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圆锥曲线知识点+例题+练习含答案(整理)


圆锥曲线 一、椭圆:(1)椭圆的定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的和等于常数(大于 | F1 F2 | ) 的点的轨迹。 其中:两个定点叫做椭圆的焦点,焦点间的距离叫做焦距。 注意: 2a ?| F1 F2 | 表示椭圆; 2a ?| F1 F2 | 表示线段 F1 F2 ; 2a ?| F1 F2 | 没有轨迹; (2)椭圆的标准方程、图象及几何性质: 中心在原点

,焦点在 x 轴上 标准方 程
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

中心在原点,焦点在 y 轴上
y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2
y F2 O F1 B1 A2x

B2

图 形

P A1

y

B2 O F2 B1 A2

x

P A1

F1

顶 点 对称轴 焦 点 焦 距 离心率 通 径

A1 ( ? a,0), A2 ( a,0) B1 (0,?b), B2 (0, b)

A1 ( ?b,0), A2 (b,0) B1 (0,? a ), B2 (0, a )

x 轴, y 轴;短轴为 2b ,长轴为 2a
F1 (?c,0), F2 (c,0)
| F1F2 |? 2c(c ? 0)
e?

F1 (0,?c), F2 (0, c)
c2 ? a2 ? b2

c (0 ? e ? 1) (离心率越大,椭圆越扁) a

2b 2 (过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段) a
a b

2 2 3.常用结论: (1)椭圆 x 2 ? y 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点为 F1 , F2 ,过 F1 的直线交椭圆于 A, B 两

点,则 ?ABF2 的周长=
2 2 (2)设椭圆 x 2 ? y 2 ? 1(a ? b ? 0) 左、右两个焦点为 F1 , F2 ,过 F1 且垂直于对称轴的直线

a

b

交椭圆于 P, Q 两点,则 P, Q 的坐标分别是 二、双曲线:
1

| PQ |?

(1)双曲线的定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 | F1 F2 | ) 的点的轨迹。 其中:两个定点叫做双曲线的焦点,焦点间的距离叫做焦距。 注意: | PF1 | ? | PF2 |? 2a 与 | PF2 | ? | PF1 |? 2a ( 2a ?| F1 F2 | )表示双曲线的一支。

2a ?| F1 F2 | 表示两条射线; 2a ?| F1 F2 | 没有轨迹;
(2)双曲线的标准方程、图象及几何性质: 中心在原点,焦点在 x 轴上 标准 方程
x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2

中心在原点,焦点在 y 轴上
y2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2
P y F2 B2 x

图 形

P F1 A1

y x O A2 F2

O B1 F1

顶 点 对称轴 焦 点 焦 距 离心率 渐近线 通 径 (3)双曲线的渐近线: ①求双曲线 x
a
2 2

A1 (?a,0), A2 (a,0)

B1 (0,?a), B2 (0, a)

x 轴, y 轴;虚轴为 2b ,实轴为 2a
F1 (?c,0), F2 (c,0)
| F1F2 |? 2c(c ? 0)
e?

F1 (0,?c), F2 (0, c)

c2 ? a2 ? b2

c (e ? 1) (离心率越大,开口越大) a

y??

b x a
2b 2 a

y??

a x b

?

y2 可令其右边的 ? 1 的渐近线, b2

1 为 0, 即得 x 2
a

2

?

y2 因式分解得到 x ? y ? 0 。 ? 0, a b b2

②与双曲线

2 2 x2 y2 ? 2 ? 1 共渐近线的双曲线系方程是 x 2 ? y 2 ? ? ; 2 a b a b

(4)等轴双曲线为 x 2 ? y 2 ? t 2 ,其离心率为 2

2

(4)常用结论:(1)双曲线 x 2 ? y 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点为 F1 , F2 ,过 F1 的直线交双曲线
a b

2

2

的同一支于 A, B 两点,则 ?ABF2 的周长= (2)设双曲线 x 2 ? y 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 左、右两个焦点为 F1 , F2 ,过 F1 且垂直于对称轴的
a b
2 2

直线交双曲线于 P, Q 两点,则 P, Q 的坐标分别是 三、抛物线:

| PQ |?

