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福建省福州八中2015届高考数学四模试卷(理科)


福建省福州八中 2015 届高考数学四模试卷(理科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.把正确选项涂在答题卡的相应位置上. ) 1. (5 分)已知 A={x|x+1>0},B={﹣2,﹣1,0,1},则(?RA)∩B=() A.{﹣2,﹣1} B.{﹣2} C.{﹣2,0,1} D.

{0,1}

2. (5 分)若双曲线 率为() A.



=1(a>0,b>0)的渐近线方程式 y=±

x,则双曲线的离心

B.
x

C. 2

D.

3. (5 分)已知命题 p:?x∈R,log2(3 +1)≤0,则() x A.p 是假命题;¬p:?x∈R,log2(3 +1)≤0 x B. p 是假命题;¬p:?x∈R,log2(3 +1)>0 x C. p 是真命题;¬p:?x∈R,log2(3 +1)≤0 x D.p 是真命题;¬p:?x∈R,log2(3 +1)>0 4. (5 分)设 ab>0,下面四个不等式中,正确的是() ①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|a﹣b|;④|a+b|>|a|﹣|b| A.①和② B.①和③ C.①和④ 5. (5 分)已知 a 为常数,则使得 A.a>0 B.a<0

D.②和④

成立的一个充分而不必要条件是() C.a>e D.a<e

6. (5 分)已知点 O、A、B 不在同一条直线上,点 P 为该平面上一点,且 2 则() A.点 P 在线段 AB 上 B. 点 P 在线段 AB 的反向延长线上 C. 点 P 在线段 AB 的延长线上 D.点 P 不在直线 AB 上

=2

+



7. (5 分)已知点 P(a,b) (ab≠0)是圆 x +y =r 内的一点,直线 m 是以 P 为中点的弦所 2 在直线,直线 l 的方程为 ax+by=r ,那么() A.m∥l,且 l 与圆相交 B. m⊥l,且 l 与圆相切 C. m∥l,且 l 与圆相离 D.m⊥l,且 l 与圆相离

2

2

2

8. (5 分)若平面区域

的面积为 3,则实数 k 的值为()

A.

B.

C.

D.

9. (5 分) 已知函数

, 当 x∈时, f (x) =lnx, 若在区间

内,函数 g(x)=f(x)﹣ax,有三个不同的零点,则实数 a 的取值范围是() A. B. C. D.

10. (5 分)已知抛物线 C1:x =4py,圆 C2:x +(y﹣p) =p ,直线 l:y= x+p,其中 p> 0,直线 l 与 C1,C2 的四个交点按横坐标从小到大依次为 A,B,C,D,则 ? 的值为()

2

2

2

2

A.

B.

C.

D.p

2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置. 11. (4 分)已知两条直线 l1: (2+m)x+4y=5﹣3m,l2:2x+(5﹣m)y=8 互相垂直,则 m=. 12. (4 分)已知 cos(α+ )=﹣ ,则 sin(α﹣ )=.

13. (4 分)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=﹣11,a4+a6=﹣6,则当 Sn 取最小值时, n 等于.

14. (4 分)若函数

且 a≠2,b>0 且 b≠1)的图

象关于 y 轴对称,则 a+8b 的最小值为. 15. (4 分)设 V 是已知平面 M 上所有向量的集合,对于映射 f:V→V,a∈V,记 a 的象为 f(a) .若映射 f:V→V 满足:对所有 a,b∈V 及任意实数 λ,μ 都有 f(λa+μb)=λf(a)+μf (b) ,则 f 称为平面 M 上的线性变换.现有下列命题:

①设 f 是平面 M 上的线性变换,a∈V,则对任意实数 k 均有 f(ka)=kf(a) ; ②对 a∈V,设 f(a)=2a,则 f 是平面 M 上的线性变换; ③设 f 是平面 M 上的线性变换,a,b∈V,若 a,b 共线,则 f(a) ,f(b)也共线; ④若 e 是平面 M 上的单位向量,对 a∈V,设 f(a)=a﹣e,则 f 是平面 M 上的线性变换. 其中真命题是(写出所有真命题的序号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (13 分)在数列{an}中,a1=1, ﹣ = (n∈N ) .
*

(1)求证数列{ an}为等差数列,并求出它的通项公式; (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,是否存在正整数 n,使得 S1+ + +…+ ﹣

=2014 成立?若存在,求出 n 的值;若不存在,请说明理由.

