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2016届《创新设计》数学一轮(文科)人教A版配套作业 第2章 第8讲 函数与方程


第8讲

函数与方程

基础巩固题组
(建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.(2014· 青岛统一检测)函数 f(x)=2x+x3-2 在区间(0,2)内的零点个数是 ( A.0 C.2 解析 B.1 D.3 因为函数 y=2x,y=x3 在 R 上均为增函数,故函数 f(x)=2x+x3-2 在 R )

上为增函数,又 f(0)<0,f(2)>0,故函数 f(x)=2x+x3-2 在区间(0,2)内只有一 个零点,故选 B. 答案 B

1 2.(2015· 西安五校联考)函数 y=ln(x+1)与 y= x的图象交点的横坐标所在区间为 ( A.(0,1) C.(2,3) 解析 )

B.(1,2) D.(3,4)

1 函数 y=ln(x+1)与 y= x 的图象交点的横坐标,即为函数 f(x)=ln(x+1)

1 1 - x的零点,∵f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(1)=ln 2-1<0,f(2)=ln 3-2> 0,∴f(x)的零点所在区间为(1,2). 答案 B

3.(2015· 长沙模拟)若 a<b<c,则函数 f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x -a)的两个零点分别位于区间 A.(a,b)和(b,c)内 C.(b,c)和(c,+∞)内 解析 B.(-∞,a)和(a,b)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内 ( )

依题意,注意到 f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)· (b-a)<0,f(c)=(c

-b)(c-a)>0, 因此由零点的存在性定理知函数 f(x)的零点位于区间(a, b)和(b,
-1-

c)内,故选 A. 答案 A

4.(2014· 昆明三中、玉溪一中统考)若函数 f(x)=3ax+1-2a 在区间(-1,1)内存在 一个零点,则 a 的取值范围是 ?1 ? A.?5,+∞? ? ? 1? ? C.?-1,5? ? ? 解析 ?1 ? B.(-∞,-1)∪?5,+∞? ? ? D.(-∞,-1) ( )

当 a=0 时,f(x)=1 与 x 轴无交点,不合题意,所以 a≠0;函数 f(x)=

3ax+1-2a 在区间(-1,1)内是单调函数,所以 f(-1)· f(1)<0,即(5a-1)(a+1) 1 >0,解得 a<-1 或 a>5. 答案 B

5.已知函数 f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x- x-1 的零点分别为 x1,x2,x3, 则 x1,x2,x3 的大小关系是 A.x2<x1<x3 C.x1<x3<x2 解析 B.x1<x2<x3 D.x3<x2<x1 ( )

依据零点的意义,转化为函数 y=x 分别和 y=-2x,y=-ln x,y= x+

1 的交点的横坐标大小问题,作出草图,易得 x1<0<x2<1<x3. 答案 B

二、填空题 6.(2015· 淄博期末)函数 f(x)=x-ln(x+1)-1 的零点个数是________. 解析 函数 f(x)=x-ln(x+1)-1 的零点个数,即为函数 y=ln(x+1)与 y=x-1

图象的交点个数. 在同一坐标系内分别作出函数 y=ln(x+1)与 y=x-1 的图象,如图,

由图可知函数 f(x)=x-ln(x+1)-1 的零点个数是 2.

-2-

答案

2

7.函数 f(x)=3x-7+ln x 的零点位于区间(n,n+1)(n∈N)内,则 n=________. 解析 求函数 f(x)=3x-7+ln x 的零点,可以大致估算两个相邻自然数的函数

值,如 f(2)=-1+ln 2,由于 ln 2<ln e=1,所以 f(2)<0,f(3)=2+ln 3,由于 ln 3>1,所以 f(3)>0,所以函数 f(x)的零点位于区间(2,3)内,故 n=2. 答案 2

x ?2 -1,x>0, ? 8.已知函数 f(x)= 若函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点,则实数 2 ?-x -2x,x≤0,

m 的取值范围是________.

