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甘肃省天水市一中2013届高三上学期第三次考试试题 数学文


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天水一中 2010 级 2012——2013 学年度第一学期第三次考试试题 数学(文科)
命题人:张硕光 审核人:王传刚
试卷说明:

本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 150 分.考试时间 120 分钟. 请将你所做各题答案写在试卷后面的答题卡上. 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分.下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答 案的序号填涂在答题卡上)
2 1.已知集合 M ? y | y ? 2 x , x ? 0 , N ? x | y ? lg(2 x ? x ) ,则 M ? N 为(

?

?

?

?



(A) (1, 2)

(B)

(1,??)

(C)

[2,??)
3 5

(D)

[1,??)


2.已知 ? 是第三象限角,且 sin(? ? ? ) ? ? ,则tan2? 的值为( A.

4 5

B. ?

23 7

C.

24 7

D. ?

24 9

3.已知直线 a 和平面? ? , ? , ? ∩ ? =l,a ? ? ,a ? ? ,a 在 ? , ? 内的射影分别为直线 b 和 c ,则 b 和 c 的位置关系是( A.相交或平行 C.平行或异面 ) B.相交或异面 D.相交﹑平行或异面

4.若平面向量 a=(1,x)和 b=(2x+3,-x)互相平行,其中 x∈R, 则|a-b|=( ) A.2 5 B.2 或 2 5 C.-2 或 0 D.2 或 10 5.函数

y ? 2x ? x2

的图象大致是(

)

6.已知等差数列 ?an ? 的前项和为 Sn ,且

S S4 ? 4 ,则 6 ? ( S2 S4



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A.

9 4

B.

3 2

C.

5 3

D.4 )

7.已知 a 是函数 f ( x) ? 2 x ? log 1 x 的零点, 0 ? x0 ? a,则 f ( x0 ) 的值满足(
2

A. f ( x0 ) =0

B. f ( x0 ) >0

C. f ( x0 ) <0

D. f ( x0 ) 的符号不确定 ) D.y=2x

3 2 8.曲线 y ? ? x ? 3x 在点(1,2)处的切线方程为(

A.y=3x-1

B.y=-3x+5

C.y=3x+5

?x+y≤1, 9.已知不等式组?x-y≥-1, ?y≥0
1? ? A.?0,3? ? ? 1? ? B.?-∞,3? ? ?

表示的平面区域为 M,若直线 y=kx-3k 与平

面区域 M 有公共点,则 k 的取值范围是(

) 1? ? D.?-∞,-3? ? ?

? 1 ? C.?-3,0? ? ?

?(a ? 2) x( x ? 2) ? , an ? f (n) ,若数列 {an } 是单调递减数列,则实数 a 10.设函数 f ( x) ? ? 1 x ( ) ? 1( x ? 2) ? ? 2
的取值范围为( A. (- ? ,2) 11 . 在 △ ) B. (- ? ,

13 ] 8

C. (- ? ,

7 ) 4

D. [

13 , 2) 8

ABC 中 , 角

A、B、C 的对边分别为

a、b、c,如果

cos(2B ? C ) ? 2sin A sin B ? 0 ,那么三边长 a、b、c 之间满足的关系是( )
A. 2ab ? c2 B. a 2 ? b 2 ? c 2 C. 2bc ? a 2 D. b2 ? c 2 ? a 2 )

12、 定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) , 且在区间 [0,2] 上是增函数, 则 ( (A) f (2) ? f (5) ? f (8) (C) f (5) ? f (2) ? f (8) (B) f (5) ? f (8) ? f (2) (D) f (8) ? f (2) ? f (5)

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分共 20 分,将你所做答案写在答题卡相应的位置上) 13.如图,某几何体的正视图(主视图),侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形,等腰 三角形和菱形,则该几何体体积为_________

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14.在等比数列{ an }中,a1=1,公比|q|≠1,若 am ? a1a2 a3 a4 a5 ,则 m=_________ 15.如图,四边形 ABCD 为菱形,四边形 CEFB 为正方形, 平面 ABCD⊥平面 CEFB,CE=1,∠AED=30° ,则异面直 线 BC 与 AE 所成角的大小_________ 16.设集合 A ? R ,如果 x0 ? R 满足:对任意 a ? 0 ,都存在 x ? A ,使得 0 ?| x ? x0 |? a ,
? ? 那 么 称 x0 为 集 合 A 的 一 个 聚 点 , 则 在 下 列 集 合 中 : ( 1 ) z ?z ; (2)

1 n ? ? ? ? R ? ? R ? ;(3) ? x | x ? , n ? N *? ;(4) ? x | x ? , n ? N *? ,以 0 为聚点的集合有 n n ?1 ? ? ? ?
(写出所有你认为正确的结论的序号) . 三、解答题(共 6 小题,共 70 分;请写出必要的过程和推演步骤) 17. (本小题 10 分)已知函数 f ( x) ?| x ? a | ? | x ? 2 | (1) 当 a ? ?3 时,求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (2) 若 f ( x) ?| x ? 4 | 的解集包含 [1, 2] ,求 a 的取值范围。 18. (本小题 12 分)如图,甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方向 航行,乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于 A1 处时,乙船位于 甲船的北偏西 105°方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里.当甲船航 行 20 分钟到达 A2 处时, 乙船航行到甲船的北偏西 120°方向的 B2 处, 此时两船相距 10 2海里,问乙船每小时航行多少海里?

