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湖南省邵阳市邵东三中2015-2016学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


2015-2016 学年湖南省邵阳市邵东三中高一(上)期中数学试卷
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.把答案涂在答题卡相应位置) 1.已知全集为 R,集合 A={x|x≤1},B={x|x≥﹣2},则 A∪B=( A.R B.{x|﹣2≤x≤1} C.A D.B ) )

r />2.已知全集 I={0,1,2},A={1},B?I 且满足 A∩B={1}的 B 共有个数为( A.1 B.2 C.3 D.4 )

3.下列等式成立的是(

A.log2(8﹣4)=log28﹣log24 B. C.log28=3log22 D.log2(8+4)=log28+log24 4.设 A={x∈Z||x|≤2},B={y|y=x2+1,x∈A},则 B 的元素个数是( A.5 B.4 C.3 D.2 )

5.小明从家骑自行车到学校,出发后心情轻松,缓缓行进,后来怕迟到开始加速行驶,下列 哪一个图象是描述这一现象的( )

A.

B.

C.

D.

6.若函数 f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16)、(0,8)、(0,4)、(0,2)内, 那么下列命题中正确的是( )

A.函数 f(x)在区间(0,1)内有零点 B.函数 f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点 C.函数 f(x)在区间[2,16)内无零点

D.函数 f(x)在区间(1,16)内无零点

7.函数 f(x)=

,则 f{f[f(﹣1)]}等于(

)

A.0

B.﹣1 C.2

D.4 )

8.幂函数 y=xa(α 是常数)的图象( A.一定经过点(0,0)

B.一定经过点(1,1)

C.一定经过点(﹣1,1) D.一定经过点(1,﹣1) 9.已知 lgx﹣lg2y=1,则 的值为( A.2 B.5 C.10 D.20 ) )

10.函数 y=

的值域是(

A.[0,+∞)B.[0,4]

C.(0,4) D.[0,4) )

11. 0) =log2a 若定义在区间 (﹣1, 内的函数 f (x) (x+1) 为减函数, 则 a 的取值范围是( A.(0, ) B.(0, ] C.( ,+∞) D.(0,+∞)

12.已知符号[x]表示“不超过 x 的最大整数”,如[﹣2]=﹣2,[﹣1.5]=﹣2,[2.5]=2,则 [log2 ]+[log2 ]+[log2 ]+[log21]+[log22]+[log23]+[log24]的值为( A.﹣1 B.﹣2 C.0 D.1 )

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡对应题中横线上) 13.已知集合 A={x|y= },B={y=|y=﹣x2+1},则 A∩B=__________.

14.函数 f(x)=2x+a?2﹣x 是偶函数,则 a 的值为___________. 15.函数 f(x)=x2﹣2ax﹣8a 在[5,20]具有单调性,则 a 的取值范围是__________. 16.不等式 3﹣2x﹣2>( )x+1 的解集为__________. 三、解答题(共 6 个小题,共 56 分,把每个题的答案答在答题卡相应题号上,每个题要求写 出必要的解题过程、计算过程及理由,否则不给分) 17.已知全集 U=R,A={x|x≥1},B={x|2ax﹣5>0}, (1)若 a=1,求 A∩(?UB). (2)若 A?B,求 a 的取值范围.

18.若全集 U=R,函数 f(x)= 的值域为 B,求 A∪B 和?U(A∩B). 19.解方程 (1) =

的定义域为 A,函数 g(x)=

(2)log4(3﹣x)=log4(2x+1)+log4(3+x) 20.邵东某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 360 元,每桶水进价 4 元,销 售单价与日均销量的关系如表所示 销售单价/元 日均销售量/桶 5 360 6 320 7 280 8 240 9 200 10 160 11 120

请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价(单价要为整元)才能获得最大利润?最大 利润为多少? 21.已知函数 f(x)=log3(3+x)+log3(3﹣x). (1)求函数 f(x)的定义域和值域; (2)判断函数 f(x)的奇偶性,并说明理由. 22.已知定义域为 R 的函数 f(x)= (1)求 a 的值. (2)判断函数 f(x)在 R 上的单调性并加以证明; (3)若对于任意 t∈R,不等式 f(t2﹣6t)+f(2t2﹣k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. +a 是奇函数,

2015-2016 学年湖南省邵阳市邵东三中高一(上)期中数 学试卷
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.把答案涂在答题卡相应位置) 1.已知全集为 R,集合 A={x|x≤1},B={x|x≥﹣2},则 A∪B=( A.R B.{x|﹣2≤x≤1} C.A D.B )