解析

x ?2 -1,x>0, 画出 f(x)=? 2 的图象,如图. ?-x -2x,x≤0

由函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点,结合图象得:0<m<1,即 m∈(0,1). 答案 (0,1)

三、解答题 9.若关于 x 的方程 22x+2xa+a+1=0 有实根,求实数 a 的取值范围. 解 法一 (换元法)

设 t=2x (t>0),则原方程可变为 t2+at+a+1=0,(*) 原方程有实根,即方程(*)有正根. 令 f(t)=t2+at+a+1. ①若方程(*)有两个正实根 t1,t2,

?Δ=a -4?a+1?≥0, 则?t1+t2=-a>0, ? t1 · t2=a+1>0,
+1<0,解得 a<-1;

2

解得-1<a≤2-2 2;

②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根,不合题意,舍去),则 f(0)=a

-3-

③当 a=-1 时,t=1,x=0 符合题意. 综上,a 的取值范围是(-∞,2-2 2]. 法二 (分离变量法)

22x+1 由方程,解得 a=- x ,设 t=2x (t>0), 2 +1 2 2 ? t2 +1 ? ? ? 则 a=- =-?t+t+1-1?=2-??t+1?+t+1?, t+1 ? ? ? ? 其中 t+1>1,由基本不等式,得(t+1)+ 等号,故 a≤2-2 2. 综上,a 的取值范围是(-∞,2-2 2]. 10.已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0 有两根,其中一根在区间(-1,0) 内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的范围. 解 由条件,抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别在区间(-1,0)和 2 ≥2 2,当且仅当 t= 2-1 时取 t+1

(1,2)内,如图所示,

?f?-1?=2>0, 得? f?1?=4m+2<0, ?f?2?=6m+5>0

f?0?=2m+1<0,

? ?m∈R, ?? 1 m<-2, ? 5 ?m>-6.

1 m<-2,

5 1 即-6<m<-2.

1? ? 5 故 m 的取值范围是?-6,-2?. ? ?

能力提升题组
(建议用时:25 分钟) 11.(2014· 合肥检测)若函数 f(x)=ax2-x-1 有且仅有一个零点,则实数 a 的取值
-4-

为 A.0 1 C.0 或-4 解析 1 B.-4 D.2

(

)

当 a=0 时,函数 f(x)=-x-1 为一次函数,则-1 是函数的零点,即函

数仅有一个零点; 当 a≠0 时,函数 f(x)=ax2-x-1 为二次函数,并且仅有一个零点,则一元二 1 次方程 ax2-x-1=0 有两个相等实根.∴Δ=1+4a=0,解得 a=-4. 1 综上,当 a=0 或 a=-4时,函数仅有一个零点. 答案 C

12.(2014· 洛阳统一考试)已知方程|x2-a|-x+2=0(a>0)有两个不等的实数根,则 实数 a 的取值范围是 A.(0,4) C.(0,2) 解析 B.(4,+∞) D.(2,+∞) ( )

依题意,知方程|x2-a|=x-2 有两个不等的实数根,即函数 y=|x2-a|

的图象与函数 y=x-2 的图象有两个不同交点.如图,则 a>2,即 a>4,选 B.

答案

B

13.(2014· 江苏卷)已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x∈[0,3)时,f(x) 1 =|x2-2x+2|.若函数 y=f(x)-a 在区间[-3,4]上有 10 个零点(互不相同),则实 数 a 的取值范围是________. 解析 函数 y=f(x)-a 在区间[-3,4]上有互不相同的 10 个零点, 即函数 y=f(x),

x∈[-3,4]与 y=a 的图象有 10 个不同交点,在坐标系中作出函数 f(x)在一个周

-5-

1 期内的图象如图,可知当 0<a<2时满足题意.

答案

1? ? ?0,2? ? ?

14.已知二次函数 f(x)的最小值为-4,且关于 x 的不等式 f(x)≤0 的解集为{x|- 1≤x≤3,x∈R}. (1)求函数 f(x)的解析式; f?x? (2)求函数 g(x)= x -4ln x 的零点个数. 解 (1)∵f(x)是二次函数,且关于 x 的不等式 f(x)≤0 的解集为{x|-1≤x≤3,x

∈R}, ∴f(x)=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a,且 a>0. ∴f(x)min=f(1)=-4a=-4,a=1. 故函数 f(x)的解析式为 f(x)=x2-2x-3. (2)∵g(x)= x2-2x-3 3 - 4ln x = x - x x-4ln x-2(x>0),

3 4 ?x-1??x-3? ∴g′(x)=1+x2-x = . x2 令 g′(x)=0,得 x1=1,x2=3. 当 x 变化时,g′(x),g(x)的取值变化情况如下: x g′(x) g(x) (0,1) + 1 0 极大值 (1,3) - 3 0 极小值 (3,+∞) +

当 0<x≤3 时,g(x)≤g(1)=-4<0. 又因为 g(x)在(3, +∞)单调递增, 因而 g(x)在(3, +∞)上只有 1 个零点. 故 g(x) 在(0,+∞)只有 1 个零点.

-6-


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