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甘肃省天水市一中2013届高三上学期第三次考试试题 数学文


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天水一中 2010 级 2012——2013 学年度第一学期第三次考试试题 数学(文科)
命题人:张硕光 审核人:王传刚
试卷说明:

本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 150 分.考试时间 120 分钟. 请将你所做各题答案写在试卷后面的答题

卡上. 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分.下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答 案的序号填涂在答题卡上) 1.已知集合 M ? ?y | y ? 2 x , x ? 0 ? , N ? ? x | y ? lg ( 2 x ? x 2 )? ,则 M ? N 为( (A) (1, 2 ) (B)
(1, ?? )



(C)

[ 2 , ?? )
3 5

(D)

[1, ?? )

2.已知 ? 是第三象限角,且 s in ( ? ? ? ) ? ? A.
4 5

, 则 t a n 2 ? 的值为( 24 7


24 9

B. ?

23 7

C.

D. ?

3.已知直线 a 和平面? ? , ? , ? ∩ ? =l,a ? ? ,a ? ? ,a 在 ? , ? 内的射影分别为直线 b 和 c ,则 b 和 c 的位置关系是( A.相交或平行 C.平行或异面 ) B.相交或异面 D.相交﹑平行或异面

4.若平面向量 a=(1,x)和 b=(2x+3,-x)互相平行,其中 x∈R, 则|a-b|=( ) A.2 5 B.2 或 2 5 C.-2 或 0 D.2 或 10 5.函数
y ? 2 ?x
x 2

的图象大致是(

)

6.已知等差数列 ? a n ? 的前项和为 S n ,且

S4 S2

? 4

,则

S6 S4

?





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A.

9 4

B.

3 2

C.

5 3

D.4
? x0 ?

7.已知 a 是函数

f ( x ) ? 2 x ? lo g 1 x
2

的零点, 0

a,则

f ( x 0 ) 的值满足(

)

A. f ( x 0 ) =0 8.曲线 y
? ? x ? 3x
3 2

B. f ( x 0 ) >0

C. f ( x 0 ) <0

D. f ( x 0 ) 的符号不确定 ) D.y=2x

在点(1,2)处的切线方程为( B.y=-3x+5 C.y=3x+5

A.y=3x-1

?x+y≤1, 9.已知不等式组?x-y≥-1, ?y≥0
1? ? A.?0,3? ? ? 1? ? B.?-∞,3? ? ?

表示的平面区域为 M,若直线 y=kx-3k 与平

面区域 M 有公共点,则 k 的取值范围是(

) 1? ? D.?-∞,-3? ? ?

? 1 ? C.?-3,0? ? ?

?(a ? 2) x( x ? 2) ? , a n ? f ( n ) ,若数列 { a n } 是单调递减数列,则实数 a 10.设函数 f ( x ) ? ? 1 x ( ) ? 1( x ? 2 ) ? ? 2

的取值范围为( A. ? ,2) (11 . 在 △

) B. ? , (13 8 ]

C. ? , (-

7 4



D. [

13 8

, 2)

ABC 中 , 角

A、B、C 的对边分别为

a、b、c,如果 )

cos(2 B ? C ) ? 2 sin A sin B ? 0 ,那么三边长 a、b、c 之间满足的关系是(

A. 2 ab ? c 2

B. a 2 ? b 2 ? c 2

C. 2bc ? a 2

D. b 2 ? c 2 ? a 2 )

12、 定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 4 ) ? ? f ( x ) , 且在区间 [ 0 , 2 ] 上是增函数, ( 则 (A) f ( 2 ) ? f ( 5 ) ? f ( 8 ) (C) f ( 5 ) ? f ( 2 ) ? f ( 8 ) (B) f ( 5 ) ? f ( 8 ) ? f ( 2 ) (D) f ( 8 ) ? f ( 2 ) ? f ( 5 )

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分共 20 分,将你所做答案写在答题卡相应的位置上) 13.如图,某几何体的正视图(主视图),侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形,等腰 三角形和菱形,则该几何体体积为_________

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14.在等比数列{ a n }中,a1=1,公比|q|≠1,若 a m ? a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 ,则 m=_________ 15.如图,四边形 ABCD 为菱形,四边形 CEFB 为正方形, 平面 ABCD⊥平面 CEFB,CE=1,∠AED=30° ,则异面直 线 BC 与 AE 所成角的大小_________ 16.设集合 A ? R ,如果 x 0 ? R 满足:对任意 a ? 0 ,都存在 x ? A ,使得 0 ? | x ? x 0 |? a , 那 么 称 x0 为 集 合 A 的 一 个 聚 点 , 则 在 下 列 集 合 中 : 1 ) z ? ? z ? ; 2 ) ( (
1 n ? ? ? ? ? ? , n ? N * ? ,以 0 为聚点的集合有 R ? R ;(3) ? x | x ? , n ? N * ? ;(4) ? x | x ? n n ?1 ? ? ? ?