【考点】并集及其运算. 【专题】计算题;集合思想;定义法;集合. 【分析】由 A 与 B,求出两集合的并集即可. 【解答】解:∵全集为 R,A={x|x≤1},B={x|x≥﹣2}, ∴A∪B=R, 故选:A. 【点评】此题考查了并集及其运算,熟练掌握并集的定义是解本题的关键. 2.已知全集 I={0,1,2},A={1},B?I 且满足 A∩B={1}的 B 共有个数为( A.1 B.2 C.3 D.4 )

【考点】交集及其运算. 【专题】计算题;集合思想;集合. 【分析】由题意找出 I 的子集,使其子集中含有元素 1,即为所求集合 B,找出个数即可. 【解答】解:∵全集 I={0,1,2},A={1},B?I,且满足 A∩B={1}, ∴B={1},{0,1},{1,2},{0,1,2},共 4 个, 故选:D. 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 3.下列等式成立的是( )

A.log2(8﹣4)=log28﹣log24 B. C.log28=3log22 D.log2(8+4)=log28+log24 【考点】对数的运算性质. 【专题】计算题.

【分析】根据对数的运算性质,看出两个数的积,商的对数等于对数的和与差,真数有指数 时,指数要提到对数前面去,考查最基本的运算,分析后得到结果. 【解答】解:log2(8﹣4)≠log28﹣log24=log22.故 A 不正确, ,故 B 不正确, log28=3log22.C 正确 log2(8+4)=log28+log24,D 不正确 故选 C. 【点评】本题考查对数的运算性质,本题解题的关键是熟练应用对数的性质,能够辨别真假, 本题是一个基础题,若出现则是一个送分题目. 4.设 A={x∈Z||x|≤2},B={y|y=x2+1,x∈A},则 B 的元素个数是( A.5 B.4 C.3 D.2 )

【考点】集合的表示法;元素与集合关系的判断. 【专题】计算题. 【分析】将 B 用列举法表示后,作出判断. 【解答】解:A={x∈Z||x|≤2}={﹣2,﹣1,0,1,2}, B={y|y=x2+1,x∈A}={5,2,1} B 的元素个数是 3 故选 C. 【点评】本题考查集合的含义、表示方法.属于简单题. 5.小明从家骑自行车到学校,出发后心情轻松,缓缓行进,后来怕迟到开始加速行驶,下列 哪一个图象是描述这一现象的( )

A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】本题是一个用函数图象表示运动变化规律的题型,把运动变化的规律与转化为函数 图象的变化,作出判断即可得出符合运动过程的选项; 【解答】解:小明从家骑自行车到学校,出发后心情轻松,缓缓行进,后来怕迟到开始加速 行驶,其距离随时间的变化关系是越来越快,故应选图象 B 故选:B. 【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断,通过分析实际情况中离家距离随时间变化 的趋势,找出关键的图象特征,对四个图象进行分析,即可得到答案. 6.若函数 f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16)、(0,8)、(0,4)、(0,2)内, 那么下列命题中正确的是( )

A.函数 f(x)在区间(0,1)内有零点 B.函数 f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点 C.函数 f(x)在区间[2,16)内无零点 D.函数 f(x)在区间(1,16)内无零点 【考点】函数零点的判定定理. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】可判断函数 f(x)唯一的一个零点在区间(0,2)内,从而解得. 【解答】解:∵函数 f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16)、(0,8)、(0,4)、(0, 2)内,

∴函数 f(x)唯一的一个零点在区间(0,2)内, ∴函数 f(x)在区间[2,16)内无零点, 故选:C. 【点评】本题考查了函数的零点的位置的判断与应用.

7.函数 f(x)=

,则 f{f[f(﹣1)]}等于(

)

A.0

B.﹣1 C.2

D.4

【考点】分段函数的应用;函数的值. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】直接利用分段函数的解析式,由里及外逐步求解即可.

【解答】解:函数 f(x)=



则 f(﹣1)=0, f[f(﹣1)]=f(0)=4, f{f[f(﹣1)]}=f(4)= 故选:C. 【点评】本题考查分段函数的应用,函数值的求法,考查计算能力. 8.幂函数 y=xa(α 是常数)的图象( A.一定经过点(0,0) ) =2.

B.一定经过点(1,1)

C.一定经过点(﹣1,1) D.一定经过点(1,﹣1) 【考点】幂函数的图像. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】利用幂函数的图象与性质及 1α=1 即可得出. 【解答】解:取 x=1,则 y=1α=1,因此幂函数 y=xa(α 是常数)的图象一定经过(1,1)点. 故选 B. 【点评】熟练掌握幂函数的图象与性质及 1α=1 是解题的关键. 9.已知 lgx﹣lg2y=1,则 的值为( )

A.2

B.5

C.10

D.20

【考点】对数的运算性质. 【专题】方程思想;分析法;函数的性质及应用. 【分析】直接利用对数方程化简求解即可. 【解答】解:lgx﹣lg2y=1,可得 lg 可得 =20. 故选:D. 【点评】本题考查对数运算法则的应用,对数方程的求法,是基础题. 10.函数 y= 的值域是( ) =1,

A.[0,+∞)B.[0,4] 【考点】函数的值域.