(1)抛物线的定义:平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。 其中:定点为抛物线的焦点,定直线叫做准线。 (2)抛物线的标准方程、图象及几何性质: p ? 0 焦点在 x 轴上, 开口向右 标准 方程
l
y P x O F F O P y
y 2 ? 2 px

焦点在 x 轴上, 开口向左
y 2 ? ?2 px

焦点在 y 轴上, 开口向上
x 2 ? 2 py

焦点在 y 轴上, 开口向下
x 2 ? ?2 py

l
x P

y F O x

l
P





y O F

x

l





O(0,0)

对称轴 焦 点
p F ( ,0 ) 2

x轴
F (? p ,0) 2
p F (0, ) 2

y轴
p F (0,? ) 2

离心率 准 通 线 径
| PF |?| x 0 | ? p 2
x?? p 2
x? p 2

e ?1
y?? p 2
y? p 2

2p
| PF |?| y 0 | ? p 2

焦半径 焦点弦 焦准距

p

3

四、弦长公式: | AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 ?

? | A|

其中, A, ? 分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y 后所得关于 x 的一元二次方程 的判别式和 x 2 的系数 求弦长步骤:(1)求出或设出直线与圆锥曲线方程;(2)联立两方程,消去 y,得关 于 x 的一元二次方程 Ax2 ? Bx ? C ? 0, 设 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) ,由韦达定理求出 x1 ? x 2 ? ?
x1 x 2 ? C ;(3)代入弦长公式计算。 A B , A

法(二)若是联立两方程,消去 x,得关于 y 的一元二次方程 Ay2 ? By ? C ? 0, 则相应的

1 1 1 ? 弦长公式是: | AB |? 1 ? ( ) 2 | y1 ? y 2 |? 1 ? ( ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ? 1 ? ( ) 2 ? k k k | A|
注意(1)上面用到了关系式 | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?

? 和 | A|

y1 ? y 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ?

? | A|

注意(2)求与弦长有关的三角形面积,往往先求弦长,再求这边上的高(点到直线的 距离),但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形,且线段的长度为定值,求面积一 般用分割法 五、弦的中点坐标的求法 法(一):(1)求出或设出直线与圆锥曲线方程;(2)联立两方程,消去 y,得关于 x 的一元二次方程 Ax2 ? Bx ? C ? 0, 设 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) , 由韦达定理求出 x1 ? x 2 ? ? 设中点 M ( x0 , y0 ) ,由中点坐标公式得 x 0 ?
B ; (3) A

x1 ? x 2 ;再把 x ? x0 代入直线方程求出 y ? y0 。 2

法(二):用点差法,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,中点 M ( x0 , y0 ) ,由点在曲线上,线段 的中点坐标公式, 过 A、 B 两点斜率公式, 列出 5 个方程, 通过相减, 代入等变形, 求出 x0 , y0 。 六、求离心率的常用方法:法一,分别求出 a,c,再代入公式 法二、 建立 a,b,c 满足的关系, 消去 b,再化为关于 e 的方程,最后解方程求 e (求 e 时, 要注意椭圆离心率取值范围是 0﹤e﹤1,而双曲线离心率取值范围是 e﹥1)
4

例 1:设点 P 是圆 x 2 ? y 2 ? 4 上的任一点,定点 D 的坐标为(8,0),若点 M 满足
???? ? ???? ? PM ? 2MD .当点 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹方程.



???? ? ???? ? 设点 M 的坐标为 ? x, y ? ,点 P 的坐标为 ? x0 , y0 ? ,由 PM ? 2MD ,

得 ? x ? x0 , y ? y0 ? ? 2 ?8 ? x, ? y ? ,即 x0 ? 3x ?16 , y0 ? 3 y . 因为点 P ? x0 , y0 ? 在圆 x 2 ? y 2 ? 4 上,所以 x02 ? y02 ? 4 .即 ? 3 x ? 16 ? ? ? 3 y ? ? 4 ,
2 2

4 ? 16 ? 即 ? x ? ? ? y 2 ? ,这就是动点 M 的轨迹方程. 3? 9 ?
5 3 例 2:已知椭圆的两个焦点为(-2,0),(2,0)且过点 ( , ? ) ,求椭圆的标准方程 2 2

2

解法 1 因为椭圆的焦点在 x 轴上,所以设它的标准方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

5 3 5 3 2 2 2 2 ? (? ? 0) ? ( ? 2) ? (? ? 0) ? 2 10 由椭圆的定义可知: 2a ? ( ? 2) 2 2 2 2
? a ? 10 又 c ? 2,?b ? a ? c ? 6 所以所求的标准方程为
2 2 2

x2 y 2 ? ?1 10 6
x2 y2 5 3 ? ? 1, 将点 ( , ? ) 2 2 2 2 a a ?4

解法 2 ? c ? 2,?b2 ? a2 ? c2 ? a2 ? 4 , 所以可设所求的方程为
x2 y 2 ? ?1 10 6

代人解得: a ? 10 例 3.