(写出所有你认为正确的结论的序号) . 三、解答题(共 6 小题,共 70 分;请写出必要的过程和推演步骤) 17. (本小题 10 分)已知函数 f ( x ) ? | x ? a | ? | x ? 2 | (1) 当 a ? ? 3 时,求不等式 f ( x ) ? 3 的解集; (2) 若 f ( x ) ? | x ? 4 | 的解集包含 [1, 2] ,求 a 的取值范围。 18. (本小题 12 分)如图,甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方向 航行,乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于 A1 处时,乙船位于 甲船的北偏西 105°方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里.当甲船航 行 20 分钟到达 A2 处时, 乙船航行到甲船的北偏西 120°方向的 B2 处, 此时两船相距 10 2海里,问乙船每小时航行多少海里?

19. (本小题 12 分)已知数列 ?a n ? 的首项为 a 1 ? 1 ,其前 n 项 和为 s n ,且对任意正整数 n 有: n 、 a n 、 S n 成等差数列. (1)求证:数列 ?
Sn ? n ? 2

? 成等比数列;

(2)求数列 ?a n ? 的通项公式.
第- 3 -页 共 8 页

http://www.shijuan.cn 20. 本小题 12 分) ( 某旅游景点预计 2013 年 1 月份起前 位: 万人) x 的关系近似满足 p ( x ) ? 与
1 2

x 个月的旅游人数的和 p ( x )(单

x ( x ? 1 ) ? ( 39 ? 2 x ), ( x ? N *, 且 x ? 12 ). 已知第 x 月

? 35 ? 2 x , ( x ? N *, 且 1 ? x ? 6 ), ? 的人均消费额 q ( x ) (单位:元)与 x 的近似关系是 q ( x ) ? ? 160 , ( x ? N *, 且 7 ? x ? 12 ). ? ? x

(1)写出 2013 年第 x 月的旅游人数 f ( x ) (单位:万人)与 x 的函数关系式; (2)试问 2013 年哪个月的旅游消费总额最大,最大旅游消费额为多少万元? 21. (本小题 12 分)如图所示,三棱柱 A1B1C1—ABC 的三视图中,正(主)视图和侧(左) 视图是全等的矩形,俯视图是等腰直角三角形,点 M 是 A1B1 的中点.

(1)求证:B1C∥平面 AC1M; (2)求证:平面 AC1M⊥平面 AA1B1B.

22. (本小题 12 分)已知 f(x)= 4 x ? ax

2

?

2 3

x ( x ? R ) 在区间[-1,1]上是增函数.
3

(Ⅰ)求实数 a 的值组成的集合 A; (Ⅱ) 设关于 x 的方程 f(x)= 2 x ?
1 3 x 的两个非零实根为 x1、 2.试问: x 是否存在实数 m,
3

使得不等式 m2+tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立?若存在,求 m 的取值范 围;若不存在,请说明理由.

天水一中 2010 级 2012——2013 学年度第一学期第三次考试试题 数学参考答案(文科)


一、选择题(每小题 5 分,共 60 分. ) 1.A 2.C 3. D 4. B 5. A 6.A 7. C 8. A 9. C 10.B

I



11. B

12.B

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分共 20 分)

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http://www.shijuan.cn 13.2 3 14.m= 11. 15. 45 ? 16. (3) (2)

三、解答题(共 6 小题,共 70 分;请写出必要的过程和推演步骤) 17.答案: (1) x ? 1或 x ? 4 (2) ? 3 ? a ? 0 18.

【解】 如图所示,连结 A1B2. 20 由已知 A2B2=10 2,A1A2=30 2× =10 2, 60 ∴A1A2=A2B2.又∠A1A2B2=180°-120°=60°, ∴△A1A2B2 是等边三角形, ∴A1B2=A1A2=10 2. 由已知 A1B1=20,∠B1A1B2=105°-60°=45°. 在△A1B2B1 中,由余弦定理得 B1B2=A1B2+A1B2-2A1B1·A1B2·cos 45° 2 1 2 =202+(10 2)2-2×20×10 2× =200, ∴B1B2=10 2. 10 2 因此,乙船的速度为 ×60=30 2(海里/小时). 20 答:乙船每小时航行 30 2海里. 2 2

19.解:(1)证明:? n 、 a n 、 S n 成等差数列
? 2 a n ? n ? S n ( n ? 2 ),又 a n ? S n ? S n ?1 ( n ? 2 ) ? 2 ( S n ? S n ?1 ) ? n ? S n 即 S n ? 2 S n ?1 ? n ? S n ? n ? 2 ? 2 S n ?1 ? 2 n ? 2 ? S n ? n ? 2 ? [ S n ?1 ? ( n ? 1) ? 2] 2 ? ?S n ? n ? 2 ?成等比数列



Sn ? n ? 2 S n ?1 ? ( n ? 1) ? 2

? 2

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(2)由(1)知 ?S n

? n ? 2 ? 是以 S 1 ? 3 ? a 1 ? 3 ? 4
n ?1

为首项,2 为公比的等比数列
n ?1

? Sn ? n ? 2 ? 4 ?2 ? an ? 2 ? 1
n

? 2

n ?1



又 2a n

? n ? S n ,? 2 a n ? 2 ? 2

20.解: (1)当 x ? 1 时, f (1) ? p (1) ? 37 ,当 2 ? x ? 12 ,且 x ? N * 时,
f ( x ) ? p ( x ) ? p ( x ? 1) ? ? 3 x ? 40 x .
2

