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高考数学常用的解题方法


高考中常用数学的方法 ------配方法、待定系数法、换元法
一、知识整合 配方法、待定系数法、换元法是几种常用的数学基本方法.这些方法是数学 思想的具体体现,是解决问题的手段,它不仅有明确的内涵 ,而且具有可操作性, 有实施的步骤和作法. 配方法是对数学式子进行一种定向的变形技巧,由于这种配成“完全平方” 的恒等变形,使问题的结构发生了转化,从中可找到已知与未知之间的联系,促成 问题的解决. 待定系数法的实质是方程的思想,这个方法是将待定的未知数与已知数统一 在方程关系中,从而通过解方程(或方程组)求得未知数. 换元法是一种变量代换,它是用一种变数形式去取代另一种变数形式,从而 使问题得到简化,换元的实质是转化. 二、例题解析 例 1.已知长方体的全面积为 11,其 12 条棱的长度之和为 24,则这个长方体 的一条对角线长为( ). (A) 2 3 (B) 14 (C)5 (D)6

分析及解:设长方体三条棱长分别为 x,y,z,则依条件得: 2(xy+yz+zx)=11,4(x+y+z)=24. 而欲求的对角线长为 x 2 ? y 2 ? z 2 , 因此需将对 称式 x 2 ? y 2 ? z 2 写成基本对称式 x+y+z 及 xy+yz+zx 的组合形式,完成这种组合的 常用手段是配方法.故 x 2 ? y 2 ? z 2 ? ( x ? y ? z) 2 ? 2( xy ? yz ? xz) =62-11=25 ∴
x 2 ? y 2 ? z 2 ? 5 ,应选 C.

例 2.设 F1 和 F2 为双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上且满足∠ 4

F1PF2=90°,则Δ F1PF2 的面积是( (A)1 (B)
5 2

). (D) 5 (1), 而由已知能得到什么

(C)2

分析及解:欲求 S ?PF1F2 ? 呢?

1 | PF1 | ? | PF2 | 2

由∠F1PF2=90°,得 | PF1 | 2 ? | PF2 | 2 ? 20

(2),

又根据双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=4 (3),那么(2)、 (3)两式与要求的 三角形面积有何联系呢?我们发现将(3)式完全平方,即可找到三个式子之间的

关系.即 || PF1 | ? | PF2 || 2 ?| PF1 |2 ? | PF2 |2 ?2 | PF1 | ? | PF2 |? 16 , 故
S ?PF1F2 ?

| PF1 | ? | PF2 |?

1 1 (| PF1 | 2 ? | PF2 | 2 ?16) ? ? 4 ? 2 2 2



1 | PF1 | ? | PF2 |? 1 ,∴ 选(A). 2 注:配方法实现了“平方和”与“和的平方”的相互转化.

例 3.设双曲线的中心是坐标原点,准线平行于 x 轴,离心率为 P(0,5)到该双曲线上的点的最近距离是 2,求双曲线方程. 分析及解:由题意可设双曲线方程为 求双曲线方程可写成: y 2 ? 4 x 2 ? a 2

5 ,已知点 2

y2 x2 5 ? 2 ? 1 ,∵ e ? ,∴a=2b,因此所 2 2 a b

(1),故只需求出 a 可求解. (2),∵点 Q(x,y) (3), 此

设双曲线上点 Q 的坐标为(x,y),则|PQ|= x 2 ? ( y ? 5) 2 在双曲线上 , ∴ (x,y) 满足 (1) 式 , 代入 (2) 得 |PQ|=

y2 a2 ? ? ( y ? 5) 2 4 4

时|PQ|2 表示为变量 y 的二次函数,利用配方法求出其最小值即可求解. 由(3)式有 | PQ | 2 ?
5 a2 ( y ? 4) 2 ? 5 ? (y≥a 或 y≤-a). 4 4

二次曲线的对称轴为 y=4,而函数的定义域 y≥a 或 y≤-a,因此,需对 a≤4 与 a>4 分类讨论. (1)当 a≤4 时,如图(1)可知函数在 y=4 处取得最小值,
a2 ? 4 ,得 a2=4 ∴令 5 ? 4

∴所求双曲线方程为

y2 ? x2 ? 1. 4

(2)当 a>4 时,如图(2)可知函数在 y=a 处取得最小值,
5 a2 ? 4 ,得 a2=49, ∴令 (a ? 4) 2 ? 5 ? 4 4 y 2 4x 2 ? ? 1. ∴所求双曲线方程为 49 49

注:此题是利用待定系数法求解双曲线方程的,其中利用配方法求解二次函 数的最值问题,由于二次函数的定义域与参数 a 有关,因此需对字母 a 的取值分类 讨论,从而得到两个解,同学们在解答数习题时应学会综合运用数学思想方法解

题. 例 4. 设 f(x)是一次函数,且其在定义域内是增函数,又 f ?1[ f ?1 ( x)] ? 4x ? 12 , 试求 f(x)的表达式. 分析及解: 因为此函数的模式已知,故此题需用待定系数法求出函数表达式. 1 设一次函数 y=f(x)=ax+b (a>0),可知 f ?1 ( x) ? ( x ? b) , a 1 1 1 1 ∴ f ?1 [ f ?1 ( x)] ? [ ( x ? b) ? b] ? 2 x ? 2 (ab ? b) ? 4 x ? 12 . a a a a
?1 ? 4(且a ? 0) ? ?a2 ? ? 1 (ab ? b) ? 12 ? ?a2
a?