17. (13 分)已知函数 (Ⅰ)求函数 f(x)的单调递增区间及对称轴方程; (Ⅱ)当 时,f(x)的最大值为 9,求实数 m 的值.

R) .

18. (13 分)已知 f(x)=2sin(

) ,集合 M={x||f(x)|=2,x>0},把 M 中的元素
*

从小到大依次排成一行,得到数列{an}(n∈N ) . (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}满足:b1=1,bn+1=bn+a2n,求{bn}的通项公式. 19. (13 分)某港湾的平面示意图如图所示,O,A,B 分别是海岸线 l1,l2 上的三个集镇, A 位于 O 的正南方向 6km 处,B 位于 O 的北偏东 60°方向 10km 处. (Ⅰ)求集镇 A,B 间的距离; (Ⅱ)随着经济的发展,为缓解集镇 O 的交通压力,拟在海岸线 l1,l2 上分别修建码头 M, N,开辟水上航线.勘测时发现:以 O 为圆心,3km 为半径的扇形区域为浅水区,不适宜船 只航行.请确定码头 M,N 的位置,使得 M,N 之间的直线航线最短.

20. (14 分)如图,正方形 CDEF 内接于椭圆

+

=1(a>b>0) ,且它的四条边与坐标

轴平行,正方形 GHPQ 的顶点 G,H 在椭圆上,顶点 P,Q 在正方形的边 EF 上.且 CD=2PQ= .

(1)求椭圆的方程; (2)已知点 M(2,1) ,平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m≠0) ,l 交椭圆于 A, B 两个不同点,求证:直线 MA,MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.

21. (14 分)巳知函数 f(x)=x ﹣2ax﹣2alnx,g(x)=ln x+2a ,其中 x>0,a∈R. (Ⅰ)若 x=1 是函数 f(x)的极值点,求 a 的值; (Ⅱ)若 f(x)在区间(2,+∞)上单调递增,求 a 的取值范围; (Ⅲ)记 F(x)=f(x)+g(x) ,求证: .

2

2

2

福建省福州八中 2015 届高考数学四模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.把正确选项涂在答题卡的相应位置上. ) 1. (5 分)已知 A={x|x+1>0},B={﹣2,﹣1,0,1},则(?RA)∩B=() A.{﹣2,﹣1} B.{﹣2} C.{﹣2,0,1} D.{0,1} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 先利用一元一次不等式的解法化简集合 A, 再求其在实数集中的补集, 最后求集合 B 与 A 的补集的交集即可. 解答: 解:∵A={x|x+1>0}={x|x>﹣1}, ∴CUA={x|x≤﹣1}, ∴(?RA)∩B={x|x≤﹣1}∩{﹣2,﹣1,0,1}={﹣2,﹣1} 故选 A. 点评: 本题主要考查了集合的补集与交集运算,属于集合运算的常规题.

2. (5 分)若双曲线 率为() A.



=1(a>0,b>0)的渐近线方程式 y=±

x,则双曲线的离心

B.

C. 2

D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的渐近线方程是 y=± ,即可得出结论. x,可得 = ,利用

双曲线的离心率 e= =

解答: 解:∵双曲线



=1(a>0,b>0)的渐近线方程是 y=±

x,

∴ =

, =2.

∴双曲线的离心率 e= = 故选:C.

点评: 本题考查双曲线的简单性质,考查学生的计算能力,确定 =
x

是关键.

