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2016届高考数学一轮复习 1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课件 理


高考总复习数学(理科)

第一章
第三节

集合与常用逻辑用语
简单的逻辑联结词、全称 量词与存在量词

考纲要求

1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义. 2.理解全称量词与存在量词的意义. 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 栏 目 链 接

课前自修
基 础 回 顾

一、简单的逻辑联结词
常用的逻辑联结词:“且”“或” “非”. 栏 目 链 接

课前自修

二、含有逻辑联结词的命题
1.“且”命题:用联结词“且”把命题p和命题q联结起来,

构成一个新命题,记作p∧q,可理解为命题p和命题q同时满足.当
p,q都是真命题时,p∧q是真命题;当p,q两个命题中有一个命题 是假命题时,p∧q是假命题.记忆口诀为“一假必假”. 2.“或”命题:用联结词“或”把命题p和命题q联结起来, 构成一个新命题,记作p∨q,可理解为命题p和命题q至少满足其中

栏 目 链 接

一个.当p,q两个命题中有一个命题是真命题时,p∨q是真命题;
当p,q都是假命题时,p∨q是假命题.记忆口诀为“一真必真”.

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3.“非”命题:对一个命题p全盘否定,构成一个新命

题,记作綈p,可理解为不满足命题p.若p是真命题,则綈p必
是假命题;若 p 是假命题,则 綈 p 必是真命题.记忆口诀为 “真假相对”. 命题及其否定形式见下表:
命题
p或 q p且 q p

栏 目 链 接

否定形式
綈p且綈q 綈p或綈q 綈p

课前自修
命题p,q,p∧q,q∨q,綈p的真假关系:
p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 綈p 假 假 真 真 p∨ q 真 真 真 假 p∧ q 真 假 假 假

4.命题与集合的关系:命题的“且”“或”“非”对应集 合的“交”“并”“补”. 5.命题与电路的关系:命题 p∧q对应着“串联”电路,

栏 目 链 接

命题p∨q 对应着“并联”电路,命题綈p对应着线路的“断开
与闭合”.

课前自修
基 础 自 测
1.(2013· 重庆卷)命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定 是( D ) A.对任意x∈R,都有x2<0 B.不存在x∈R,使得x2<0 C.存在x0∈R,使得x2 0≥0 D.存在x0∈R,使得x2 0<0

栏 目 链 接

解析:根据否命题的定义可知命题的否定为“存 2 在x0∈R,使得x0 <0”,故选D.

课前自修
2.(2013· 大同模拟)已知函数 f(x)=x2+bx(b∈R),则下列结 论正确的是( D ) A. b∈R,f(x)在(0,+∞)上是增函数 B. b∈R,f(x)在(0,+∞)上是减函数 C. b∈R,f(x)为奇函数 D. b∈R,f(x)为偶函数

栏 目 链 接

解析:注意当b=0时,f(x)=x2是偶函数.故选D.

课前自修
3.(2014· 重庆卷)已知命题: p:对任意x∈R,总有2x>0; q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件, 则下列命题为真命题的是( D ) A.p∧q B.綈p∧綈q

栏 目 链 接

C. 綈p∧q

D.p∧綈q

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解析:依题意,命题p是真命题.由x>1不能得知x>
2;反过来,由x>2可得x>1,因此“x>1”是“x>2”的必 要不充分条件,命题q是假命题,命题 綈q是真命题,命题 p∧綈q是真命题,故选D. 栏 目 链 接