所以所求的标准方程为

例 4.

5

高二圆锥曲线练习题 1 1、F1,F2 是定点,且|F1F2|=6,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=6,则 M 点的轨迹方程是( (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段 ) )

2、已知 ?ABC 的周长是 16, A( ?3,0) ,B (3,0) , 则动点的轨迹方程是( (A)
x2 y2 ? ?1 25 16

(B)

x2 y2 x2 y2 ? ? 1( y ? 0) (C) ? ?1 25 16 16 25

(D)

x2 y2 ? ? 1( y ? 0) 16 25

3、已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率等于( A.

) D.
3 2

1 3

B.

3 3

C.

1 2

4、设椭圆 C1 的离心率为

5 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 26.若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个 13
) D.
x2 y2 ? ?1 132 12 2

焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为( A.
x2 y 2 ? ?1 42 32

B.

x2 y2 ? ?1 132 52

C.

x2 y 2 ? ?1 32 42

5、设双曲线 (A)4

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0 ? 的渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,则 a 的值为( a2 9

).

(B)3 )

(C)2

(D)1

6、双曲线 2 x 2 ? y 2 ? 8 的实轴长是( (A)2 7、双曲线 A. 2 3 (B) 2 2

(C) 4 )

(D)4 2

x2 y2 ? =1 的焦点到渐近线的距离为( 4 12

B.2

C. 3

D.1 )

x2 y 2 ? 1 的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是( 8、以双曲线 ? 9 16

A. x2 ? y 2 ? 10 x ? 9 ? 0
6

B. x2 ? y 2 ?10x ? 16 ? 0

C. x2 ? y 2 ? 10 x ? 16 ? 0 9、、过椭圆

D. x2 ? y 2 ? 10 x ? 9 ? 0

x2 y 2 ? =1(a>b>0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P, F2 为右焦点,若 a 2 b2

? F1 PF2 ? 60° ,则椭圆的离心率为(
A.
2 2



B.

3 3

C.

1 2

D.

1 3
( )

10. “ m ? n ? 0 ”是“方程 mx2 ? ny 2 ? 1 ”表示焦点在 y 轴上的椭圆的 (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 11、写出满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)长轴与短轴的和为 18,焦距为 6; (2)焦点坐标为 (? 3,0) , ( 3,0) ,并且经过点(2,1); . .
1 3

(B)必要而不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

(3)椭圆的两个顶点坐标分别为 (?3,0) , (3,0) ,且短轴是长轴的 ; (4)离心率为 12、与椭圆
3 ,经过点(2,0); 2

x2 y2 ? ? 1有相同的焦点 , 且短 轴长为 2 的椭圆方程是: 9 4
2 .过 2

13、在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1 , F2 在 x 轴上,离心率为
F1 的直线 l 交 C 于 A, B 两点,且 ?ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为:

14 、 已 知 F1,F2 为 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1 的 两 个 焦 点 , 过 F1 的 直 线 交 椭 圆 于 A, B 两 点 , 若 25 9

F2 A ? F2 B ? 12 ,则 AB ?



???? ???? ? x2 y 2 F2 是椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 15、已知 F1 、 (a ? b ? 0) 的两个焦点, P 为椭圆 C 上一点, 且 PF1 ? PF2 , a b
若 △PF1F2 的面积是 9,则 b ? .

16、求心在原点,焦点在坐标轴上,且经过 P( 4, ? 3 ),Q ( 2 2 ,3 )两点的椭圆方 程。
7

圆锥曲线练习题 2 1.抛物线 y 2 ? 10x 的焦点到准线的距离是( A. )

15 D. 10 2 2.若抛物线 y 2 ? 8x 上一点 P 到其焦点的距离为 9 ,则点 P 的坐标为(
B. 5 C. A. (7, ? 14) B. (14, ? 14) C. (7, ?2 14) D. (?7, ?2 14)

5 2

)。

3.以椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的顶点为顶点,离心率为 2 的双曲线方程( 16 9



A.

x2 y2 x2 y2 x2 y2 y 2 x2 ? ? 1 B. ? ? 1 C. ? ? 1或 ? ?1 16 48 9 27 16 48 9 27

D.以上都不对

4.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 9 ? 0 的圆心的抛物线的方程是( A. y ? 3x 2 或 y ? ?3x 2 C. y 2 ? ?9x 或 y ? 3x 2 B. y ? 3x 2 D. y ? ?3x 2 或 y 2 ? 9 x )



5.若抛物线 y 2 ? x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点 P 的坐标为( A. ( , ?