3. (5 分)已知命题 p:?x∈R,log2(3 +1)≤0,则() x A.p 是假命题;¬p:?x∈R,log2(3 +1)≤0 x B. p 是假命题;¬p:?x∈R,log2(3 +1)>0 x C. p 是真命题;¬p:?x∈R,log2(3 +1)≤0 x D.p 是真命题;¬p:?x∈R,log2(3 +1)>0 考点: 命题的否定;特称命题. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论. x 解答: 解:∵3 >0, x x ∴3 +1>1,则 log2(3 +1)>0, ∴p 是假命题; x ¬p:?x∈R,log2(3 +1)>0. 故选:B. 点评: 本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础. 4. (5 分)设 ab>0,下面四个不等式中,正确的是() ①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|a﹣b|;④|a+b|>|a|﹣|b| A.①和② B.①和③ C.①和④

D.②和④

考点: 不等关系与不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 根据不等式的关系即可比较大小. 解答: 解:∵ab>0,∴a,b 同号. ①|a+b|=|a|+|b|>|a|;∴①正确, ②|a+b|=|a|+|b|>|b|;∴②错误; ③|a+b|=|a|+|b|>|a﹣b|;∴③错误; ④|a+b||=|a|+|b|>|a|﹣|b|,∴④正确. 故选:C. 点评: 本题主要考查不等式的大小比较,利用绝对值不等式的性质是解决本题的关键.

5. (5 分)已知 a 为常数,则使得 A.a>0 B.a<0

成立的一个充分而不必要条件是() C.a>e D.a<e

考点: 微积分基本定理;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: 由定积分计算公式,求出函数 f(x)= 的一个原函数 F(x)=lnx,从而利用微积 分基本定理得到 =lne,结合充分条件、必要条件的定义,即可得到不等式成立的

一个充分而不必要条件. 解答: 解:由积分运算法则,得 =lnx 因此,不等式即 =lne﹣ln1=1 即 a>1,对应的集合是(1,+∞)

将此范围与各个选项加以比较,只有 C 项对应集合(e,+∞)是(1,+∞)的子集 ∴原不等式成立的一个充分而不必要条件是 a>e 故选:C 点评: 本题给出关于定积分的一个不等式, 求使之成立的一个充分而不必要条件, 着重考 查了定积分计算公式和充要条件的判断等知识,属于基础题.

6. (5 分)已知点 O、A、B 不在同一条直线上,点 P 为该平面上一点,且 2 则() A.点 P 在线段 AB 上 B. 点 P 在线段 AB 的反向延长线上 C. 点 P 在线段 AB 的延长线上 D.点 P 不在直线 AB 上 考点: 平行向量与共线向量. 专题: 计算题.

=2

+



分析: 根据 2

=2

+

,利用向量减法的三角形法则得到

,然后根据向量的

定义和共线向量定理即可求得答案. 解答: 解:∵2 ∴2 ﹣2 = =2 + , ,

,即

∴点 P 在线段 AB 的反向延长线上, 故选 B. 点评: 本题考查共线向量定理以及向量加减法的三角形法则,对 2 决此题的关键,属基础题. 7. (5 分)已知点 P(a,b) (ab≠0)是圆 x +y =r 内的一点,直线 m 是以 P 为中点的弦所 2 在直线,直线 l 的方程为 ax+by=r ,那么() A.m∥l,且 l 与圆相交 B. m⊥l,且 l 与圆相切 C. m∥l,且 l 与圆相离 D.m⊥l,且 l 与圆相离 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由 P 在圆内, 得到 P 到圆心距离小于半径, 利用两点间的距离公式列出不等式 a +b 2 <r ,由直线 m 是以 P 为中点的弦所在直线,利用垂径定理得到直线 OP 与直线 m 垂直, 根据直线 OP 的斜率求出直线 m 的斜率, 再表示出直线 l 的斜率, 发现直线 m 与 l 斜率相同, 可得出两直线平行,利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线 l 的距离,利用得出的不等 式变形判断出 d 大于 r,即可确定出直线 l 与圆相离. 解答: 解:∵点 P(a,b) (ab≠0)在圆内, 2 2 2 ∴a +b <r , ∵kOP= ,直线 OP⊥直线 m, ∴km=﹣ , ∵直线 l 的斜率 kl=﹣ =km, ∴m∥l, ∵圆心 O 到直线 l 的距离 d= > =r,
2 2 2 2 2