课前自修
4. 已知命题 p: x0∈R, x2 0+2ax0+a≤0.若命题 p 是假命题,

(0,1) . 则实数 a 的取值范围是__________ 栏 目 链 接

课前自修

三、常见词语的否定
正面词语
否定

等于(=) 大于(>)
不等于 (≠ ) 或 且 不大于 (≤ ) 至多有n 个 至少有n + 1个

小于(<)
不小于 (≥ ) 任意两 个 某两个


不是

都是
不都 是 任意 的 某个

至多有一个
至少有两个

正面词语 否定

所有 的 某些

至少有一个 一个也没有

栏 目 链 接

课前自修

四、全称命题与全称量词、特称命题与存在量词
全部 所有的 一切 1.全称量词:短语“________”“________”“________” “任
何”“任意”“每一个”在逻辑中通常叫做全称量词,用符号 “________”表示. 含有全称量词的命题,叫做全称命题.全称命题的形式为“对 M中任意一个x,有p(x)成立”,记为“ x∈M,p(x)”. 存在着 有 有些 2.存在量词:短语“________”“__________”“________” “某 个”“至少一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“________” 表示. 含有存在量词的命题,叫做特称命题.特称命题的形式为“存 在一个x0∈M,有p(x0)成立”,记为“ x0∈M,p(x0)”.

栏 目 链 接

课前自修
3.含有一个量词的命题的否定.

x0∈M,綈 p(x0) ; 全称命题 p: x∈M,p(x),它的否定綈 p:________________
特称命题 p:
x∈M,綈 p(x) x0∈M,p(x0),它的否定綈 p:______________.

特称 命题,特称命题的否定是________ 全称 全称命题的否定是__________ 命题.

栏 目 链 接

考点探究

考点1 含有逻辑联结词命题真假的判定
【例 1】 (2013· 山东高考预测卷)已知命题 p:存在实数 x0,使 π sin x0= 成立;命题 q:x2-3x+2<0 的解集为(1,2).给出下列四 2 个结论: ①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧(綈 q) ”是假命题;③ 命题“綈 p∧q”是真命题;④命题“(綈 p)∨(綈 q) ”是假命题.其 中正确的结论是( ) A.②③ B.②④ C.①②④ D.①②③④

栏 目 链 接

考点探究
思路点拨 :先判断简单命题 p 、 q的真假,再根据真值表确定

复合命题的真假.
点评:(1)“p∨q”“p∧q”“綈p ”形式的命题真假的判断步骤: 栏 目 链 接

①确定命题的构成形式;
②判断简单命题p、q的真假; ③确定“p∨q”“p∧q”“綈p ”形式的命题真假. (2)“p∧q”形式的真假是“有假必假,全真必真”;“p∨q”形 式的真假是“有真必真,全假必假”;綈p与p的真假相反.

考点探究
解析:由|sin x|≤1得命题p是假命题,则綈p是真命 题;由一元二次不等式的解法得命题 q是真命题,则綈q 是假命题.根据复合命题间的关系知②③正确,故选A. 答案:A 栏 目 链 接

考点探究
?变式探究
? π? 1.已知命题p:函数y=sin ?x+ ? 的图象关于原点对称,q:幂 2? ?

函数图象恒过定点(1,1),则( B ) A.p∨q为假命题 B.(綈p)∨q为真命题 C.p∧(綈q)为真命题 D.(綈p)∧(綈q)为真命题

栏 目 链 接

考点探究

考点2 特(全)称命题的否定
【例2】 (2013· 辽宁大连四所重点中学联考 )命题“所 )
栏 目 链 接

有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是( A.所有能被2整除的整数都是奇数 B.所有不能被2整除的整数都不是奇数 C.存在一个能被2整除的整数是奇数 D.存在一个不能被2整除的整数不是奇数

考点探究
点评:(1)命题:“ x∈M,p(x)成立”的否定是“ 不成立”; 命题“ 成立”. (2)命题“p∧q”的否定是“(綈 p)∨(綈 q)”; 命题“p∨q”的 x0∈M,p(x0)

x0∈M,p(x0)成立”的否定是“ x∈M,p(x)不

栏 目 链 接

否定是(綈 p)∧(綈 q).