19. (本小题 12 分)已知数列 ?an ? 的首项为 a 1 ? 1 ,其前 n 项 和为 sn ,且对任意正整数 n 有: n 、 an 、 S n 成等差数列. (1)求证:数列 ? S n ? n ? 2 ?成等比数列; (2)求数列 ?an ? 的通项公式.
第- 3 -页 共 8 页

http://www.shijuan.cn 20. (本小题 12 分) 某旅游景点预计 2013 年 1 月份起前 位: 万人) 与 x 的关系近似满足 p( x) ? (单 x 个月的旅游人数的和 p( x)

1 x( x ? 1) ? (39 ? 2 x), ( x ? N *, 且x ? 12). 已知第 x 月 2

?35 ? 2 x, ( x ? N *,且1 ? x ? 6), ? 的人均消费额 q( x) (单位:元)与 x 的近似关系是 q( x) ? ?160 , ( x ? N *,且7 ? x ? 12). ? ? x
(1)写出 2013 年第 x 月的旅游人数 f ( x) (单位:万人)与 x 的函数关系式; (2)试问 2013 年哪个月的旅游消费总额最大,最大旅游消费额为多少万元? 21. (本小题 12 分)如图所示,三棱柱 A1B1C1—ABC 的三视图中,正(主)视图和侧(左) 视图是全等的矩形,俯视图是等腰直角三角形,点 M 是 A1B1 的中点. (1)求证:B1C∥平面 AC1M; (2)求证:平面 AC1M⊥平面 AA1B1B.

22. (本小题 12 分)已知 f(x)= 4 x ? ax ?
2

2 3 x ( x ? R ) 在区间[-1,1]上是增函数. 3

(Ⅰ)求实数 a 的值组成的集合 A; (Ⅱ) 设关于 x 的方程 f(x)= 2 x ?

1 3 x 的两个非零实根为 x1、x2.试问: 是否存在实数 m, 3

使得不等式 m2+tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立?若存在,求 m 的取值范 围;若不存在,请说明理由.

天水一中 2010 级 2012——2013 学年度第一学期第三次考试试题 数学参考答案(文科)


一、选择题(每小题 5 分,共 60 分. ) 1.A 2.C 3. D 4. B 5. A 6.A 7. C 8. A 9. C 10.B

I



11. B

12.B

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分共 20 分)

第- 4 -页 共 8 页

http://www.shijuan.cn 13.2 3 14.m= 11. 15. 45
?

16. (2) (3)

三、解答题(共 6 小题,共 70 分;请写出必要的过程和推演步骤) 17.答案: (1) x ? 1或x ? 4 (2) ?3 ? a ? 0 18.

【解】 如图所示,连结 A1B2. 20 由已知 A2B2=10 2,A1A2=30 2× =10 2, 60 ∴A1A2=A2B2.又∠A1A2B2=180°-120°=60°, ∴△A1A2B2 是等边三角形, ∴A1B2=A1A2=10 2. 由已知 A1B1=20,∠B1A1B2=105°-60°=45°. 在△A1B2B1 中,由余弦定理得 2 2 B1B2 2=A1B1+A1B2-2A1B1·A1B2·cos 45° =202+(10 2)2-2×20×10 2× =200, ∴B1B2=10 2. 10 2 因此,乙船的速度为 ×60=30 2(海里/小时). 20 答:乙船每小时航行 30 2海里. 2 2

19.解:(1)证明:? n、an、S n 成等差数列

? 2an ? n ? S n (n ? 2),又an ? S n ? S n?1 (n ? 2) ? 2(S n ? S n?1 ) ? n ? S n即S n ? 2S n?1 ? n ? S n ? n ? 2 ? 2S n?1 ? 2n ? 2


? Sn ? n ? 2 ? [ 2 S n?1 ? (n ? 1) ? 2] ??S n ? n ? 2?成等比数列

Sn ? n ? 2 ?2 S n?1 ? (n ? 1) ? 2

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(2)由(1)知 ?S n ? n ? 2? 是以 S1 ? 3 ? a1 ? 3 ? 4 为首项,2 为公比的等比数列