=2

+

变形是解

∴l 与圆相离. 故选 C. 点评: 此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:两点间的距离公式,点到直线的 距离公式,两直线垂直、平行时直线斜率满足的关系,直线与圆的位置关系由 d 与 r 的大小 来判断,当 d>r 时,直线与圆相离;当 d<r 时,直线与圆相交;当 d=r 时,直线与圆相切 (其中 d 为圆心到直线的距离,r 为圆的半径) .

8. (5 分)若平面区域

的面积为 3,则实数 k 的值为()

A.

B.

C.

D.

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,根据平面区域的面积,建立方程关 系,即可得到 结论. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: ∵y=k(x+1)过定点 B(﹣1,0) , ∴根据图象可知 k<kAB, 即 k<2, 由图象可知 A(0,2) , 由 得 ,

即|AC|=

, = =3,

∴三角形的面积为 解得 k= , 故选:B

点评: 本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域以及三角形面积的计算, 利用数形结 合是解决本题的关键. , 当 x∈时, f (x) =lnx, 若在区间

9. (5 分) 已知函数

内,函数 g(x)=f(x)﹣ax,有三个不同的零点,则实数 a 的取值范围是() A. B. C. D.

考点: 利用导数研究函数的单调性;函数解析式的求解及常用方法;函数的零点. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 可以根据函数 间 ,求出 x 在上的解析式,已知在区

内,函数 g(x)=f(x)﹣ax,有三个不同的零点,对 g(x)进行求导,利用导

数研究其单调性,从而求出 a 的范围; 解答: 解:在区间 内,函数 g(x)=f (x)﹣ax,有三个不同的零点,

①a>0 若 x∈时,f(x)=lnx,可得 g(x)=lnx﹣ax, (x>0) g′(x)= ﹣a= ,

若 g′(x)<0,可得 x> ,g(x)为减函数, 若 g′(x)>0,可得 x< ,g(x)为增函数, 此时 f(x)必须在上有两个交点,



,解得,

≤a< ①

设 <x<1,可得 1< <3, ∴ g′(x)= , <0,g(x)为增函数 ,g(x)为减函数, =2ln ,此时 g(x)=﹣2lnx﹣ax,

若 g′(x)>0,可得 x< 若 g′(x)<0,可得 x>

在上有一个交点,则

,解得 0<a≤6ln3②

综上①②可得

≤a< ; 内,函数 g

②若 a<0,对于 x∈时,g(x)=lnx﹣ax>0,没有零点,不满足在区间 (x)=f(x)﹣ax,有三个不同的零点, 综上: ≤a< ;

故选 A; 点评: 此题充分利用了分类讨论的思想,是一道综合题,难度比较大,需要排除 a<0 时 的情况,注意解方程的计算量比较大,注意学会如何分类讨论;
2 2 2 2

10. (5 分)已知抛物线 C1:x =4py,圆 C2:x +(y﹣p) =p ,直线 l:y= x+p,其中 p> 0,直线 l 与 C1,C2 的四个交点按横坐标从小到大依次为 A,B,C,D,则 ? 的值为()

A.

B.

C.

D.p

2

考点: 平面向量数量积的运算;直线与圆的位置关系. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由题意可得抛物线的焦点 C2 (0, p) , 求得|AB|=|AC2|﹣|BC2|=yA, 同理求得|CD|=yD, 再根据 =|AB|?|CD|,利用韦达定理计算求得结果.