(1) ( 2)

比较系数可知:

解此方程组,得

1 1 ,b=2,∴所求 f(x)= x ? 2 . 2 2

例 5.如图,已知在矩形 ABCD 中,C(4,4),点 A 在曲线 x 2 ? y 2 ? 9 (x>0,y>0) 上移动,且 AB,BC 两边始终分别平行于 x 轴,y 轴,求使矩形 ABCD 的面积为最小时 点 A 的坐标. 分析及解:设 A(x,y),如图所示,则 S ABCD ? (4-x)(4-y) (1)

此时 S 表示为变量 x,y 的函数,如何将 S 表示为一个变量 x(或 y)的函数呢?有的 同学想到由已知得 x2+y2=9,如何利用此条件?是从等式中解出 x(或 y),再代入(1) 式,因为表达式有开方,显然此方法不好. 如果我们将(1)式继续变形,会得到 S=16-4(x+y)+xy (2) 2 2 2 这时我们可联想到 x +y 与 x+y、xy 间的关系,即(x+y) =9+2xy. 因 此 , 只 需 设 t=x+y, 则 xy=
t2 ?9 2

, 代 入 (2) 式 得

S=16-4t+

t2 ?9 1 7 ? (t ? 4) 2 ? (3)S 表示为变量 t 的二次函数, 2 2 2
7 . 2

∵0<x<3,0<y<3,∴3<t< 3 2 ,∴当 t=4 时,SABCD 的最小值为

? x ? y ? 4, 2 2 2 2 ? 此时 ? 得A的坐标为 (2 ? ,2 ? )或(2 ? ,2 ? ) 7 2 2 2 2 xy ? , ? 2 ?
注:换元前后新旧变量的取值范围是不同的,这样才能防止出现不必要的错 误. 例 6.设方程 x2+2kx+4=0 的两实根为 x1,x2,若 (

x1 2 x ) ? ( 2 ) 2 ≥3,求 k 的取值 x2 x1

范围. 解:∵ (

x1 2 x x x ( x ? x2 ) 2 ) ? ( 2 )2 ? ( 1 ? 2 )2 ? 2 ? [ 1 ? 2]2 ? 2 ≥3, x2 x1 x2 x1 x1 x2

以 x1 ? x2 ? ?2k , x1 x2 ? 4 代入整理得(k2-2)2≥5,又∵Δ =4k2-16≥0,
2 ? ?| k ? 2 |? 5 ∴? 2 解得 k∈(- ?,? 2 ? 5 )∪[ 2 ? 5 ,+ ? ]. ? k ? 4 ? 0 ?

x2 ? y 2 ? 1 上移动时,求函数 u=x2+2xy+4y2+x+2y 的最 例 7.点 P(x,y)在椭圆 4

大值. 解:∵点 P(x,y)在椭圆
x2 ? y 2 ? 1 上移动, 4

? x ? 2 cos? ∴可设 ? ? y ? sin ?

于是

u ? x 2 ? 2xy ? 4 y 2 ? x ? 2 y
= 4 cos2 ? ? 4 sin ? cos? ? 4 sin 2 ? ? 2 cos? ? 2 sin ? = 2[(cos? ? sin ? ) 2 ? cos? ? sin ? ? 1]

? ∵ sin ? ? cos ? ? 2 sin(? ? ) ,∴|t|≤ 2 . 4 1 3 于是 u= 2(t 2 ? t ? 1) ? 2(t ? ) 2 ? ,(|t|≤ 2 ). 2 2 ? 当 t= 2 ,即 sin(? ? ) ? 1 时,u 有最大值. 4 ? ∴θ =2kπ + (k∈Z)时, umax ? 6 ? 2 2 . 4
令 cos ? ? sin ? ? t , 例 8.过坐标原点的直线 l 与椭圆
( x ? 3) 2 y 2 ? ? 1 相交于 A,B 两点,若以 AB 6 2

为直径的圆恰好通过椭圆的左焦点 F,求直线 l 的倾斜角. 解:设 A(x1,y1),B(x2,y2) 直线 l 的方程为 y=kx,将它代入椭圆方 程整理得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6x ? 3 ? 0 由韦达定理, x1 ? x 2 ? (*)

6 3 (1), x1 x 2 ? (2) 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

又 F(1,0)且 AF⊥BF,∴ k AF ? k BF ? ?1 , 将 y1 ? kx1 , y 2 ? kx2 代入上式整理得



y1 y ? 2 ? ?1 , x1 ? 1 x2 ? 1

(k 2 ? 1) ? x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1,

1 5? ? . 故直线 l 的倾斜角为 或 . 3 6 6 注:本题设交点坐标为参数,“设而不求”,以这些参数为桥梁建立斜率为 k 的方程求解.

将(1)式,(2)式代入,解得

k2 ?

例 9.设集合 A={ x | 4 x ? 2 x?1 ? a ? 0, x ? R } (1)若 A 中有且只有一个元素,求实数 a 的取值集合 B; (2)当 a∈B 时,不等式 x2-5x-6<a(x-4)恒成立,求 x 的取值范围. 解:(1)令 t=2x,则 t>0 且方程 4 x ? 2 x?1 ? a ? 0 化为 t2-2t+a=0 (*),A 中有且只 有一个元素等价于方程(*)有且只有一个正根,再令 f(t)=t2-2t+a, 则Δ =0

?? ? 0 或? 即 a=1 或 a≤0,从而 B=(- ? ,0]∪{1}. ? f (0) ? 0

(2)当 a=1 时, 3 ? 11 <x<3+ 11 , 当 a≤0,令 g(a)=a(x-4)-(x2-5x-6),则当 a≤0 时不等式 成立, 即当 a≤0 时,g(a)>0 恒成立,故

x 2 ? 5x ? 6 ? a( x ? 4) 恒

? g (0) ? 0 ? ?1 ? x ≤4. ? ?x ? 4 ? 0

综上讨论,x 的取值范围是( 3 ? 11 ,4).


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