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【高优指导】2017高考数学一轮复习 滚动测试卷2 理(含解析)北师大版


滚动测试卷二(第一~五章)
(时间:120 分钟 满分:150 分) 滚动测试卷第 5 页 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) x+1 1.(2015 东北三省四市联考)设集合 M={x|-2<x<3},N={x|2 ≤1},则 M∩(?UN)=( )

A.(3,+∞) B.(-2,-1] C.(-1,3)

D.[-1,3) 答案:C 解析:由已知,得 M={x|-2<x<3},N={x|x≤-1},?UN={x|x>-1}, 则 M∩(?UN)={x|-1<x<3},故选 C. x 2.(2015 汕头一模)已知命题 p:存在 x∈R,x-2>lg x,命题 q:任意 x∈R,e >1,则( ) A.命题 p 且 q 是假命题 B.命题 p 且 q 是真命题 C.命题 p 且(q)是真命题 D.命题 p 或(q)是假命题 答案:C x 解析:取 x=10,得 x-2>lg x,则命题 p 是真命题;取 x=-1,得 e <1,命题 q 是假命题,q 是真命题,故 选 C. 3.(2015 河北邢台一模)先把函数 f(x)=sin 的图像上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),再把 新得到的图像向右平移个单位,得到 y=g(x)的图像.当 x∈时,函数 g(x)的值域为( ) A. B. C. D.[-1,0) 答案:A 解析:依题意得 g(x)=sin=sin, 当 x∈时,2x-,sin,此时 g(x)的值域是.选 A. 4.(2015 长沙模拟)关于平面向量 a,b,c,有下列三个命题: ①若 a·b=a·c,则 a=0 或 b=c; ②若 a=(1,k),b=(-2,6)且 a⊥b,则 k=; ③非零向量 a,b 满足|a|=|b|=|a-b|,则 a 与 a+b 的夹角为 30°.其中所有真命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案:C 解析:若 a·b=a·c,则 a·(b-c)=0,可得 a=0 或 b=c 或 a⊥(b-c),即命题①不正确;若 a=(1,k),b=(-2,6)且 a⊥b,则 a·b=-2+6k=0,得 k=,即命题②正确;非零向量 a,b 满足|a|=|b|=|ab|,则可得出一个等边三角形,且 a 与 a+b 的夹角为 30°,即命题③正确.综上可得,真命题有 2 个. 3 2 5.若 a>0 且 a≠1,p=loga(a +1),q=loga(a +1),则 p,q 的大小关系是( ) A.p=q B.p<q C.p>q D.当 a>1 时,p>q;当 0<a<1 时,p<q 答案:C x 解析:当 0<a<1 时,y=a 和 y=logax 在其定义域上均为减函数. 3 2 ∴a +1<a +1. ∴loga(a3+1)>loga(a2+1),即 p>q; x 当 a>1 时,y=a 和 y=logax 在其定义域上均为增函数. 3 2 ∴a +1>a +1. ∴loga(a3+1)>loga(a2+1),即 p>q. 综上可得 p>q. 6.设 x0 是函数 f(x)=-log2x 的零点.若 0<a<x0,则 f(a)的值满足( )

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A.f(a)=0 B.f(a)<0 C.f(a)>0 D.f(a)的符号不确定 答案:C 解析:f(x)=-log2x 为减函数,f(x0)=-log2x0=0,由 0<a<x0, ∴f(a)>f(x0)=0.

7.(2015 沈阳模拟)函数 f(x)=2sin(ω x+φ )的图像如图所示,则=( ) A.8 B.-8 C.-8 D.-+8 答案:C 解析:由图像知,T=4=π , 所以 xA==-,xD=π . 故-8. 3 8.设函数 f(x)=ax +3x,其图像在点(1,f(1))处的切线 l 与直线 x-6y-7=0 垂直,则直线 l 与坐标轴 围成的三角形的面积为( ) A.1 B.3 C.9 D.12 答案:B 2 解析:f'(x)=3ax +3,由题设得 f'(1)=-6, ∴3a+3=-6.解得 a=-3. ∴f(x)=-3x3+3x,f(1)=0,切线 l 的方程为 y-0=-6(x-1),即 y=-6x+6. ∴直线 l 与坐标轴围成的三角形的面积 S=×1×6=3. 故选 B. 2 2 2 9.(2015 山西四诊)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 b +c -a =bc,且 b=a,则下列关 系一定不成立的是( ) A.a=c B.b=c 2 2 2 C.2a=c D.a +b =c 答案:B 解析:在△ABC 中,由余弦定理得 cos A=,则 A=, 又 b=a,由正弦定理,得 sin B=sin A=, 则 B=,或 B=, 当 B=时,△ABC 为直角三角形,选项 C,D 成立; 当 B=时,△ABC 为等腰三角形,选项 A 成立,故选 B. 10.(2015 南宁模拟)在直角三角形 ABC 中,C=,AC=3,取点 D,E,使=2=3,那么=( ) A.3 B.6 C.-3 D.-6?导学号 92950971? 答案:A 解析:(方法一)由=2, 故 =)=. 又) =, 故=()·