解答: 解:由题意可得抛物线的焦点 C2(0,p) ,|AB|=|AC2|﹣|BC2|=yA+p﹣p=yA, 同理求得|CD|=yD,∴ =|AB|?|CD|=yA?yD,

而由

,可得 y ﹣3py+p =0,∴yA?yD=p ,

2

2

2

故选:D. 点评: 本题考查圆锥曲线的性质和应用,解题时要认真审题,注意公式的合理运用,属于 基础题. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置. 11. (4 分) 已知两条直线 l1: (2+m)x+4y=5﹣3m,l2:2x+ (5﹣m)y=8 互相垂直,则 m=12. 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 计算题. 分析: 利用 l1: (2+m)x+4y=5﹣3m,l2:2x+(5﹣m)y=8 互相垂直,得出 2(2+m)+4 (5﹣m)=0 求出 m 的值. 解答: 解:∵l1: (2+m)x+4y=5﹣3m,l2:2x+(5﹣m)y=8 互相垂直, ∴2(2+m)+4(5﹣m)=0 解得 m=12 故答案为:12. 点评: 本题考查直线系方程的应用,直线的垂直条件的应用,考查计算能力.

12. (4 分)已知 cos(α+

)=﹣ ,则 sin(α﹣

)= .

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 原式中的角度变形后,利用诱导公式化简即可得到结果. 解答: 解:∵cos(α+ ∴sin(α﹣ 故答案为: 点评: 此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键. 13. (4 分)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=﹣11,a4+a6=﹣6,则当 Sn 取最小值时, n 等于 6. 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 根据等差数列的性质化简 a4+a6=﹣6,得到 a5 的值,然后根据 a1 的值,利用等差 数列的通项公式即可求出公差 d 的值,根据 a1 和 d 的值写出等差数列的通项公式,进而写 出等差数列的前 n 项和公式 Sn,配方后即可得到 Sn 取最小值时 n 的值. 解答: 解:由 a4+a6 =2a5=﹣6,解得 a5=﹣3,又 a1=﹣11, 所以 a5=a1+4d=﹣11+4d=﹣3,解得 d=2, 则 an=﹣11+2(n﹣1)=2n﹣13, 所以 Sn= =n ﹣12n=(n﹣6) ﹣36,
2 2

)=﹣ , )= .

)=sin=﹣sin=﹣cos(α+

所以当 n=6 时,Sn 取最小值. 故答案为:6 点评: 此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前 n 项和公式化简求值, 掌握等差数 列的性质,是一道基础题.

14. (4 分)若函数

且 a≠2,b>0 且 b≠1)的图

象关于 y 轴对称,则 a+8b 的最小值为 8. 考点: 专题: 分析: 解答: 指数函数的图像与性质. 综合题;函数的性质及应用. 由题意可得 f(﹣1)=f(1) ,可得 ab=2,利用基本不等式可求答案. 解:∵f(x)的图象关于 y 轴对称,

∴f(﹣1)=f(1) ,即 1﹣ =1﹣ , ∴ab=2,又 a>0,b>0, ∴a+8b≥2 =2 =8,当且仅当 a=8b 时取等号, 由 解得 a=4,b= ,即 a=4,b= 时 a+8b 取最小值 8,

