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高中数学选修1-2:3.1.1同步练习


高中数学人教 A 版选修 1-2 同步练习

1.复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)是纯虚数,则有( ) A.a≠0 B.a≠2 C.a≠-1 且 a≠2 D.a=-1 解析:选 D.需要 a2-a-2=0,且|a-1|-1≠0,即 a=-1. 2.设集合 C={复数},A={实数},B={纯虚数},若全集 S=C,则下列结论正确的是( )

A.B∪(?SB)=C B.?SA=B C.A∩(?SB)=? D.A∪B=C 解析:选 A.依据复数的分类可知 B∪(?SB)=C. 3.以 3i- 2的虚部为实部,以-3+ 2i 的实部为虚部的复数是__________. 解析:3i- 2的虚部为 3,-3+ 2i 的实部为-3. ∴以 3i- 2的虚部为实部,以-3+ 2i 的实部为虚部的复数是 3-3i. 答案:3-3i 4.下列四个命题: ①两个复数不能比较大小; ②若 x,y∈R,则 x+yi=1+i 的充要条件是 x=y=1; ③若实数 a 与 ai 对应,则实数集与纯虚数集一一对应; ④纯虚数集相对复数集的补集是虚数集. 其中真命题的个数是________. 解析:①中当这两个复数都是实数时,可以比较大小. ②由复数相等的充要条件知②是真命题. ③若 a=0,则 ai 不是纯虚数. ④由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知:所求补集应是非纯虚数集与实数集的并集. 答案:1 [A 级 基础达标] 1.复数 i-1 的虚部为( ) A.0 B.1 C.i D.-2 解析:选 B.i-1 的虚部为 1. 2.下列说法正确的是( ) A.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0,那么这两个复数相等 B.若 a,b∈R 且 a>b,则 ai>bi C.如果复数 x+yi 是实数,则 x=0,y=0 D.复数 a+bi 不是实数 解析:选 A.由两个复数相等的充要条件知这两个复数的实部与虚部分别相等,即它们的实 部差与虚部差都为 0. 3.若 sin 2θ -1+i( 2cos θ +1)是纯虚数,则 θ 的值为( ) π π A.2kπ - B.2kπ + 4 4 π kπ π C.2kπ ± D. + (以上 k∈Z) 4 2 4 ?sin 2θ -1=0, 解析:选 B.由? ? 2cos θ +1≠0,

1

,k∈Z, ?θ =kπ +π 4 解得? 3π 5π ?θ ≠2kπ + 4 且θ≠2kπ + 4 ,k∈Z . π ∴θ =2kπ + ,k∈Z.故选 B. 4 4.若 4=a+bi(i 为虚数单位,a,b∈R),则 a+b=________. 解析:∵a+bi=4,∴a=4,b=0,∴a+b=4. 答案:4 5.已知复数 z=k2-3k+(k2-5k+6)i(k∈Z),且 z<0,则 k=________. ?k2-3k<0 ?0<k<3 ? ? 解析:? 2 ?? ?k=2. ?k=2或k=3 ?k -5k+6=0 ? ? 答案:2 6.已知关于实数 x,y 的方程组 ? ① ?(2x-1)+i=y-(3-y)i ? 有实数解,求实数 a,b 的值. ?(2x+ay)-(4x-y+b)i=9-8i ② ? ? ?2x-1=y 解:根据复数相等的充要条件,得? , ?1=-(3-y) ? 5 ? ?x=2 解得? ③.把③代入②,

?y=4 ?

得 5+4a-(6+b)i=9-8i,且 a、b∈R, ? ? ?5+4a=9 ?a=1 ∴? ,解得? . ?6+b=8 ?b=2 ? ? [B 级 能力提升] 7.下列命题中,正确命题的个数是( ) ①若 x,y∈C,则 x+yi=1+i 的充要条件是 x=y=1; ②若 a,b∈R 且 a>b,则 a+i>b+i; ③ai 一定为纯虚数. A.0 B.1 C.2 D.3 解析:选 A.①由于 x,y∈C,∴x+yi 不一定是复数的代数形式,不符合复数相等的充要条 件,①是假命题.②由于两个虚数不能比较大小,∴②是假命题.③当 a∈R 且 a≠0 时, ai 才是纯虚数,∴③是假命题. 8.已知 M={1,2,m2-3m-1+(m2-5m-6)i},N={-1,3},M∩N={3},则实数 m 的 值为( ) A.-1 或 6 B.-1 或 4 C.-1 D.4 解析:选 C.由 M∩N={3}, 知 m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3, 2 ? ?m -3m-1=3, ∴? 2 解得 m=-1. ?m -5m-6=0, ? 9.已知 z1=-4a+1+(2a2+3a)i, z2=2a+(a2+a)i, 其中 a∈R, z1>z2, 则 a 的值为________. 解析:由 z1>z2, 3 a=0或a=- , 2 2 ?2a +3a=0,

? ? 2 a + a = 0 , 得? 即?a=0或a=-1, ? ?-4a+1>2a, ? 1 ?a<6.

?

2

解得 a=0. 答案:0 10.已知关于 t 的一元二次方程 t2+(2+i)t+2xy+(x-y)i=0(x,y∈R),若方程有实数根,求 x,y 满足的关系式. 解:设实数根为 a,代入方程得(a2+2a+2xy)+(a+x-y)i=0. 2 ? ?a +2a+2xy=0,① ? 由复数相等的充要条件,得 ?a+x-y=0,② ? 由②得 a=y-x,③ 把③代入①,得(y-x)2+2(y-x)+2xy=0, 整理,得(x-1)2+(y+1)2=2. 故所求的关系式为(x-1)2+(y+1)2=2. 11.(创新题)已知集合 M={(a+3)+(b2-1)i,8},集合 N={3i,(a2-1)+(b+2)i}同时满足 M∩N M,M∩N≠?,求整数 a、b. 解:依题意得(a+3)+(b2-1)i=3i,① 或 8=(a2-1)+(b+2)i,② 或(a+3)+(b2-1)i=(a2-1)+(b+2)i.③ 由①得 a=-3,b=±2, 经检验,a=-3,b=-2 不合题意,舍去. ∴a=-3,b=2. 由②得 a=± 3,b=-2. 又 a=-3,b=-2 不合题意. ∴a=3,b=-2. ③中,a,b 无整数解不符合题意. 综上所述得 a=-3,b=2 或 a=3,b=-2.

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