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2013年三门峡市八年级学生数学综合能力竞赛


2013 年三门峡市八年级学生综合能力竞赛 数
题号 得分 一 二 13 14


三 15 16 17 总分

一、选择题(每小题 4 分,共 24 分)

1.计算 (1 ?

1 1 1 1 1 )(1 ? 2 )(1 ? 2 )...(1 ? 2 )(1 ? 2 ) 的值是 2 2 3 4 9 10 10 13 9 11 A. B. C. D. 21 21 20 20





2.甲从 A 地到 B 地要走 m 小时,乙从 B 地到 A 地要走 n 小时,甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发相向而行到相遇需要的时间是( ) m?n mn m?n A. B. C. D.m+n 2 m?n mn
3.如图,点 A 在正方体左侧面的中心,点 B 是正方体 的一个顶点,正方体的棱长为 2,一蚂蚁从点 A 沿其表面 爬到点 B 的最短路程是
A B

A. 3

B.

2?2

C. 10

D.4

4.如图,在Rt△ABC中,∠C=900,BD平分∠ABC,交AC于D,沿DE所在直线折叠,点B 恰好与点A重合,若CD=2,则AB的值为 ( )

A、2 3

B、4

C、4 3

D、8 ( )

5.下列说法中,正确的个数是

①已知直角三角形的面积为 2,两直角边的比为 1:2,则斜边长为 10 ; ②直角三角形的最大边长为 3 ,最短边长为 1,则另一边长为 2 ; ③在 ?ABC 中,若 ?A : ?B : ?C ? 1: 5 : 6 ,则 ?ABC 为直角三角形; ④等腰三角形面积为 12,底边上的高为 4,则腰长为 5。 A.1 B.2 C.3 D.4 6.如图,已知动点 P 在函数 y ?

1 ? x ? 0 ? 的图像上运动, 2x

PM⊥x 轴于点 M,PN⊥y 轴于点 N,线段 PM、PN 分别与直线 AB:y=-x+1 交于点 E、F,则 AF· BE

的值为 A. 4 B. 2 C. 1 D.





1 2

二、填空题(每小题 4 分,共 24 分) 7..如图是三个反比例函数 y ?
k 3 的大小关系为
y=

k k k1 y , y ? 2 , y ? 3 在 x 轴上方的图象,则 k 1 、 k 2 、 x x x k3
y= x k1 x y= O k2 x x

1 1 a ? 2ab ? b 8.已知 ? ? 4 ,则 的值等于 a b 2a ? 2b ? 7 ab 2x ? 1 9.已知分式 值为负数,则 x 的取值范围是 3? x

10.已知 a、b、c 是△ABC 的三边的长,且满足 a 2 ? 2b 2 ? c 2 ? 2b(a ? c) ? 0 ,则此三角 形的形状为 11. 如图,Rt△ABC 中,AC=10,BC=24,分别以它的三边为直径向上作三个半圆,则阴

影部分面积为 12.如图,直线 y=-x+b 与双曲线 y= -

1 (x<0)交于点 A,与 x 轴交于点 B,则 OA2-OB2 x

= 三、解答题(本大共 5 小题,13—16 每题 10 分,17 题 12 分,共 52 分)

2 2 2 ? 3 ? 的解为:x1=3,x2= ; x 3 3 2 2 2 2 2 2 x ? ? 4 ? 的解为:x1=4,x2= ; x ? ? 5 ? 的解为:x1=5,x2= . x 4 x 5 4 5 2 2 (1)观察上述方程及解,猜想关于 x 的方程 x ? ? a ? 的解为 x a
13.阅读材料,并完成下列问题:方程 x ?

(2)解方程 x ?

2 2 ?a? x ?1 a ?1

14.我市是著名的苹果生产基地,果品公司从 A 村收购苹果 400 吨,从 B 村收购苹果 600 吨.现在要将这些苹果运到 C,D 两个冷藏仓库储存,已知 C 库可储存 300 吨,D 库可储存 700 吨苹果;从 A 村运往 C,D 两处的费用分别为每吨 20 元和 25 元,从 B 村运往 C,D 两 处的费用分别为每吨 15 元和 18 元. 请你设计一个方案使苹果的运输费用最小, 最小费用是 多少?

15. 如图,直线 y ? kx ? 2k (k≠0)与 x 轴交于点 B, 与双曲线 y ?

4 交于点 A、 其中点 A 在第一象限, C, x

点 C 在第三象限. ⑴ 求 B 点的坐标; ⑵ 若 S△AOB=2,求 A 点的坐标; ⑶ 坐标轴上是否存在点 P,使△AOP 是等腰三角 形?若存在, .. 请直接写出所有 P 点的坐标; 若不存在, 请说明理由.