C.(0,4) D.[0,4)

【专题】函数的性质及应用. 【分析】首先易知 4x 恒大于 0,再用观察分析法求值域即可. 【解答】解:当 x=2 时,函数有最小值 0,当 x 趋向于﹣∞时,y 趋向于 4, 函数 y= 故选:D. 【点评】本题考查简单函数的值域问题,属基础题. 11. 0) =log2a 若定义在区间 (﹣1, 内的函数 f (x) (x+1) 为减函数, 则 a 的取值范围是( A.(0, ) B.(0, ] C.( 【考点】对数函数的图像与性质. 【专题】转化思想;数学模型法;函数的性质及应用. 【分析】根据复合函数单调性同增异减的原则,根据内函数为增函数,可得外函数为减函数, 进而得到答案. 【解答】解:∵t=x+1 在区间(﹣1,0)内为增函数, 且 t=x+1>0 在区间(﹣1,0)内恒成立, 因为函数 f(x)=log2a(x+1)在区间(﹣1,0)内为减函数, 故 0<2a<1, ,+∞) D.(0,+∞) ) 的值域是[0,4)

解得:a∈(0, ), 故选:A. 【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质,熟练掌握对数函数的图象和性质,是 解答的关键. 12.已知符号[x]表示“不超过 x 的最大整数”,如[﹣2]=﹣2,[﹣1.5]=﹣2,[2.5]=2,则 [log2 ]+[log2 ]+[log2 ]+[log21]+[log22]+[log23]+[log24]的值为( A.﹣1 B.﹣2 C.0 D.1 )

【考点】对数的概念;对数的运算性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据新定义当 x 是整数,[x]就是 x,当 x 不是整数时,[x]是点 x 左侧的笫一个整数 点,这个函数叫做“取整函数,先求出各对数值或所处的范围,再用取整函数求解. 【解答】解:由题意可得:[log2 ]+[log2 ]+[log2 ]+[log21]+[log22]+[log23]+[log24] =﹣2+(﹣2)+(﹣1)+0+1+1+2 =﹣1 故选:A 【点评】本题是一道新定义题,这类题目要严格按照定义操作,转化为已知的知识和方法求 解,还考查了对数的运算及性质. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡对应题中横线上) 13.已知集合 A={x|y= 【考点】交集及其运算. 【专题】集合. 【分析】求出 A 中 x 的范围确定出 A,求出 B 中 y 的范围确定出 B,找出两集合的交集即可. 【解答】解:由 A 中 y= ∴A=[2,+∞), 由 B 中 y=﹣x2+1≤1,得到 B=(﹣∞,1], 则 A∩B=?, 故答案为:?. 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. ,得到 x﹣2≥0,即 x≥2, },B={y=|y=﹣x2+1},则 A∩B=?.

14.函数 f(x)=2x+a?2﹣x 是偶函数,则 a 的值为 1_. 【考点】函数奇偶性的判断. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据函数奇偶性的定义进行求解即可. 【解答】解:∵f(x)=2x+a?2﹣x 是偶函数, ∴f(﹣x)=f(x), 即 f(﹣x)=2﹣x+a?2x=2x+a?2﹣x, 则(2﹣x﹣2x)=a(2﹣x﹣2x), 即 a=1, 故答案为:1 【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用,根据条件建立方程关系是解决本题的关键. 15.函数 f(x) =x2﹣2ax﹣8a 在[5,20]具有单调性, 5]∪[20, +∞) 则 a 的取值范围是(﹣∞, . 【考点】函数单调性的性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】可求出 f(x)的对称轴为 x=a,二次函数在对称轴的一边具有单调性,从而可以得出 a≤5,或 a≥20,这样便求出了 a 的取值范围. 【解答】解:f(x)的对称轴为 x=a; f(x)在[5,20]上具有单调性; ∴a≥20,或 a≤5; ∴a 的取值范围为:(﹣∞,5]∪[20,+∞). 故答案为:(﹣∞,5]∪[20,+∞). 【点评】考查二次函数的对称轴,二次函数的单调性特点,要熟悉二次函数的图象. 16.不等式 3﹣2x﹣2>( )x+1 的解集为(﹣∞,﹣1). 【考点】指、对数不等式的解法. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】由已知得 3﹣2x﹣2>3﹣x﹣1,由指数函数的性质得到﹣2x﹣2>﹣x﹣1,由此能求出不等 式 3﹣2x﹣2>( )x+1 的解集. 【解答】解:∵3﹣2x﹣2>( )x+1,