考点探究
解析:命题“所有不能被 2 整除的整数都是奇数”的 否定是“存在一个不能被 2 整除的整数不是奇数”,故选 D. 答案:D
栏 目 链 接

考点探究
?变式探究
2.命题“对任意 x∈R,都有 x3>x2”的否定是( C )
3 2 A.存在 x0∈R,使得 x0 >x0

B.不存在 x∈R,使得 x >x
3 2 C.存在 x0∈R,使得 x0 ≤x0

3

2

栏 目 链 接

D.对任意 x∈R,都有 x3≤x2

考点探究
解析: 命题“对任意 x∈R, 都有 x3>x2” 的否定是“存
2 在 x0∈R,使得 x3 ≤ x ,故选 C. 0 0”

栏 目 链 接

考点探究

考点3 否命题与命题的否定的区分
【例3】 (1)写出复合命题“若x=1且y=2,则x+y=3”的 栏 目 链 接 否命题与“非”命题(即命题的否定),并判断真假.

(2)写出下列全称命题或特称命题的否定形式,并判断真假:
①至少存在一个四边形没有外接圆; ②关于x的不等式x2-ax+2a2≥0恒成立. 思路点拨:“且”的否定形式为“或”,“都不”的否定 形式为“不都”,反之亦然.注意区分否命题和命题的否定形式

考点探究
解析:(1)否命题为:“若 x≠1 或 y≠2,则 x+y≠3”,是假命题. “非”命题为:“若 x=1 且 y=2,则 x+y≠3”,是假命题. (2)①该命题的否定形式为:没有一个四边形有外接圆,是假命题.
2 ②该命题的否定形式为: x0, 使关于 x 的不等式 x0 -ax0+2a2≥0

不成立,是假命题. 点评: 掌握逻辑联结词和量词用法, 区分否命题与命题的否定形式 是不同的.

栏 目 链 接

考点探究
?变式探究
3.下列有关命题的说法正确的是( D ) A.命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为“若 x2=1,则 x≠1” B. “x=-1”是“x -5x-6=0”的必要不充分条件 C.命题“ x0∈R,使得 x2 0+x0+1<0”的否定是:“ x∈R
2

均有 x2+x+1<0” D.命题“若 x=y,则 sin x=sin y”的逆否命题为真命题

栏 目 链 接

考点探究
解析:命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为“若 x2≠1, 则 x≠1”,选项 A 错误.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充 分不必要条件,选项 B 错误.命题“ x0∈R,使得 x2 0+x0+1 <0”的否定是“ 选 D. x∈R 均有 x2+x+1≥0”, 选项 C 错误. 故

栏 目 链 接

考点探究

考点4 逻辑联结词与命题真假的应用
【例4】 已知命题p:函数f(x)=mx3-mx+4在区间

? 3 3? ?- , ? 上递减,命题q:方程x2+mx+1=0有两个不相等的负 3 3? ?

实数根.如果p或q为真,p且q为假,求实数m的取值范围.

栏 目 链 接

考点探究
? 3 3? 解析:∵f(x)在区间?- , ?上是减函数, 3 3? ? ? 3 3? ∴x∈?- , ?时,f′(x)=3mx2-m<0 3 3? ?

即 m(3x -1)<0.又-1<3x -1<0, ∴m>0. 方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的负实数根的充要条件是:

2

2

栏 目 链 接

Δ>0, ? ? ?x1+x2<0, ? ?x1x2>0

2 ? m ? -4>0, ? ? ?-m<0

m>2,

考点探究
∵p 或 q 为真,p 且 q 为假. ∴p 与 q 中一个为真,一个为假. 当 p 为真,q 为假时,0<m≤2; 当 p 为假,q 为真时,m 不存在. 故实数 m 的取值范围是(0,2].