而当 x ? 1 也符合 f ( x ) ? ? 3 x 2 ? 40 x . 所以 f ( x ) ? ? 3 x 2 ? 40 x . ( x ? N *, 且 1 ? x ? 12 ). (2) 第 x 月旅游消费总额为:
? ( ? 3 x ? 40 x )( 35 ? 2 x ), ( x ? N *, 1 ? x ? 6 ), ? g (x) ? ? 160 2 , ( x ? N *, 7 ? x ? 12 ), ? ( ? 3 x ? 40 x ) x ?
2

即 g (x) ? ?

? 6 x ? 185 x ? 1400 x , ( x ? N *, 1 ? x ? 6 ),
3 2

? ? 480 x ? 640 , ( x ? N *, 7 ? x ? 12 ).

当 1 ? x ? 6 , x ? N *, g ' ( x ) ? 18 x 2 ? 37 x ? 1400 , 令 g ' ( x ) ? 0, 得 x ? 5, 或 x ?
140 9 ( 舍)

当 1 ? x ? 5 时, g ' ( x ) ? 0 ; 当 5 ? x ? 6 时 g ' ( x ) ? 0 . 所以 g ( x ) max ? g ( 5 ) ? 3125 (万元) 当 7 ? x ? 12 , x ? N * 时, g ( x ) ? ? 480 x ? 6400 是减函数。 当 x ? 7 时, g ( x ) max ? g ( 7 ) ? 3040 (万元) 。 综上,2013 年第 5 月份的旅游消费总额最大,最大消费总额为 3125 万元。 21.

【证明】 (1)由三视图可知三棱柱 A1B1C1—ABC 为直三棱柱, 底面是等腰直角三角形, 且∠ACB=90°. 连结 A1C,设 A1C∩AC1=O,连结 MO, 由题意可知,A1O=CO,A1M=B1M,
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http://www.shijuan.cn ∴MO∥B1C, 又 MO?平面 AC1M, B1C?平面 AC1M,∴B1C∥平面 AC1M. (2)∵A1C1=B1C1,M 为 A1B1 的中点, ∴C1M⊥A1B1, 又平面 A1B1C1⊥平面 AA1B1B, 平面 A1B1C1∩平面 AA1B1B=A1B1, ∴C1M⊥平面 AA1B1B, 22.解: (Ⅰ)f'(x)=4+2 ax ? 2 x 2 , ∴f'(x)≥0 对 x∈[-1,1]恒成立, 即 x2-ax-2≤0 对 x∈[-1,1]恒成立. 设 ? (x)=x2-ax-2, 方法一:
? (1)=1-a-2≤0,

∵f(x)在[-1,1]上是增函数,





?

? -1≤a≤1,

? (-1)=1+a-2≤0.

∵对 x∈[-1,1],只有当 a=1 时,f'(-1)=0 以及当 a=-1 时,f'(1)=0 ∴A={a|-1≤a≤1}. 方法二:
a 2

≥0, 或

a 2

<0,

①?
? (-1)=1+a-2≤0
? ?

? (1)=1-a-2≤0

0≤a≤1 -1≤a≤1.



-1≤a<0

∵对 x∈[-1,1],只有当 a=1 时,f'(-1)=0 以及当 a=-1 时,f'(1)=0 ∴A={a|-1≤a≤1}. (Ⅱ)由 4 x ? ax ∵△=a2+8>0 ∴x1,x2 是方程 x2-ax-2=0 的两非零实根, x1+x2=a, ∴ x1x2=-2,
2

?

2 3

x

3

? 2x ?

1 3

x , 得 x ? 0, 或 x
3

2

? ax ? 2 ? 0 ,

第- 7 -页 共 8 页

http://www.shijuan.cn 从而|x1-x2|= ( x 1 ? x 2 ) 2 ? 4 x 1 x 2 = a 2 ? 8 . ∵-1≤a≤1,∴|x1-x2|= a 2 ? 8 ≤3. 要使不等式 m2+tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立, 当且仅当 m2+tm+1≥3 对任意 t∈[-1,1]恒成立, 即 m2+tm-2≥0 对任意 t∈[-1,1]恒成立. 设 g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2), 方法一: g(-1)=m2-m-2≥0, ②
?



g(1)=m2+m-2≥0,
? m≥2 或 m≤-2.

所以,存在实数 m,使不等式 m2+tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立,其 取值范围是{m|m≥2,或 m≤-2}. 方法二: 当 m=0 时,②显然不成立; 当 m≠0 时, m>0, ②? g(-1)=m2-m-2≥0
?

m<0, 或 g(1)=m2+m-2≥0

m≥2 或 m≤-2.

所以,存在实数 m,使不等式 m2+tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立,其 取值范围是{m|m≥2,或 m≤-2}.

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