4 分

(Ⅱ)证明: 由 f ( x) ? ( x ? x1 )( x ? x2 )( x ? x3 ) , 可得, f ( x) ? x ? ? x1 ? x2 ? x3 ? x ? ? x1x2 ? x1x3 ? x2 x3 ? x ? x1x2 x3 ,
3 2

所以 f ?( x) ? 3x ? 2 ? x1 ? x2 ? x3 ? x ? x1x2 ? x1x3 ? x2 x3 ? 0 .
2

此一元二次方程的判别式 ? ? ( 4 x1 ? x2 ? x3 )2 ?12( x1x2 ? x1x3 ? x2 x3 ) ,
2 2 2 则 ? ? 2 ?? x1 ? x2 ? ? ? x2 ? x3 ? ? ? x3 ? x1 ? ? .

?

?

由 x1 ? x2 ? x3 可得, ? ? 0 恒成立.所以方程 f ?( x) ? 0 有两个不等的实数根. ………8 分 (Ⅲ) ? ?

x1 ? x2 ? ? .说明如下: 2
2

由 f ?( x) ? 3x ? 2 ? x1 ? x2 ? x3 ? x ? x1x2 ? x1x3 ? x2 x3 ? 0 ,得

3 ? x1 ? x2 ? x ?x f ?( 1 2 ) ? ? ( x1 ? x2 ? x3 ) ? x1 ? x2 ? + x1x2 ? x1x3 ? x2 x3 . 2 4
2

=x1 x2
即 f ?(

?x ? x ? ? 1 2
4

2

?x ? x ? ?? 1 2
4

2

? 0.

x1 ? x2 x ?x x ?x ) ? 3( 1 2 ? ? )( 1 2 ? ? ) ? 0 , 2 2 2

由 ? ? ? ,得 ? ?

x1 ? x2 ??. 2

………13 分

3. (东城区第 18 题) 已知函数 f ( x) ? ax ? (2a ? 1) ln x ?

2 2 , g ( x) ? ?2a ln x ? ,其中 a ? R . x x

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间;
2 (Ⅲ)若存在 x ? [ , e ] ,使得不等式 f ( x) ? g ( x) 成立,求 a 的取值范围.

1 e

答案:解:函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f '( x) ? (Ⅰ)当 a ? 2 时, f '(1) ? ?1 , f (1) ? 0 .

(ax ? 1)( x ? 2) .………………2 分 x2

所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? y ? 1 ? 0 .……5 分 (Ⅱ) f '( x) ?

(ax ? 1)( x ? 2) , x ? (0, ??) . x2 (ax ? 1)( x ? 2) 1 1 ? 0 ,得 x1 ? 2 , x2 ? ? 2 . 时,由 f '( x) ? 2 x 2 a
1 a 1 a

当0 ? a ?

所以在区间 (0, 2) 和 ( , ??) 上, f '( x) ? 0 ;在区间 (2, ) 上, f '( x) ? 0 . 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, 2) 和 ( , ??) ,单调递减区间是 (2, ) . 当a ?

1 a

1 a

( x ? 2) 2 1 时, f '( x) ? . 2 2x2
(ax ? 1)( x ? 2) 1 1 1 ? 0 ,得 x1 ? , x2 ? 2 ? . 时,由 f '( x) ? 2 x 2 a a
1 a 1 a

故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, ??) . 当a ?

所以在区间 (0, ) 和 (2, ??) 上, f '( x) ? 0 ;在区间 ( , 2) 上, f '( x) ? 0 . 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, ) 和 (2, ??) ,单调递减区间是 ( , 2) .…10 分
2 (Ⅲ)由题意存在 x ? [ , e ] ,使不等式 ax ? (2a ? 1) ln x ?

1 a

1 a

1 e

2 2 ? ?2a ln x ? 成立, x x

2 即存在 x ? [ , e ] ,使 a ?

1 e

ln x 成立, x

只需 a 大于或等于 令 h( x ) ?

ln x 1 2 在区间 [ , e ] 的最小值. x e

ln x 1 ? ln x , h '( x) ? . x x2

在区间 ( , e) 上, h '( x) ? 0 , h( x) 为增函数; 在区间 (e,e2 ) 上, h '( x) ? 0 , h( x) 为减函数.
2 所以 h( x) 在 [ , e ] 的最小值为 h ( ) 与 h(e 2 ) 中的较小者.