1 4

2 ) 4

B. ( , ?

1 8

2 ) 4

C. ( ,

1 2 ) 4 4

D. ( ,

1 2 ) 8 4


x2 y2 ? ? 1 上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1 、F2 的连线互相垂直, 6. 椭圆 则△ PF1 F2 的面积为 ( 49 24
A. 20 B. 22 C. 28 D. 24

7.若点 A 的坐标为 (3, 2) , F 是抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点,点 M 在抛物线上移动时,使 MF ? MA 取得 最小值的 M 的坐标为( A. ?0,0? B. ? ,1? ) C. 1, 2

?1 ? ?2 ?

?

?

D. ?2,2?

x2 ? y 2 ? 1 共焦点且过点 Q(2,1) 的双曲线方程是( 8.与椭圆 4
A.



x2 x2 x2 y2 y2 ? y 2 ? 1 B. ? y 2 ? 1 C. ? ? 1 D. x 2 ? ?1 2 4 3 3 2
2 2

9.若椭圆 x ? my ? 1 的离心率为

3 ,则它的长半轴长为_______________. 2

8

10.双曲线的渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 ,焦距为 10 ,这双曲线的方程为______________。 11.抛物线 y 2 ? 6 x 的准线方程为___. 12.椭圆 5x 2 ? ky 2 ? 5 的一个焦点是 (0,2) ,那么 k ? 。

13.椭圆

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率为 ,则 k 的值为____________。 2 k ?8 9

14.双曲线 8kx2 ? ky 2 ? 8 的一个焦点为 (0,3) ,则 k 的值为__________。 15.若直线 x ? y ? 2 与抛物线 y 2 ? 4 x 交于 A 、 B 两点,则线段 AB 的中点坐标是______。 16. k 为何值时,直线 y ? kx ? 2 和曲线 2 x2 ? 3 y 2 ? 6 有两个公共点?有一个公共点? 没有公共点?

17.在抛物线 y ? 4x2 上求一点,使这点到直线 y ? 4 x ? 5 的距离最短。

18.双曲线与椭圆

x2 y2 ? ? 1 有相同焦点,且经过点 ( 15, 4) ,求其方程。 27 36

19.设 F1 , F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,且 ?F1PF2 ? 600 , 9 16

求△ F 1PF 2 的面积。

9

高二圆锥曲线练习题 1、F1,F2 是定点,且|F1F2|=6,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=6,则 M 点的轨迹方程是( (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段 ) D )

2、已知 ?ABC 的周长是 16, A( ?3,0) ,B (3,0) , 则动点的轨迹方程是( B (A)
x2 y2 ? ?1 25 16

(B)

x2 y2 x2 y2 ? ? 1( y ? 0) (C) ? ?1 25 16 16 25

(D)

x2 y2 ? ? 1( y ? 0) 16 25

3、已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率等于( A.

D

) D.
3 2

1 3

B.

3 3

C.

1 2

4、设椭圆 C1 的离心率为

5 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 26.若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个 13

焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为( A ) A.
x2 y 2 ? ?1 42 32

B.

x2 y2 ? ?1 132 52

C.

x2 y 2 ? ?1 32 42

D.

x2 y2 ? ?1 132 12 2

x2 y 2 ? 1? a ? 0 ? 的渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,则 a 的值为( C ). 5、设双曲线 2 ? a 9

(A)4

(B)3

(C)2

(D)1

6、双曲线 2 x 2 ? y 2 ? 8 的实轴长是(C ) (A)2 7、双曲线 A. 2 3 8、以双曲线 (B) 2 2 (C) 4 A ) D.1 A ) (D)4 2

x2 y2 ? =1 的焦点到渐近线的距离为( 4 12

B.2

C. 3

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是( 9 16

A. x2 ? y 2 ? 10 x ? 9 ? 0 C. x2 ? y 2 ? 10 x ? 16 ? 0

B. x2 ? y 2 ?10x ? 16 ? 0 D. x2 ? y 2 ? 10 x ? 9 ? 0

x2 y 2 9、、过椭圆 2 ? 2 =1(a>b>0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P, F2 为右焦点,若 a b

? F1 PF2 ? 60° ,则椭圆的离心率为( B )
10

A.

