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高三数学第一轮复习:历年高考试题:函数


高三数学第一轮复习:历年高考试题:函数
一、填空题 1、函数 f ? x ? ? 2、函数 f ( x) ?

lg ? 4 ? x ? x?3

的定义域为

。 。

? x 2 ? x ? 6 的定义域是 x ?1

3、设奇函数 f (x) 的定义域为[-5,5]。若当 x ∈[0,5]时, f (x) 的图象 如右图,则不等式 f ( x) ? 0 的解是 范围是 。 。 4、设函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数。若当 x ? (0, ??) 时, f ( x) ? lg x ,则满足 f ( x) ? 0 的 x 的取值

5、设 a 为实常数, y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 9 x ? 对一切 x ? 0 成立,则 a 的取值范围为________。 6、方程
x

a2 ? 7 ,若 f ( x) ? a ? 1 x

3 1 ? ? 3x ?1 的实数解为_______。 3 ?1 3 7、设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数。若当 x ? 0 时, f ( x) ? log 3 ( x ? 1) ,则 f (?2) ? 8、设函数 y ? f (x) 是奇函数。若 f (?2) ? f (?1) ? 3 ? f (1) ? f (2) ? 3 ,则 f (1) ? f (2) ?
9、函数 f ( x) ? log 4 ( x ? 1) 的反函数 f 10、函数 f ( x) ?
?1

。 。

( x) =



x ?1 的反函数 f ( x) ? 。 x ?1 2 ?1 11、函数 f ( x) ? ? x ( x ? (? ? , ? 2 ] ) 的反函数 f ( x) =
? x ? 1, x ? 0, ? 12、函数 y ? ? 2 x?0 ? , ?x
2

。 。 。

的反函数是
?1

13、若函数 f (x) 的反函数为 f 14、已知函数 f ( x) ? log 3 (

( x) ? x 2 , ( x ? 0) ,则 f (4) ?

4 ? 2 ) ,则方程 f ?1 ( x) ? 4 的解 x ? __________。 x 15、函数 f ( x) ? log 3 ( x ? 3) 的反函数的图像与 y 轴的交点坐标是 。
16、 若函数 f (x) = a ( a >0,且 a ≠1)的反函数的图像过点(2,-1) ,则 a =
x



17、已知对于任意实数 x ,函数 f (x) 满足 f (? x) ? f ( x) 。若方程 f ( x) ? 0 有 2011 个实数解,则这 2011 个 实数解之和为
2

。 。

18、 对任意不等于 1 的正数 a , 函数 f ( x) ? log a ( x ? 3) 的反函数的图像都过点 P, 则点 P 的坐标是 19、已知 y ? f ( x) ? x 是奇函数,且 f (1) ? 1 ,若 g ( x) ? f ( x) ? 2 ,则 g (?1) ? 20、若函数 f ( x) ? a | x ? b | ?2 在[0,+∞]上为增函数,则实数 a 、 b 的取值范围是 21、若曲线 y ? 2 ? 1 与直线 y ? b 没有公共点,则 b 的取值范围是
x

。 。



22、设 g ( x) 是定义在 R 上,以周期为 1 的函数,若函数 f ( x) ? x ? g ( x) 在区间 ? 3, 4 ? 上的值域为 ? ?2,5? , 则 f ( x) 在区间 ? ?10,10? 上的值域为_____________。 23、 已知函数 y ? f (x) 的图象是折线段 ABC , 其中 A(0,0) 、 ( ,1) 、 (1,0) . 函数 y ? xf (x) 0 ? x ? 1 ) ( C B 的图象与 x 轴围成的图形的面积为 反函数 y ? f
?1 ?1 ?1

1 2

。 , 若定义域为 [0,3] 的函数 y ? f ( x) 有 。

24、 对区间 I 上有定义的函数 g ( x) , g (I ) ? y| y ? (x), x I } 记 { g ?
1

( x) ,且 f ([0,1)) ? [1, 2), f ((2, 4]) ? [0,1) ,若方程 f ( x) ? x ? 0 有解 x0 ,则 x 0 =

二、选择题 25、若函数 f ( x) ?