1 e

1 e

1 e

1 2 h( ) ? ?e , h(e 2 ) ? 2 , e e
2 所以 h( x) 在 [ , e ] 的最小值为 h( ) ? ?e .

1 e

1 e

所以 a ? ? e . 所以 a 的取值范围为 [?e, ??) . 4. (海淀区第 19 题) 已知函数 f ( x) ? a cos x ? x sin x , x ? [ ? …………14 分

π π , ]. 2 2

(Ⅰ)判断函数 f ( x ) 的奇偶性,并证明你的结论; (Ⅱ)求集合 A ? {x | f ( x) ? 0} 中元素的个数; (Ⅲ)当 1 ? a ? 2 时,问函数 f ( x ) 有多少个极值点?(只需写出结论) 答案: 解: (Ⅰ)函数 f ( x ) 是偶函数,证明如下: 对于 ?x ? [? ………………1 分 ………………2 分

π π π π , ] ,则 ? x ? [? , ] . 2 2 2 2

因为 f (? x) ? a cos(? x) ? x sin(? x) ? a cos x ? x sin x ? f ( x) , 所以 f ( x ) 是偶函数. (Ⅱ)当 a ? 0 时,因为 f ( x) ? a cos x ? x sin x ? 0 , x ? [ ? 所以 集合 A ? {x | f ( x) ? 0} 中元素的个数为 0. 当 a ? 0 时,令 f ( x) ? x sin x ? 0 ,由 x ? [ ? 得 x ? 0. ………………4 分

π π , ] 恒成立, 2 2
………………5 分

π π , ], 2 2

所以 集合 A ? {x | f ( x) ? 0} 中元素的个数为 1.

………………6 分

当 a ? 0 时,因为 f '( x) ? ?a sin x ? sin x ? x cos x ? (1 ? a) sin x ? x cos x ? 0, x ? (0, ) ,

π 2

π 2 π π 因为 f (0) ? a ? 0, f ( ) ? ? 0 , 2 2 π 所以 f ( x ) 在 (0, ) 上只有一个零点. 2
所以 函数 f ( x ) 是 [0, ] 上的增函数. 由 f ( x ) 是偶函数可知, 集合 A ? {x | f ( x) ? 0} 中元素的个数为 2.

………………8 分

………………10 分

综上所述,当 a ? 0 时,集合 A ? {x | f ( x) ? 0} 中元素的个数为 0 ;当 a ? 0 时,集合

A ? {x | f ( x) ? 0} 中元素的个数为 1;当 a ? 0 时,集合 A ? {x | f ( x) ? 0} 中元素的个数为
2. (Ⅲ) 函数 f ( x ) 有 3 个极值点. 5.(西城区第 18 题) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx(a ? 0) 和 g ( x) ? ln x 的图象有公共点 P,且在点 P 处的切线 相同. (Ⅰ)若点 P 的坐标为 ( , ?1) ,求 a, b 的值; (Ⅱ)已知 a ? b ,求切点 P 的坐标. 答案: (Ⅰ)解:由题意,得 f ( ) ? 且 f ?( x) ? 2ax ? b , g ?( x) ? ………………13 分

1 e

1 e

a b ? ? ?1 , e2 e

………………1 分 …………………3 分

1 , x

由已知,得 f ?( ) ? g ?( ) ,即 解得 a ? 2e ,b ? 3e .
2

1 e

1 e

2a ?b ? e, e
…………………5 分

(Ⅱ)解:若 a ? b ,则 f ?( x) ? 2ax ? a , g ?( x) ? 设切点坐标为 ( s, t ) ,其中 s ? 0 , 由题意,得 as 2 ? as ? ln s , ① ②

1 , x

2as ? a ?

1 , s

…………………6 分

1 1 ,其中 s ? , 2 s (2 s ? 1) s ?1 代入①,得 (*) ? ln s . 2s ? 1 1 ? 0 ,且 s ? 0 , 因为 a ? s(2s ? 1) 1 所以 s ? . 2 x ?1 1 设函数 F ( x ) ? ? ln x , x ? ( , ??) , 2x ?1 2 ?(4 x ? 1)( x ? 1) 则 F ?( x) ? . x(2 x ? 1) 2 1 令 F ?( x) ? 0 , 解得 x ? 1 或 x ? (舍). 4
由②,得 a ? 当 x 变化时, F ?( x) 与 F ( x) 的变化情况如下表所示,

…………………7 分

…………………8 分

…………………9 分 …………………10 分

x
F ?( x)
F ( x)

1 ( ,1) 2

1 0

(1, ??)