2 2

B.

3 3

C.

1 2

D. (

1 3
C )

10. “ m ? n ? 0 ”是“方程 mx2 ? ny 2 ? 1 ”表示焦点在 y 轴上的椭圆的 (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 解析:将方程 mx2 ? ny 2 ? 1 转化为 (B)必要而不充分条件

(D) 既不充分也不必要条件
x2 y 2 ? ? 1 , 根据椭圆的定义,要使焦点在 y 轴上必须满足 1 1 m n

1 1 1 1 ? 0, ? 0, 所以 ? , n m m n

11、写出满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)长轴与短轴的和为 18,焦距为 6; )
x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ? 1; 25 16 16 25 x2 y2 ? ?1 6 3
1 3

.

(2)焦点坐标为 (? 3,0) , ( 3,0) ,并且经过点(2,1);

.

(3)椭圆的两个顶点坐标分别为 (?3,0) , (3,0) ,且短轴是长轴的 ;
3 ,经过点(2,0); 2

x2 x2 y2 ? y2 ? 1或 ? ? 1; 9 9 81

(4)离心率为

x2 x2 y2 ? y2 ? 1或 ? ? 1. 4 4 16

x2 x2 y2 ? ? 1有相同的焦点 , 且短 轴长为 2 的椭圆方程是: ? y 2 ? 1 12、与椭圆 9 4 6
13、在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1 , F2 在 x 轴上,离心率为
2 .过 2

x2 y2 ? ?1) F1 的直线 l 交 C 于 A, B 两点,且 ?ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为:( 16 8
14 、 已 知 F1,F2 为 椭 圆
x2 y 2 ? ? 1 的 两 个 焦 点 , 过 F1 的 直 线 交 椭 圆 于 A, B 两 点 , 若 25 9

F2 A ? F2 B ? 12 ,则 AB ? 8 .

???? ???? ? x2 y 2 F2 是椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 15、已知 F1 、 (a ? b ? 0) 的两个焦点, P 为椭圆 C 上一点, 且 PF1 ? PF2 , a b
11

若 △PF1F2 的面积是 9,则 b ? 3 . 16、求心在原点,焦点在坐标轴上,且经过 P( 4, ? 3 ),Q ( 2 2 ,3 )两点的椭圆方 程。 解:设椭圆方程为
x2 y2 ? ? 1 ,将 P,Q 两点坐标代入,解得 a 2 ? 20, b 2 ? 15 a2 b2



x2 y2 ? ? 1 为所求。 20 15
圆锥曲线练习题 2

1.抛物线 y 2 ? 10x 的焦点到准线的距离是( B A.



15 D. 10 2 2.若抛物线 y 2 ? 8x 上一点 P 到其焦点的距离为 9 ,则点 P 的坐标为( C )。
B. 5 C. A. (7, ? 14) B. (14, ? 14) C. (7, ?2 14) D. (?7, ?2 14)

5 2

3.以椭圆

x2 y2 ? ? 1 的顶点为顶点,离心率为 2 的双曲线方程( C 25 16
B.



A.

x2 y2 ? ?1 16 48

x2 y2 ? ?1 9 27

x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 C. 16 48 9 27
4. F1 , F2 是椭圆 ( C ) A. 7 B.

D.以上都不对

x2 y2 0 ? ? 1 的两个焦点, A 为椭圆上一点,且∠ AF 1 F2 ? 45 ,则Δ AF 1 F2 的面积为 9 7

7 4

C.

7 2

D.

7 5 2
2 2

5. 以坐标轴为对称轴, 以原点为顶点且过圆 x ? y ? 2x ? 6 y ? 9 ? 0 的圆心的抛物线的方程是 ( D ) A. y ? 3x 或 y ? ?3x
2 2 2

B. y ? 3x

2

C. y ? ?9x 或 y ? 3x
2

2

D. y ? ?3x 或 y ? 9 x
2 2

6.若抛物线 y ? x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点 P 的坐标为( B



12

A. ( , ?

1 4

2 ) 4

B. ( , ?

1 8

2 ) 4

C. ( ,

1 2 ) 4 4

D. ( ,

1 2 ) 8 4
D )

7. 椭圆

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1 、 则△ PF1 F2 的面积为 ( F2 的连线互相垂直, 49 24
B. 22 C. 28 D. 24

A. 20

8.若点 A 的坐标为 (3, 2) , F 是抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点,点 M 在抛物线上移动时,使 MF ? MA 取得 最小值的 M 的坐标为( D A. ?0,0? B. ? ,1? ) C. 1, 2

?1 ? ?2 ?