故答案为:8. 点评: 本题考查指数函数的图象和性质、 基本不等式求函数最值, 利用基本不等式求最值 时注意条件:一正、二定、三相等. 15. (4 分)设 V 是已知平面 M 上所有向量的集合,对于映射 f:V→V,a∈V,记 a 的象为 f(a) .若映射 f:V→V 满足:对所有 a,b∈V 及任意实数 λ,μ 都有 f(λa+μb)=λf(a)+μf (b) ,则 f 称为平面 M 上的线性变换.现有下列命题: ①设 f 是平面 M 上的线性变换,a∈V,则对任意实数 k 均有 f(ka)=kf(a) ; ②对 a∈V,设 f(a)=2a,则 f 是平面 M 上的线性变换; ③设 f 是平面 M 上的线性变换,a,b∈V,若 a,b 共线,则 f(a) ,f(b)也共线; ④若 e 是平面 M 上的单位向量,对 a∈V,设 f(a)=a﹣e,则 f 是平面 M 上的线性变换. 其中真命题是①②③(写出所有真命题的序号) 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 新定义;集合. 分析: 对所有 a、b∈V 及任意实数 λ,μ 都有 f(λa+μb)=λf(a)+μf(b) ,则 f 称为平面 M 上的线性变换,抓住概念核心式,利用赋值法,对四个命题逐一分析. 解答: 解;①令 λ=k,μ=0,则 f(ka)=kf(a) ,故①是真命题, ②对 a∈V,设 f(a)=2a,则 f(λa+μb)=2(λa+μb) , λf(a)+μf(b)=2λa+2μb=2(λa+μb) , 即 f(λa+μb)=λf(a)+μf(b) ,f 是平面 M 上的线性变换,故②是真命题; ③若 a,b 共线,则?实数 λ,使得 a=λb,f(0)=f(a﹣λb)=f(a)﹣λf(b)?f(a)=λf (b) , 即 f(a) ,f(b)也共线,故③是真命题; ④由 f(a)=a﹣e,则有 f(b)=b﹣e,f(λa+μb)=(λa+μb)﹣e 则 λ?(a﹣e)+μ?(b﹣e)﹣e=λf(a)+μf(b)﹣e, ∵e 是单位向量,e≠0,故④是假命题. 故答案为:①②③. 点评: 本题考查命题的真假判断与应用,着重考查对新定义“平面 M 上的线性变换”的理 解与应用,考查赋值法. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (13 分)在数列{an}中,a1=1, ﹣ = (n∈N ) .
*

(1)求证数列{an}为等差数列,并求出它的通项公式;

(2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,是否存在正整数 n,使得 S1+

+

+…+



=2014 成立?若存在,求出 n 的值;若不存在,请说 明理由.

考点: 数列递推式;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由等差数列的定义及通项公式即可求得结论; (2)由等差数列的前 n 项和公式求得结论即可. 解答: 解: (1)由 ﹣ = 得,an+1﹣an=2,

又 a1=1,所以数列{an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列, 所以 an=1+2(n﹣1)=2n﹣1. (2)由(1)得 sn=n ,
2

=n,
2

则 S1+

+

+…+



=

﹣ (n﹣1) = (3n﹣1) ,

由 (3n﹣1)=2014 得 n=1343. ∴存在满足条件的自然数 n=1343. 点评: 本题主要考查等差数列的定义、通项公式、前 n 项和等知识;考查学生运算求解能 力及函数与方程思想的运用能力,综合性强,属难题.

17. (13 分)已知函数 (Ⅰ)求函数 f(x)的单调递增区间及对称轴方程; (Ⅱ)当 时,f(x)的最大值为 9,求实数 m 的值.

R) .

考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象;三角函数的最值. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)利用三角函数中的恒等变换应用,可求得 f(x)=2sin(2x+ )+m+2,利

用正弦函数的单调性与对称性可求得函数 f (x)的单调递增区间及对称轴方程; (Ⅱ)当 x∈时, ≤2x+ ≤ , ≤sin(2x+ )≤1,从而可求得 f(x)∈,利用 f(x)
2

的最大值为 9,可求实数 m 的值. 2 解答: 解: (Ⅰ)f(x)=sin x+2 = = + sin2x+3×

sinxcosx+3cos x+m +m

sin2x+cos2x+m+2

=2sin(2x+ 由﹣ 得﹣

)+m+2, ≤ +2kπ,k∈Z,

+2kπ≤2x+ +kπ≤x≤

+kπ,k∈Z,

∴函数 f(x)的单调增区间为(k∈Z) . 由 2x+ = +kπ(k∈Z)得,x= + + , ,k∈Z, ,k∈Z.