?


?
↘ …………………12 分

1 所以当 x ? 1 时, F ( x) 取到最大值 F (1) ? 0 ,且当 x ? ( ,1) (1, ??) 时 F ( x) ? 0 . 2
因此,当且仅当 x ? 1 时 F ( x) ? 0 . 所以方程(*)有且仅有一解 s ? 1 . 于是 t ? ln s ? 0 , 因此切点 P 的坐标为 (1, 0) . 6.(昌平区第 18 题) 已知函数 f (x) =ln x-a2x2+ax (a∈ R ).
( I ) 当 a=1 时,求函数 f (x)的单调区间; ( II ) 若函数 f (x)在区间 (1,+∞)上是减函数,求实数 a 的取值范围.
2 答案:解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? ln x ? x ? x ,定义域是 (0, ??) .

…………………13 分

f ' ( x) ?

1 ? 2x ?1, x

' ' 由 f ( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? 1 ;由 f ( x) ? 0 ,解得 x ? 1 ;

所以函数 f ( x ) 的单调递增区间是 ? 0,1? ,单调递减区间是 ?1, ?? ? . ………………5 分 (Ⅱ) (法一)

因为函数 f ( x ) 在区间 (1, ??) 上是减函数,所以 f ' ( x) ? 0 在 ?1, ?? ? 上恒成立, 则

f ' ( x) ?

1 ? 2a 2 x ? a ? 0 , 即 g ( x) ? 2a2 x2 ? ax ?1 ? 0 在 x
g(x ? ? ) ?

?1, ???
a?0

上 恒 成

立. …………………7 分 ① 当 立.

a?0





1,

所 0







…………………9 分

② 当 a ? 0 时, g ( x) ? 2a2 x2 ? ax ?1, ? ? 9a 2 ? 0 ,对称轴 x ?

a . 4a 2

1 ? a ? ? 或a ? 1 ? g (1) ? 0 2 ? ? g (1) ? 2a ? a ? 1 ? 0 ? ? ? 2 ,即 ? ,解得 ? ? a 2 ?1 ? ? a ? 4a ? a ? 0或a ? 1 ? ? 4a 2 ? ? 4
所以实数 a 的取值范围是 a ? ?

1 ,a ?1. 2

………………13 分

' (法二) f ( x) ?

?2a 2 x 2 ? ax ? 1 1 ? 2a 2 x ? a ? ,定义域是 (0, ??) . x x

①当 a ? 0 时, f ( x) ? ln x 在区间 (1, ??) 上是增函数,所以 a ? 0 不成立. ……………8 分 ② a ? 0 时,
2 2 ' 令 f ( x) ? 0 ,即 2a x ? ax ? 1 ? 0 ,则 x1 ? ?

1 1 , x2 ? , 2a a

………………9


' (i)当 a ? 0 时,由 f ( x) ? 0 ,解得 x ?

1 , a

所以函数 f ( x ) 的单调递减区间是 ?

?1 ? , ?? ? . ?a ?
1 ? 1 ,解得 a ? 1 . ………………11 分 a

因为函数 f ( x ) 在区间 (1, ??) 上是减函数,+所以 (ii)当 a ? 0 时,由 f ( x) ? 0 ,解得 x ? ?
'

1 , 2a

所以函数 f ( x ) 的单调递减区间是 ? ?

? 1 ? , ?? ? . ? 2a ?
1 1 ? 1 ,解得 a ? ? . 2a 2
…………………13 分

因为函数 f ( x ) 在区间 (1, ??) 上是减函数,所以 ? 综上实数 a 的取值范围是 a ? ? 或a ? 1 .

1 2

7. (丰台区第 18 题)已知函数 f ( x) ? x ? e? x ?1 . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的极小值; (Ⅱ)如果直线 y ? kx ? 1 与函数 f ( x ) 的图象无交点,求 k 的取值范围. 答案:解: (Ⅰ)函数的定义域为 R. 因为 f ( x) ? x ? e? x ?1 , 所以 f ?( x) ?

ex ?1 . ex

………………1 分

令 f ?( x) ? 0 ,则 x ? 0 .

x
f ?( x )

(??, 0)


0 0 极小值

(0, ??)
+ ↗ ………………5 分

f ( x)

所以 当 x ? 0 时函数有极小值 f ( x)极小值 =f (0) ? 0 .