栏 目 链 接

考点探究
点评:逻辑联结词与命题真假的应用,主要表现在参
数问题的求解上. 一般有两种类型: (1) 将含有逻辑联结词的命题转化为集合之间的关系, 列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2) 根据命题的真假列出关于参数的不等式,要注意 全称命题与特称命题的等价转换. 栏 目 链 接

考点探究
?变式探究
4. (2013· 南昌联考)已知命题 p:“ x∈[0,1],a≥ex” ,命
2 题 q:“ x0∈R,x0 +4x0+a=0”,若命题“p∧q”是真命题,

则实数 a 的取值范围是( C ) A.(4,+∞) B.[1,4] C.[e,4] D.(-∞,1]

栏 目 链 接

考点探究
解析:“p∧q”是真命题,则p与q都是真命题;p
真则?x∈[0,1],a≥ex,需a≥e;q真则x2+4x+a=0 有 解 , 需 Δ = 16 - 4a≥0 , 所以 a≤4 ; p∧q 为真 , 则 e≤a≤4.故选C. 栏 目 链 接

感悟高考
考情播报 1.含逻辑联结词命题真假的判断,含全称量词、存在量词 命题的否定将会是近几年高考的热点. 2.将会与集合、不等式、函数等相结合考查,在知识的交 汇点处命题. 3.题型主要以选择题为主,属中低挡题. 栏 目 链 接

感悟高考
品 味 高 考
1. (2013· 湖北卷 )在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳
一次,设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范 围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 ( A ) A.(綈p)∨(綈q) B.p∨(綈q) C.(綈p)∧(綈q) D.p∨q 栏 目 链 接

解析:“至少有一位学员没有降落在指定范围”即:
“甲或乙没有降落在指定范围内”.故选A.

感悟高考
? ?x+y≥1, 2.(2014· 新课标全国卷Ⅰ)不等式组? 的解集记为 D,有 ? ?x-2y≤4

下面四个命题: p1 : ≥2, p3: 1. 其中的真命题是( B ) A.p2,p3 B.p1,p2 C.p1,p4 D.p1,p3 (x, y)∈D, x+ 2y≥- 2, p2 : (x0, y0)∈D, x0+ 2y0

(x,y)∈D,x+2y≤3, p4:

(x0,y0)∈D,x0+2y0≤-

栏 目 链 接

感悟高考
解析:满足不等式组的解集D所构成的可行域如

图中阴影部分所示.
栏 目 链 接

设 z=x+2y,当直线 z=x+2y 过点 B 时,z=x+2y 取得最 ? ?x+y=1, ? ?x=2, 小值,由? 得? 所以点 B 的坐标为(2,-1),所 ? ? ?x-2y=4 ?y=-1, 以 zmin=2+2×(-1)=0;z 无最大值,故存在(x0,y0)∈D,x0+ 2y0≥2,所以命题 p1,p2 为真命题,故选 B.

感悟高考

高 考 测 验
1.(2014· 佛山一模)给定命题p:若x2≥0,则x≥0;命题q:已知非 零向量a,b,则“a⊥b”是“|a-b|=|a+b|”的充要条件.则下列各命 题中,假命题的是( D ) A.p∨q B.(綈p)∨q

栏 目 链 接

C.(綈p)∧q D.(綈p)∧(綈q)

解析:依题意,命题 p 是假命题;命题 q 是真命题,因此 p∨q,(綈 p)∨q,(綈 p)∧q 均是真命题,(綈 p)∧(綈 q)是假命题,故选 D.

感悟高考
2.(2013· 江西省九校第二次联考)命题p:?x∈[0,+∞), (log32)x≤1,则( C ) A.p是假命题,綈p: x0∈[0,+∞),(log32)x0>1 B.p是假命题,綈p: x∈[0,+∞),(log32)x≥1 C.p是真命题,綈p: x0∈[0,+∞),(log32)x0>1 D.p是真命题,綈p: x∈[0,+∞),(log32)x≥1

栏 目 链 接

解析: 因为 x≥0 时, (log32)x≤1 , 所以命题 p 是真命题, 綈 p: x0∈[0,+∞),(log32)x0>1.故选 C.


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