= =.
因为 C=,所以=0,又 AC=3, 所以×9=3. (方法二)建立如图所示直角坐标系,得 C(0,0),A(3,0),B(0,y),

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则由已知得 D 为 AB 的一个三等分点,故 D, 又=3,故 E. 所以=(3,0), 所以=6-3=3. 11.(2015 河南开封模拟)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c.若 cos B==2,且 S△ABC=,则 b=( ) A.4 B.3 C.2 D.1 答案:C 解析:由 cos B=,0<B<π 得 sin B=. 又=2 得=2,即 c=2a. 2 由 S△ABC=acsin B=a ·,得 a=1.所以 c=2. 2 2 2 由 b =a +c -2accos B=1+4-2×1×2×=4 得,b=2. 3 2 12.(2015 河北衡水中学一调)已知|a|=2|b|≠0,且关于 x 的函数 f(x)=x +|a|x +a·bx 在 R 上有极 值,则向量 a 与 b 的夹角的范围是( ) A. B. C. D.?导学号 92950972? 答案:C 3 2 解析:设 a 与 b 的夹角为 θ .∵f(x)=x +|a|x +a·bx, 2 ∴f'(x)=x +|a|x+a·b. ∵函数 f(x)在 R 上有极值, ∴方程 x2+|a|x+a·b=0 有两个不同的实数根, 2 即 Δ =|a| -4a·b>0,∴a·b<, 又∵|a|=2|b|≠0,∴cos θ =, 即 cos θ <, 又∵θ ∈[0,π ],∴θ ∈,故选 C. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.(2015 河北唐山高三二模)已知|a|=,|b|=2,若(a+b)⊥a,则 a 与 b 的夹角是 . 答案:150° 2 解析:因为(a+b)⊥a,则有(a+b)·a=0?a +b·a=0?3+b·a=0,所以 b·a=-3, 可知 a 与 b 的夹角的余弦值为=-.则 a 与 b 的夹角为 150°. 14.(2015 长春模拟)在△ABC 中,设角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos C=,a+b=9,则 c= .?导学号 92950973? 答案:6 解析:由,即 a·b·cos C=,得 ab=20, 2 2 2 又 a+b=9,所以 c =a +b -2abcos C 2 =(a+b) -2ab-2ab·=36. 所以 c=6. 15.(2015 北京东城区质量检测)已知平面向量 a=(2,4),b=(1,-2),若 c=a-(a·b)b,则 |c|= . 答案:8 解析:由题意可得 a·b=2×1+4×(-2)=-6, ∴c=a-(a·b)b=a+6b=(2,4)+6(1,-2)=(8,-8), ∴|c|==8.

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16.函数 f(x)=x -x -3x-1 的图像与 x 轴的交点个数是 . 答案:3 2 解析:f'(x)=x -2x-3=(x+1)(x-3),函数在(-∞,-1)和(3,+∞)上是增函数,在(-1,3)上是减函数,由 f(x)极小值=f(3)=-10<0,f(x)极大值=f(-1)=>0,知函数 f(x)的图像与 x 轴的交点个数为 3. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)在矩形 ABCD 中,边 AB,AD 的长分别为 2,1,若 M,N 分别是边 BC,CD 上的点,且满足,求的 取值范围.

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解:如图所示, 设=λ (0≤λ ≤1), 则=λ =λ =(λ -1), ∴=()·()=(+λ )·[+(λ -1)] =(λ -1)+λ =4(1-λ )+λ =4-3λ , ∴当 λ =0 时,取得最大值 4; 当 λ =1 时,取得最小值 1. ∴∈[1,4]. 18.(12 分)(2015 山东实验中学模拟)函数 f(x)=Asin(ω x+φ )的部分图像如图所示.

(1)求 f(x)的解析式; (2)设 g(x)=,求函数 g(x)在 x∈上的最大值,并确定此时 x 的值. 解:(1)由题图知 A=2,,则=4×, ∴ω =. 又 f=2sin=2sin=0,∴sin=0, ∵0<φ <,-<φ -, ∴φ -=0,即 φ =, ∴f(x)的解析式为 f(x)=2sin. (2)由(1)可得 f=2sin =2sin, g(x)==4× =2-2cos, ∵x∈, ∴-≤3x+, ∴当 3x+=π ,即 x=时,g(x)max=4.?导学号 92950974? 19.(12 分)设向量 a=(4cos α ,sin α ),b=(sin β ,4cos β ),c=(cos β ,-4sin β ). (1)若 a 与 b-2c 垂直,求 tan(α +β )的值; (2)求|b+c|的最大值; (3)若 tan α tan β =16,求证:a∥b. (1)解:因为 a 与 b-2c 垂直,所以 a·(b-2c)=4cos α sin β -8cos α cos β +4sin α cos β +8sin α sin β =4sin(α +β )-8cos(α +β )=0,因此 tan(α +β )=2. (2)解:由 b+c=(sin β +cos β ,4cos β -4sin β ), 得|b+c|= =≤4.