1 ,则该函数在 ?? ?,?? ? 上是( 2 ?1
x

) D.单调递增有最大值 )

A.单调递减无最小值

B.单调递减有最小值

C.单调递增无最大值
x

26、设 a ? 0 且 a ? 1 ,函数 y ? log a x 的反函数和 y ? log a 1 的反函数的图象关于( A. x 轴对称 B. y 轴对称 C.直线 y ? x 对称 D.原点对称

27、已知函数 f ( x)、g ( x) 定义在 R 上, h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则“ f (x)、g (x) 均为奇函数”是“ h( x ) 为 偶函数”的( ) A.充分不必要条件. B.必要不充分条件. C.充要条件. D.既不充分也不必要条件. 28、函数 y ? 1 ? 1 ? x 2 ( ? 1 ? x ? 0 ) 的反函数图像是( )

29、下列函数中,既是偶函数,又是在区间 ? 0, ?? ? 上单调递减的函数是 ( A. y ? ln

) D. y ? cos x
2

1 x

B. y ? x

3

C. y ? 2

x

30、设定义域为 R 的函数 f ( x) ? ? 同实数解的充要条件是( A. b ? 0 且 c ? 0

?| lg | x ? 1 ||, 0, ?

x ?1 x ?1

,则关于 x 的方程 f ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 有 7 个不 C. b ? 0 且 c ? 0

D. b ? 0 且 c ? 0 ? 31、 y ? f (x) 的图象可由函数 y ? lg( x ? 1) 的图象绕坐标原点 O 逆时针旋转 得到, f (x) ? ( 若 则 2 ?x x ?x x A. 10 ? 1 . B. 10 ? 1 . C. 1 ?10 . D. 1? 10 . 32、下列四个函数中,图像如图所示的只能是( ) A. y ? x ? lg x . B. y ? x ? lg x . C. y ? ? x ? lg x . D. y ? ? x ? lg x . 33、 设函数 f ( x) 的定义域为 R ,有下列三个命题:其中真命题的个数是( )

) B. b ? 0 且 c ? 0

)

(1)若存在常数 M ,使得对任意 x ? R ,有 f ( x) ? M ,则 M 是函数 f ( x) 的最大值; (2)若存在 x0 ? R ,使得对任意 x ? R ,且 x ? x0 ,有 f ( x) ? f ( x0 ) ,则 f ( x0 ) 是函数 f ( x) 的最大值; (3)若存在 x0 ? R ,使得对任意 x ? R ,有 f ( x) ? f ( x0 ) ,则 f ( x0 ) 是函数 f ( x) 的最大值. A.0 个. B.1 个. C.2 个. D.3 个. 34、 f (x) 是定义在区间[-c,c]上的奇函数,其图象如图所示:令 g ( x) ? af ( x) ? b , 则下列关于函数 g (x) 的叙述正确的是( ) A.若 a ? 0 ,则函数 g (x) 的图象关于原点对称; B.若 a ? ?1, ? 2 ? b ? 0 ,则方程 g ( x) ? 0 有大于 2 的实根; C.若 a ? 0 , b ? 2 ,则方程 g ( x) ? 0 有两个实根; D.若 a ? 1, b ? 2 ,则方程 g ( x) ? 0 有三个实根. 三、解答题: 35、已知函数 f ( x) ? log a (8 ? 2 ) (a ? 0 且 a ? 1) ;
x

(1)若函数 f (x) 的反函数是其本身,求 a 的值; (2)当 a ? 1 时,求函数 y ? f ( x) ? f (? x) 的最大值。

2

x?3 的定义域为 A , g ( x) ? lg[( x ? a ? 1)(2a ? x)] (a ? 1) 的定义域为 B . x ?1 (1)求 A ; (2)若 B ? A , 求实数 a 的取值范围。
36、记函数 f (x) = 2 ?

37、已知函数 f ( x) ? log 2 2 ? 1 .
x

?

?

(1)求证:函数 f ( x) 在 ( ? ?, ? ? ) 内单调递增; (2)记 f 范围。
?1

( x) 为函数 f ( x) 的反函数。若关于 x 的方程 f ?1 ( x) ? m ? f ( x) 在 [1, 2] 上有解,求 m 的取值

38、已知函数 f ( x) ? a ? 2 ? b ? 3 ,其中 a, b 满足 a ? b ? 0
x x

(1)若 a ? b ? 0 ,判断函数 f ( x) 的单调性; (2)若 a ? b ? 0 ,求 f ( x ? 1) ? f ( x) 时的 x 的取值范围.