∴函数 f(x)的对称轴方程是 x= (Ⅱ)∵当 x∈时, ∴ ≤sin(2x+ ≤2x+ ≤

)≤1, )+m+2≤4+m

∴3+m≤2sin(2x+

∴4+m=9,解得 m=5. ∴实数 m 的值为 5. 点评: 本题主要考查三角函数的图象与性质、 三角恒等变换等基础知识, 考查推理论证能 力和运算求解能力,考查函数与方程的思想、化归与转化的思想和数形结合的思想,属于中 档题.

18. (13 分)已知 f(x)=2sin(

) ,集合 M={x||f(x)|=2,x>0},把 M 中的元素
*

从小到大依次排成一行,得到数列{an}(n∈N ) . (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}满足:b1=1,bn+1=bn+a2n,求{bn}的通项公式. 考点: 数列与三角函数的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用|f(x)|=|2sin( )|=2,求出 M,可得数列{an}组成以 1 为首项,

公差为 3 的等差数列,从而可得数列{an}的通项公式; (2)利用叠加法,结合等比数列的求和公式,即可求{bn}的通项公式. 解答: 解: (1)由|f(x)|=|2sin( ∴ = )|=2,得 sin( )=±1

∴x=3k+1,k∈Z ∴M={x|x=3k+1,k∈N}, * ∵把 M 中的 元素从小到大依次排成一行,得到数列{an}(n∈N ) . ∴a1=1,a2=4,a3=7,…,依次组成公差为 3 的等差数列, ∴an=3n﹣2;

(2)当 n≥2 时,bn=(bn﹣bn﹣1)+(bn﹣1﹣bn﹣2)+…+(b2﹣b1)+b1 = =3(2 =3?
n

+
n﹣1

+…+
n﹣2

+b1

+2

+…+2)﹣2(n﹣1)+1 ﹣2(n﹣1)+1

=3?2 ﹣2n﹣3 验证,当 n=1 时,上式也成立 n ∴bn=3?2 ﹣2n﹣3 点评: 本题考查三角函数知识,考查等差数列的判定与通项,考查叠加法,考查数列的求 和,考查学生的计算能力,属于中档题. 19. (13 分)某港湾的平面示意图如图所示,O,A,B 分别是海岸线 l1,l2 上的三个集镇, A 位于 O 的正南方向 6km 处,B 位于 O 的北偏东 60°方向 10km 处. (Ⅰ)求集镇 A,B 间的距离; (Ⅱ)随着经济的发展,为缓解集镇 O 的交通压力,拟在海岸线 l1,l2 上分别修建码头 M, N,开辟水上航线.勘测时发现:以 O 为圆心,3km 为半径的扇形区域为浅水区,不适宜船 只航行.请确定码头 M,N 的位置,使得 M,N 之间的直线航线最短.

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 应用题;解三角形. 分析: (Ⅰ)在△ ABO 中,根据余弦定理,可求 AB; (Ⅱ)依题意得,直线 MN 必与圆 O 相切.设切点为 C,连接 OC,则 OC⊥MN,利用面 2 2 2 2 2 积求出 xy,由余弦定理得,c =x +y ﹣2xycos120°=x +y +xy≥3xy,即可得出结论. 解答: 解: (Ⅰ)在△ ABO 中,OA=6,OB=10,∠AOB=120°,…(1 分) 2 2 2 根据余弦定理得,AB =OA +OB ﹣2?OA?OB?cos120°…(3 分) = ,

所以 AB=14. 故 A,B 两集镇间的距离为 14km.…(5 分) (Ⅱ)依题意得,直线 MN 必与圆 O 相切.设切点为 C,连接 OC,则 OC⊥MN.…(6 分) 设 OM=x,ON=y,MN=c,

在△ OMN 中,由 得
2 2 2

, ,即
2

,…(8 分)
2

由余弦定理得,c =x +y ﹣2xycos120°=x +y +xy≥3xy,…(10 分) 所以 ,解得 ,…(11 分)

当且仅当 x=y=6 时,c 取得最小值 . 所以码头 M,N 与集镇 O 的距离均为 6km 时,M,N 之间的直线航线最短,最短距离为 km.…(12 分) 点评: 本小题主要考查解三角形、基本不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查化归 与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等.