? S n ? n ? 2 ? 4 ? 2 n?1 ? 2n?1 , ? an ? 2 n ? 1

又 2an ? n ? S n ,? 2an ? 2 ? 2n?1

20.解: (1)当 x ? 1 时, f (1) ? p(1) ? 37 ,当 2 ? x ? 12 ,且 x ? N * 时,

f ( x) ? p( x) ? p( x ?1) ? ?3x 2 ? 40x.
而当 x ? 1 也符合 f ( x) ? ?3x 2 ? 40x. 所以 f ( x) ? ?3x 2 ? 40x. ( x ? N*,且1 ? x ? 12). (2) 第 x 月旅游消费总额为:

?(?3x 2 ? 40x)(35 ? 2 x), ( x ? N *,1 ? x ? 6), ? g ( x) ? ? 160 2 , ( x ? N *,7 ? x ? 12), ?(?3x ? 40x) x ?
即 g ( x) ? ?

?6 x 3 ? 185x 2 ? 1400x, ( x ? N *,1 ? x ? 6), ?? 480x ? 640, ( x ? N *,7 ? x ? 12).

' 2 当 1 ? x ? 6, x ? N *, g ( x) ? 18x ? 37x ? 1400 ,

令 g ' ( x) ? 0, 得 x ? 5, 或x ?

140 (舍) 9

' ' 当 1 ? x ? 5 时, g ( x) ? 0; 当 5 ? x ? 6 时 g ( x) ? 0.

所以 g ( x) max ? g (5) ? 3125(万元) 当 7 ? x ? 12, x ? N * 时, g ( x) ? ?480x ? 6400是减函数。 当 x ? 7 时, g ( x) max ? g (7) ? 3040(万元) 。 综上,2013 年第 5 月份的旅游消费总额最大,最大消费总额为 3125 万元。 21.

【证明】 (1)由三视图可知三棱柱 A1B1C1—ABC 为直三棱柱, 底面是等腰直角三角形, 且∠ACB=90°. 连结 A1C,设 A1C∩AC1=O,连结 MO, 由题意可知,A1O=CO,A1M=B1M,
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http://www.shijuan.cn ∴MO∥B1C, 又 MO?平面 AC1M, B1C?平面 AC1M,∴B1C∥平面 AC1M. (2)∵A1C1=B1C1,M 为 A1B1 的中点, ∴C1M⊥A1B1, 又平面 A1B1C1⊥平面 AA1B1B, 平面 A1B1C1∩平面 AA1B1B=A1B1, ∴C1M⊥平面 AA1B1B, 22.解: (Ⅰ)f'(x)=4+2 ax ? 2 x 2 , ∴f'(x)≥0 对 x∈[-1,1]恒成立, 即 x2-ax-2≤0 对 x∈[-1,1]恒成立. 设 ? (x)=x2-ax-2, 方法一: ① ∵f(x)在[-1,1]上是增函数,

? (1)=1-a-2≤0,


?
? (-1)=1+a-2≤0.

? -1≤a≤1,

∵对 x∈[-1,1],只有当 a=1 时,f'(-1)=0 以及当 a=-1 时,f'(1)=0 ∴A={a|-1≤a≤1}. 方法二:

a ≥0, 2
①? 或

a <0, 2

? (-1)=1+a-2≤0

? (1)=1-a-2≤0
或 -1≤a<0

? ?

0≤a≤1 -1≤a≤1.

∵对 x∈[-1,1],只有当 a=1 时,f'(-1)=0 以及当 a=-1 时,f'(1)=0 ∴A={a|-1≤a≤1}. (Ⅱ)由 4 x ? ax ?
2

2 3 1 x ? 2 x ? x 3 , 得x ? 0, 或x 2 ? ax ? 2 ? 0, 3 3

∵△=a2+8>0 ∴x1,x2 是方程 x2-ax-2=0 的两非零实根, x1+x2=a, ∴ x1x2=-2,

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2 从而|x1-x2|= ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 = a 2 ? 8 .

∵-1≤a≤1,∴|x1-x2|= a 2 ? 8 ≤3. 要使不等式 m2+tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立, 当且仅当 m2+tm+1≥3 对任意 t∈[-1,1]恒成立, 即 m2+tm-2≥0 对任意 t∈[-1,1]恒成立. 设 g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2), 方法一: g(-1)=m2-m-2≥0, ② ②

?
g(1)=m2+m-2≥0,

? m≥2 或 m≤-2.
所以,存在实数 m,使不等式 m2+tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立,其 取值范围是{m|m≥2,或 m≤-2}. 方法二: 当 m=0 时,②显然不成立; 当 m≠0 时, m>0, ②? g(-1)=m2-m-2≥0 或 g(1)=m2+m-2≥0 m<0,

? m≥2 或 m≤-2.
所以,存在实数 m,使不等式 m2+tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立,其 取值范围是{m|m≥2,或 m≤-2}.

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