………………6 分

1 . ex 1 当 x ? 0 时 f ( x) ? 0 ? 1 ? 0 ? 0 , y ? k ? 0 ? 1 ? ?1 , e
(Ⅱ)函数 f ( x) ? x ? 1 ? 所以要使 y ? kx ? 1 与 f ( x ) 无交点,等价于 f ( x) ? kx ? 1 恒成立.………………7 分

1 ? (kx ? 1) ,即 g ( x) ? (1 ? k ) x ? e? x , x e (1 ? k )e x ? 1 所以 g ?( x) ? . ex 1 ①当 k ? 1 时, g ( x ) ? x ? 0 ,满足 y ? kx ? 1 与 f ( x ) 无交点; ………………8 分 e 1 1 1 1 ) ? (1 ? k ) ? e1?k ? e1?k ? 1 , ②当 k ? 1 时, g ( k ?1 k ?1 1 1 ? 0 , e1? k ? 1 , 而 1? k 1 ) ? 0 ,此时不满足 y ? kx ? 1 与 f ( x) 无交点. 所以 g ( ………………10 分 k ?1
令 g ( x) ? x ? 1 ? ③当 k ? 1 时,令 g ?( x) ?

(1 ? k )e x ? 1 ? 0 , 则 x ? ? ln(1 ? k ) , ex

当 x ? (??, ? ln(1 ? k )) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (??, ? ln(1 ? k )) 上单调递减;

当 x ? (? ln(1 ? k ), ??) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (? ln(1 ? k ), ??) 上单调递增; 当 x ? ? ln(1 ? k ) 时, g ( x)min ? g (? ln(1 ? k )) ? (1 ? k )(1 ? ln(1 ? k )) . 由 (1 ? k )(1 ? ln(1 ? k )) ? 0 得 1 ? e ? k ? 1 , 即 y ? kx ? 1 与 f ( x ) 无交点. 综上所述 当 k ? (1 ? e,1] 时, y ? kx ? 1 与 f ( x ) 无交点. 8.(石景山区第 18 题) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? a x (a ? R且a ? 0) .
2 2

……………12 分 ……………13 分

(Ⅰ)若 x = 1 是函数 y = f ( x) 的极值点,求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间. 答案: (Ⅰ)函数 f ( x ) 的定义域为 (0,??) . ………………1 分

- 2a 2 x 2 + ax + 1 1 2 f '( x) = + a - 2a x = . x x

………………3 分

因为 x = 1 是函数 y = f ( x) 的极值点,所以 f '(1) = 1+ a - 2a2 = 0 .…………5 分

1 或 a = 1. 2 1 经检验, a = 或 a = 1 时, x = 1 是函数 y = f ( x) 的极值点. 2
解得 a = -

……………6 分

- 2a 2 x 2 + ax + 1 1 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知: f '( x) = + a - 2a x = . x x
由 a ? 0 ,令 f '( x) = 当 a > 0 时,

(2ax + 1)(- ax + 1) 1 1 = 0 ,解得 x1 = , x2 = .……9 分 x 2a a

f '( x), f ? x ? 的变化情况如下表
x
f '( x)

1 (0, ) a
+ ↗

1 a
0 极大值

1 ( , ??) a


f ( x)

∴函数 y ? f ( x) 的单调递增区间是 (0, ) ,单调递减区间是 ( , ??) ;…………11 分 当 a < 0 时,

1 a

1 a

f '( x), f ? x ? 的变化情况如下表

x
f '( x)

(0, ?
+

1 ) 2a

?

1 2a
0

(?

1 , ??) 2a


f ( x)



极大值

∴函数 y ? f ( x) 的单调递增区间是 (0, ?

1 1 ) ,单调递减区间是 (? , ??) .…13 分 2a 2a


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2015北京高三数学各区一模汇编:导数(全)

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2014-2015高三数学(理)导数与三角函数综合测试题答案_数学_高中教育_教育专区。8.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( x ? R, A ? 0, ? ? 0...

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