20. (14 分)如图,正方形 CDEF 内接于椭圆

+

=1(a>b>0) ,且它的四条边与坐标

轴平行,正方形 GHPQ 的顶点 G,H 在椭圆上,顶点 P,Q 在正方形的边 EF 上.且 CD=2PQ= .

(1)求椭圆的方程; (2)已知点 M(2,1) ,平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m≠0) ,l 交椭圆于 A, B 两个不同点,求证:直线 MA,MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)求出点 E( b,即可求椭圆的方程; (2) 设直线 MA、 MB 的斜率分别为 k1, k2, 只需证明 k1+k2=0 即可. 直线 l 方程为 y= x+m, , ) ,点 G( , ) ,代入椭圆方程,求出 a,

代入椭圆方程

,消去 y,利用韦达定理,结合斜率公式,化简可得结论. ,∴点 E( , ) , , ) ,

解答: (1)解:∵CD= 又∵PQ= ,∴点 G(



解得



∴椭圆方程

. (4 分)

(2)证明:设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1,k2,只需证明 k1+k2=0 即可,设 A(x1,y1) , B(x2,y2) ,则 直线 l 方程为 y= x+m,代入椭圆方程
2 2


2

消去 y,x +2mx+2m ﹣4=0 可得 x1+x2=﹣2m,x1x2=2m ﹣4. (9 分) 而 k1+k2= = =

=0, (12 分) ∴k1+k2=0,故直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形. (13 分) 点评: 本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理的运用,考 查学生的计算能力,属于中档题. 21. (14 分)巳知函数 f(x)=x ﹣2ax﹣2alnx,g(x)=ln x+2a ,其中 x>0,a∈R. (Ⅰ)若 x=1 是函数 f(x)的极值点,求 a 的值; (Ⅱ)若 f(x)在区间(2,+∞)上单调递增,求 a 的取值范围; (Ⅲ)记 F(x)=f(x)+g(x) ,求证: .
2 2 2

考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)根据极点的定义很容易求出 a 的值,由于只是导函数在一点的导数等于 0, 不能说明这一点是极点,所以求出 a 之后需验证它是否是极点. (Ⅱ)由 f(x)在区间(2,+∞)上单调递增,便得到在该区间上 f′(x)≥0,然后用 x 表 示 a,即得到 ,只需求
2

的范围即可.
2 2

(Ⅲ)求出 F(x)=x ﹣2ax﹣2alnx+ln x+2a ,通过观察 F(x)的解析式的形式,能够想到 解析式里可能存在完全平方式,所以试着构造完全平方式,结果能构造出完全平方式,并得 到:F(x)= 可,这点的说明,利用求导数,根据单调性判断即可. ,所以只要 x ﹣lnx≥1 即

解答: 解: (Ⅰ) ∵x=1 是函数 f(x)的极值点; ∴f′(1)=2﹣2a﹣2a=0,解得 ; .



经检验 x=1 为函数 f(x)的极值点,所以

(II)∵f(x)在区间(2,+∞)上单调递增; ∴ 在区间(2,+∞)上恒成立;



对区间(2,+∞)恒成立; ,则 ;



当 x∈(2,+∞)时,M′(x)>0,有 ∴a 的取值范围为
2




2 2

(Ⅲ)F(x)=x ﹣2ax﹣2alnx+ln x+2a = 令 则 = ;





令 Q(x)=x﹣lnx,则



显然 Q(x)在(0,1]上单调递减,在(1,+∞)上单调递增; 则 Q(x)min=Q(1)=1,则 故 . ;

点评: 第一问中的 a 是比较容易求出的,然而需验证求的 a 符合题意,这需要理解极值的 定义.第二问是根据函数导数符号与函数单调性的关系去求解的,而比较关键的是得到 .第三问的关键是构造完全平方式,使一个完全平方式里含 a,另一个不含 a,因 为 a 的值不确定,并且要证的不等式的右边不含 a.


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