16.这是一个真实的故事,2008 年 5 月 12 日 14 时 28 分,四川汶川发生了 8.0 级大地震,震 后两小时, 武警某师参谋长王毅奉命率部队乘车火速向汶川县城前进. 日凌晨 1 时 15 分, 13 车行至古尔沟,巨大的山体塌方将道路完全堵塞,部队无法继续前进,王毅毅然决定带领先 遣分队徒步向汶川挺进,到达理县时为救当地受灾群众而耽搁了 1 小时,随后,先遣分队将 步行速度提高 少小时?

1 ,于 13 日 23 时 15 分赶到汶川县城.求先遣分队徒步从理县到汶川用了多 ..... 9

17.如图, x 轴是西气东输工程天然气的主管道,按规定主管道在我市只允许开一个口, A(2,1),B(10,5)是我市新建的两个天然气站,现在要在 x 轴上选一个点开口,分别连接到 A、 B. (1)选择开口点 C,使 C 点到 A、B 两点的距离相等,求点 C 的坐标; (2)是否存在点 D,使点 D 到 A、B 的距离之和最小,若存在,求出 D 到 A、B 的距离之和; 若不存在请说明理由.

答案 一、DBCCDC 二、7、 k3 ? k 2 ? k1 ;8、6;9、 x ? ? 或x ? 3 ;10、等边三角形;11、120;12、2

1 2

三、13、解: (1)x1= a ,x2=
(2)把 x ?

2 ;………3 分 a

2 2 2 2 ?a? ? a ?1? 变形得: x ? 1 ? ,………5 分 x ?1 a ?1 x ?1 a ?1 2 则 x1 ? 1 ? a ? 1, x 2 ? 1 ? ,………7 分 a ?1 a ?1 所以 x1 ? a, x 2 ? ………10 分 a ?1 14、解:设运苹果的总费用为 y 元,从 A 村运 x 吨苹果到 C 库,,则从 A 村运(400 ? x )吨 到 D 库,从 B 村运(300 ? x )吨苹果到 C 库,从 B 村运( x +300)吨苹果到 D 库…2 分
由题意得: y ? 20x ? 25(400? x) ? 15(300? x) ? 18( x ? 300)

? ?2 x ? 19900

(0 ? x ? 300) ………6 分

? 一次函数 y ? ?2 x ? 19900 , y 随 x 的增大而减小

? 当 x ? 300 时, y ? ?2 ? 300? 19900? 19300 最小………9 分
答: 从 A 村运 300 吨苹果到 C 库,,则从 A 村运 100 吨到 D 库, B 村运 600 吨苹果 从 到 D 库,这样苹果的运输费用最小,最小费用是 19300 元.………10 分 15、解: (1)把 y ? 0 代人 y ? kx ? 2k 得: x ? ?2 所以 B 的坐标为(-2,0)………2 分 (2)? S△AOB=2 即

1 ?2? y ? 2 2

?y?2
把 y ? 2 代人 y ?

4 得: x ? 2 x

所以 A 的坐标为(2,2)………6 分 (3)

P (0,2), P2 (0,2 2 ), P3 (0,?2 2 ), P4 (0,4), 1 P 5 (2,0), P6 (2 2, 0), P7 (?2 2 ,0), P8 (4,0)
1 9

………10 分

16、 设先遣分队从古尔沟到理县的平均速度为每小时 x 千米,则从理县到汶川的平均速度为 每小时 (1 ? ) x 千米.………1 分 由题意得:

30 60 ? ? 21………5 分 x (1 ? 1 ) x 9 解分式方程得: x ? 4 ………7 分 经检验 x ? 4 是分式方程的解………8 分 60 ? 13.5 1 (1 ? ) ? 4 9
答:先遣分队徒步从理县到汶川用 13.5 小时.………10 分 ..... 17、 (1) 解: 连结 AB, 作线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于 C 点, 点到 A、 距离相等……… C B 2分 过 A 作 AF ? x 轴于 F,过 B 作 BH ? x 轴于 H. 在 Rt ? AFC 和 Rt ? BHC 中,? AC=BC,FH=10-2=8, 由 勾 股 定 理 得

AF 2 ? CF 2 ? BH 2 ? CH 2
即 1 ? CF ? 5 ? (8 ? CF )
2 2 2 2

解得 CF=5.5 ? OC=7.5 C 点坐标为(7.5,0)………7 分 (2)存在点 D,作 A 点关于 x 轴对称点 E 连结 BE,交 x 轴于点 D,D 点到 A、B 的距离之 和最小,………9 分

DA ? DB ? EB ? 62 ? 82 ? 10 ………12 分


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