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又当 β =kπ -(k∈Z)时,等号成立, 所以|b+c|的最大值为 4. (3)证明:由 tan α tan β =16,得 16cos α cos β =sin α sin β , 所以 a∥b. 20.(12 分)(2015 陕西,理 17)△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.向量 m=(a,b)与 n=(cos A,sin B)平行. (1)求 A; (2)若 a=,b=2,求△ABC 的面积. 解:(1)因为 m∥n,所以 asin B-bcos A=0. 由正弦定理,得 sin Asin B-sin Bcos A=0. 又 sin B≠0,从而 tan A=. 由于 0<A<π ,所以 A=. 2 2 2 2 2 (2)(方法一)由余弦定理,得 a =b +c -2bccos A,而 a=,b=2,A=,得 7=4+c -2c,即 c -2c-3=0. 因为 c>0,所以 c=3. 故△ABC 的面积为 bcsin A=. (方法二)由正弦定理,得,从而 sin B=. 又由 a>b,知 A>B,所以 cos B=. 故 sin C=sin(A+B)=sin =sin Bcos+cos Bsin. 所以△ABC 的面积为 absin C=. 3 2 21.(12 分)已知函数 f(x)=x +ax -x+c,且 a=f'. (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间; 3 x (3)设函数 g(x)=(f(x)-x )·e ,若函数 g(x)在 x∈[-3,2]上单调递增,求实数 c 的取值范围. 3 2 2 解:(1)由 f(x)=x +ax -x+c,得 f'(x)=3x +2ax-1. 当 x=时,得 a=f'=3×+2a×-1, 解得 a=-1. 3 2 (2)由(1)可知 f(x)=x -x -x+c, 2 则 f'(x)=3x -2x-1=3(x-1), 由 f'(x)>0,得 x<-,或 x>1; 由 f'(x)<0,得-<x<1. 所以 f(x)的单调递增区间是和(1,+∞),f(x)的单调递减区间是. 3 x 2 x x 2 x 2 x (3)函数 g(x)=(f(x)-x )·e =(-x -x+c)·e ,有 g'(x)=(-2x-1)e +(-x -x+c)e =(-x -3x+c-1)e , 因为函数 g(x)在 x∈[-3,2]上单调递增, 2 所以 h(x)=-x -3x+c-1≥0 在 x∈[-3,2]上恒成立. 只要 h(2)≥0,解得 c≥11,所以 c 的取值范围是[11,+∞).?导学号 92950975? 2 22.(12 分)已知函数 f(x)=x -aln x(a∈R). (1)若函数 f(x)在 x=2 处的切线方程为 y=x+b,求 a,b 的值; (2)若函数 f(x)在(1,+∞)上为增函数,求 a 的取值范围; (3)讨论方程 f(x)=0 的解的个数,并说明理由. 解:(1)因为 f'(x)=x-(x>0), 又 f(x)在 x=2 处的切线方程为 y=x+b, 所以 解得 a=2,b=-2ln 2. (2)若函数 f(x)在(1,+∞)上为增函数,则 f'(x)=x-≥0 在(1,+∞)上恒成立, 2 即 a≤x 在(1,+∞)上恒成立,所以 a≤1. (3)当 a=0 时,f(x)在定义域(0,+∞)上恒大于 0,此时方程无解. 当 a<0 时,f'(x)=x->0 在(0,+∞)上恒成立,所以 f(x)在(0,+∞)上为增函数. 因为 f(1)=>0,f()=-1<0,

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所以方程有唯一解. 当 a>0 时,f'(x)=x-. 因为当 x∈(0,)时,f'(x)<0,则 f(x)在(0,)上为减函数; 当 x∈(,+∞)时,f'(x)>0,则 f(x)在(,+∞)上为增函数. 所以当 x=时,f(x)有极小值,即最小值为 f()=a-alna(1-ln a). 当 a∈(0,e)时,f()=a(1-ln a)>0,方程无解; 当 a=e 时,f()=a(1-ln a)=0, 此方程有唯一解 x=. 当 a∈(e,+∞)时,f()=a(1-ln a)<0, 因为 f>0 且>1, 所以方程 f(x)=0 在区间(0,)上有唯一解. 因为当 x>1 时,(x-ln x)'>0,所以 x-ln x>1, 2 2 所以 x>ln x.f(x)=x -aln x>x -ax. 2 2 因为 2a>>1,所以 f(2a)>(2a) -2a =0, 所以方程 f(x)=0 在区间(,+∞)上有唯一解. 所以方程 f(x)=0 在区间(e,+∞)上有两解. 综上,当 a∈[0,e)时,方程无解; 当 a<0 或 a=e 时,方程有唯一解; 当 a>e 时,方程有两解.?导学号 92950976?

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