39、 已知二次函数 y ? f1 ( x) 的图象以原点为顶点且过点(1, 反比例函数 y ? f 2 ( x) 的图象与直线 y ? x 1), 的两个交点间距离为 8, f ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) . (1)求函数 f (x) 的表达式; (2)证明:当 a ? 3 时,关于 x 的方程 f ( x) ? f (a) 有三个实数解。

40、已知函数 f ? x ? ? x ? a , g ? x ? ? x 2 ? 2ax ? 1 ( a 为正常数) ,且函数 f ? x ? 与 g ? x ? 的图象在 y 轴上 的截距相等。 (1)求 a 的值; (2)求函数 F ( x) ? f ? x ? ? g ? x ? 的单调递增区间.

41、若实数 x 、 y 、 m 满足 x ? m ? y ? m ,则称 x 比 y 远离 m . (1)若 x ? 1 比 1 远离 0,求 x 的取值 范围;
2
3 3 2 2 (2)对任意两个不相等的正数 a 、 b ,证明: a ? b 比 a b ? ab 远离 2ab ab 。

? f ( x) g ( x), 当x ? D f 且x ? Dg ? 42、 定义域是 D f 、D g 的函数 y ? f (x) 、y ? g (x) , 规定: 函数 h( x) ? ? f ( x), 当x ? D f 且x ? Dg 。 ? g ( x), 当x ? D 且x ? D f g ?
(1)若函数 f ( x) ?

1 2 , g ( x) ? x ,写出函数 h(x ) 的解析式; (2)求问题(1)中函数 h(x ) 的值域。 x ?1
3

43、某人定制了一批地砖. 每块地砖(如图 1 所示)是边长为 0.4 米的正方 形 ABCD , E、 分别在边 BC 和 CD 上,△ CFE 、 A 和四边形 AEFD 点 F △B E 均由单一材料制成,制成△ CFE 、 A E 和四边形 AEFD 的三种材料的每 △ B 平方米价格之比依次为 3:2:1. 若将此种地砖按图 2 所示的形式铺设,能使 中间的深色阴影部分成四边形 EFGH . (1)求证:四边形 EFGH 是正方形; (2)E、F 在什么位置时, 定制这批地砖所需的材料费 用最省?

图1

图2

44 、 对 于 函 数 f (x) , 若 存 在 x0 ? R , 使 f ( x0 ) ? x0 成 立 , 则 称 x 0 为 f (x) 的 不 动 点 . 已 知 函 数

f ( x) ? ax 2 ? (b ? 1) x ? (b ? 1) (a ? 0) . (1)当 a ? 1 , b ? ?2 时,求函数 f (x) 的不动点; (2)若对任意实数 b ,函数 f (x) 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,若 y ? f (x) 图上 A、B 两点的横坐标是函数 f (x) 的不动点,且 A,B 两点关于直 1 线 y ? kx ? 对称,求 b 的最小值. 2 2a ? 1

45、集合 M 是满足下列性质的函数 f (x) 的全体:存在非零常数 T ,对任意 x ? R ,有 f ( x ? T ) ? Tf ( x) 恒成立. (1)函数 f ( x) ? x 是否属于集合 M ?说明理由; (2)设函数 f ( x) ? a (a ? 0 且 a ? 1) 的图象与 y ? x 的图象有公共点,证明: f ( x) ? a ? M 。
x x

46、函数 y ? f
?1

?1

( x) 是 y ? f (x) 的反函数,定义:若对给定的实数 a(a ? 0) ,函数 y ? f ( x ? a) 与

?1 y ? f ( x ? a) 互为反函数,则称 y ? f ( x) 满足“ a 和性质” ;若函数 y ? f (ax) 与 y ? f (ax) 互为反函 数,则称 y ? f ( x) 满足“ a 积性质” 。 2 (1)判断函数 g ( x) ? x ? 1( x ? 0) 是否满足“1 和性质” ,并说明理由;
w.w.w.k.s.5 .u.c. o.m

(2)求所有满足“2 和性质”的一次函数。

4


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