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高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《3.1.1两角差的余弦公式》教案


第三章 一、课标要求:

三角恒等变换

本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式,以及运用这 些公式进行简单的恒等变换. 三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习,要使学 生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中,发展推理能力和运算能力, 使学生体会三角恒等变换的工具性作用,学会它们在数学中的一些应用. 1. 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,进一步体会向量方 法的作用; 2. 理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍 角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系; 3. 运用上述公式进行简单的恒等变换,以引导学生推导半角公式,积化和差、 和差化积公式(不要求记忆)作为基本训练,使学生进一步提高运用转化的观 点去处理问题的自觉性,体会一般与特殊的思想,换元的思想,方程的思想等 数学思想在三角恒等变换中的应用. 二、编写意图与特色 1. 本章的内容分为两节:“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”,“简单的 三角恒等变换”,在学习本章之前我们学习了向量的相关知识,因此作者的意图 是选择两角差的余弦公式作为基础,运用向量的知识来予以证明,降低了难度, 使学生容易接受; 2. 本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式; 3. 本章在内容的安排上有明暗两条线,明线是建立公式,学会变换,暗线是发 展推理和运算的能力, 因此在本章全部内容的安排上,特别注意恰时恰点的提出 问题,引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题,强化运用数学思 想方法指导设计变换思路的意识; 4. 本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调 细枝末叶的内容”的理念,严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度,尤 其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据,而只把这些公 式的推导作为变换的基本练习. 三、教学内容及课时安排建议 本章教学时间约 8 课时,具体分配如下: 3.1 两角和与差的正弦、余弦、和正切公式 3.2 简单的恒等变换 复习 §3.1 一、课标要求: 本节的中心内容是建立相关的十一个公式,通过探索证明和初步应用,体会 和认识公式的特征及作用. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 约 3 课时 约 3 课时 约 2 课时

二、编写意图与特色 本节内容可分为四个部分,即引入,两角差的余弦公式的探索、证明及初步 应用,和差公式的探索、证明和初步应用,倍角公式的探索、证明及初步应用. 三、教学重点与难点 1. 重点:引导学生通过独立探索和讨论交流,导出两角和差的三角函数的十一 个公式, 并了解它们的内在联系, 为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础; 2. 难点:两角差的余弦公式的探索与证明. 3.1.1 两角差的余弦公式 一、教学目标 掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用,使学生初步理解公 式的结构及其功能,为建立其它和(差)公式打好基础. 二、教学重、难点 1. 教学重点:通过探索得到两角差的余弦公式; 2. 教学难点:探索过程的组织和适当引导,这里不仅有学习积极性的问题, 还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题, 运用已学知识和方法的能力 问题,等等. 三、学法与教学用具 1. 学法:启发式教学 2. 教学用具:多媒体 四、教学设想: (一)导入:我们在初中时就知道 cos 45? ?
2 3 , cos 30? ? ,由此我们能否 2 2

得到 cos15? ? cos ? 45? ? 30? ? ? ? 大家可以猜想,是不是等于 cos 45? ? cos30? 呢? 根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的! 下面我们就一起探 讨两角差的余弦公式 cos ?? ? ? ? ? ? (二)探讨过程: 在第一章三角函数的学习当中我们知道, 在设角 ? 的终边与单位圆的交点为
P1 , cos? 等于角 ? 与单位圆交点的横坐标,也可以用角 ? 的余弦线来表示,大

家思考:怎样构造角 ? 和角 ? ? ? ?(注意:要与它们的正弦线、余弦线联系起 来.) 展示多媒体动画课件,通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索
c o s?? ? ? ? 与 cos? 、 cos ? 、 sin ? 、 sin ? 之 间 的 关 系 , 由 此 得 到

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ,认识两角差余弦公式的结构.

思考: 我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题,两角差余弦公式我 们能否用向量的知识来证明? 提示:1、结合图形,明确应该选择哪几个向量,它们是怎样表示的? 2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果? 展示多媒体课件 比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处, 体会向量方法的作用与便利之 处. 思考:cos ?? ? ? ? ? ? ,cos ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? ? ? ,再利用两角差的余弦公式得 ? ? 出
cos ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? ? ? ? cos ? cos ? ? ? ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ?

(三)例题讲解 例 1、利用和、差角余弦公式求 cos 75? 、 cos15? 的值. 解:分析:把 75? 、 15? 构造成两个特殊角的和、差.
cos 75? ? cos ? 45? ? 30? ? ? cos 45? cos 30? ? sin 45? sin 30? ?
? cos15 ?

2 3 2 1 6? 2 ? ? ? ? 2 2 2 2 4
1 ? 2 ? 6 ? 2 4

c o s? ? 5 ? 4

?

?

?0 3

? ? c o s 4 5??c o s 3 0

2 3 2 s i ?? 4 5 ? i n 3 0 n s ? 2 2 2

点评:把一个具体角构造成两个角的和、差形式,有很多种构造方法,例如:
cos15? ? cos ? 60? ? 45? ? ,要学会灵活运用.

例 2、已知 sin ? ? 的值.

5 4 ?? ? ,? ? ? , ? ? , cos ? ? ? , ? 是第三象限角,求 cos ?? ? ? ? 13 5 ?2 ?

3 4 ? 4? ?? ? 解:因为 ? ? ? , ? ? , sin ? ? 由此得 cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 5 5 ?5? ?2 ?
2







c
2

? ? ?s o

5 ? 13
2

是, 第
? ? s? ? ?3 1


2 1 1 3













s

?i ? ? ? n

?1 ? ?

? 5 c ? ?o ? ? 1

33 ? 3 ? ? 5 ? 4 ? 12 ? 所以 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 65 ? 5 ? ? 13 ? 5 ? 13 ?

点评:注意角 ? 、 ? 的象限,也就是符号问题. (四)小结:本节我们学习了两角差的余弦公式,首先要认识公式结构的特 征,了解公式的推导过程,熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中 注意角 ? 、 ? 的象限,也就是符号问题,学会灵活运用.


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