?

?

D. ?2,2?

9.与椭圆

x2 ? y 2 ? 1 共焦点且过点 Q(2,1) 的双曲线方程是( A ) 4

A.

x2 x2 x2 y2 y2 ? y 2 ? 1 B. ? y 2 ? 1 C. ? ? 1 D. x 2 ? ?1 2 4 3 3 2

10.若椭圆 x2 ? my 2 ? 1 的离心率为

3 ,则它的长半轴长为_______ 1, 或2 ________. 2
x2 y 2 ? ? ?1 _________。 20 5

11.双曲线的渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 ,焦距为 10 ,这双曲线的方程为______
2 12.抛物线 y ? 6 x 的准线方程为_ x ? ?

3 ____. 2
1 。

13.椭圆 5x 2 ? ky 2 ? 5 的一个焦点是 (0,2) ,那么 k ?

1 5 x2 y2 ? ? 1 的离心率为 ,则 k 的值为___ 4, 或 ? ___________。 14.椭圆 2 4 k ?8 9
15.双曲线 8kx2 ? ky 2 ? 8 的一个焦点为 (0,3) ,则 k 的值为________ ?1 ______。 16.若直线 x ? y ? 2 与抛物线 y 2 ? 4 x 交于 A 、 B 两点,则线段 AB 的中点坐标是__ (4, 2) ____。 17. k 为何值时,直线 y ? kx ? 2 和曲线 2 x ? 3 y ? 6 有两个公共点?有一个公共点?
2 2

没有公共点? 解:由 ?

? y ? kx ? 2 ?2 x ? 3 y ? 6
2 2

,得 2 x ? 3(kx ? 2) ? 6 ,即 (2 ? 3k ) x ? 12kx ? 6 ? 0
2 2 2 2

? ? 144k 2 ? 24(2 ? 3k 2 ) ? 72k 2 ? 48

13

当 ? ? 72k ? 48 ? 0 ,即 k ?
2

6 6 时,直线和曲线有两个公共点; , 或k ? ? 3 3 6 6 时,直线和曲线有一个公共点; , 或k ? ? 3 3

k 当 ? ?7 2

2

? 4 8 ? ,即 0 k?

k 当 ? ?7 2

2

? 4 8 ? ,即 0 ?

6 6 时,直线和曲线没有公共点。 ?k? 3 3

18.在抛物线 y ? 4x2 上求一点,使这点到直线 y ? 4 x ? 5 的距离最短。 解:设点 P(t , 4t ) ,距离为 d , d ?
2

4t ? 4t 2 ? 5 17

4t 2 ? 4t ? 5 ? 17

1 1 时, d 取得最小值,此时 P ( ,1) 为所求的点。 2 2 2 2 x y ? ? 1 有相同焦点,且经过点 ( 15, 4) ,求其方程。 19.双曲线与椭圆 27 36
当t ? 解:椭圆

y 2 x2 y2 x2 ? ? 1 的焦点为 (0, ?3), c ? 3 ,设双曲线方程为 2 ? ?1 36 27 a 9 ? a2
16 15 ? ? 1 ,得 a 2 ? 4, 或36 ,而 a 2 ? 9 , 2 2 a 9?a

过点 ( 15, 4) ,则

? a 2 ? 4 ,双曲线方程为
20.设 F1 , F2 是双曲线

y 2 x2 ? ?1。 4 5

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,且 ?F1PF2 ? 600 , 9 16

求△ F 1PF 2 的面积。 2.解:双曲线

x2 y2 ? ? 1 的 a ? 3, c ? 5, 不妨设 PF1 ? PF2 ,则 PF1 ? PF2 ? 2a ? 6 9 16

F1F22 ? PF12 ? PF22 ? 2PF1 ? PF2 cos600 ,而 F1F2 ? 2c ? 10
2 2 2 得 PF 1 ? PF 2 ? PF 1 ? PF 2 ? ( PF 1 ? PF 2 ) ? PF 1 ? PF 2 ? 100

PF1 ? PF2 ? 64, S ?

1 PF1 ? PF2 sin 600 ? 16 3 2

14


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