∴3﹣2x﹣2>3﹣x﹣1, ∴﹣2x﹣2>﹣x﹣1, 解得 x<﹣1. ∴不等式 3﹣2x﹣2>( )x+1 的解集为(﹣∞,﹣1). 故答案为:(﹣∞,﹣1). 【点评】本题考查不等式的解集的求法,是基础题,解题时要注意指数函数的性质的合理运 用. 三、解答题(共 6 个小题,共 56 分,把每个题的答案答在答题卡相应题号上,每个题要求写 出必要的解题过程、计算过程及理由,否则不给分) 17.已知全集 U=R,A={x|x≥1},B={x|2ax﹣5>0}, (1)若 a=1,求 A∩(?UB). (2)若 A?B,求 a 的取值范围. 【考点】集合的包含关系判断及应用;交、并、补集的混合运算. 【专题】综合题;分类讨论;综合法;集合. 【分析】(1)求出 B,?UB,即可求 A∩(?UB). (2)若 A?B,分类讨论,即可求 a 的取值范围. 【解答】解:(1)当 a=1 时,B={x|x>2.5}, ?UB={x|x≤2.5},A∩(?UB)={x|1≤x≤2.5}. (2)当 a≤0 时,条件不成立; 当 a>0 时,B={x|x> ∵A?B,∴ }.

<1,∴a>2.5.

【点评】本题考查集合的关系,考查分类讨论的数学思想,属于中档题. 18.若全集 U=R,函数 f(x)= 的值域为 B,求 A∪B 和?U(A∩B). 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】计算题;集合思想;函数的性质及应用;集合. 【分析】求出 f(x)的定义域确定出 A,求出 g(x)的值域确定出 B,找出两集合的交集, 并集,求出交集的补集即可. 的定义域为 A,函数 g(x)=

【解答】解:f(x)= 解得:x≥1,即 A={x|x≥1}, 由函数 g(x)= 即 B={x|0≤x≤2}, ∴A∪B={x|x≥0},A∩B={x|1≤x≤2}, 则?U(A∩B)={x|x<1 或 x>2}. =

的定义域满足



,得到 0≤g(x)≤2,

【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 19.解方程 (1) =

(2)log4(3﹣x)=log4(2x+1)+log4(3+x) 【考点】函数的零点与方程根的关系;对数的运算性质. 【专题】计算题;函数思想;方程思想;转化思想;函数的性质及应用. 【分析】(1)直接利用有理指数幂的运算法则求解方程的解即可. (2)利用对数运算法则,化简求解方程的解即可. 【解答】解:(1) 解得 x=2 或 x=1; (2)log4(3﹣x)=log4(2x+1)+log4(3+x), 可得 log4(3﹣x)=log4(2x+1)(3+x), ∴3﹣x=(2x+1)(3+x), 得 x=﹣4 或 x=0,经检验 x=0 为所求. 【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系,对数方程的解法,考查计算能力. 20.邵东某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 360 元,每桶水进价 4 元,销 售单价与日均销量的关系如表所示 销售单价/元 日均销售量/桶 5 360 6 320 7 280 8 240 9 200 10 160 11 120 = ,可得 x2﹣3x=﹣2,

请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价(单价要为整元)才能获得最大利润?最大 利润为多少? 【考点】函数模型的选择与应用.

【专题】函数思想;数学模型法;函数的性质及应用. 【分析】(1)若设定价在进价的基础上增加 x 元,日销售利润为 y 元,则日均销售量 P360 ﹣40(x﹣1)=400﹣40x,(0<x<8,x∈N), (2)y=(400﹣40x)x﹣360=﹣40x2+400x﹣360,(0<x<8,x∈N),配方函数 y,可得 x 取何值时,y 有最大值,即获得最大利润. 【解答】解:(1)销售单价每增加 1 元,日均销售量减少 40 桶. 设在进价基础上增加 x 元后,日均销售利润为 y 元, 这时日均销售量 P=360﹣40(x﹣1)=400﹣40x,(0<x<8,x∈N), (2)y=(400﹣40x)x﹣360=﹣40x2+400x﹣360,(0<x<8,x∈N), 由 y=﹣40(x﹣5)2+640, 易知,当 x=5 时,即定价为 9 元时,获得利润最大,最大利润为 640 元. 【点评】本题考查了二次函数模型的应用,二次函数求最值时,通常考虑对称轴是否在定义 域内,若在,对称轴对应的函数值是最值. 21.已知函数 f(x)=log3(3+x)+log3(3﹣x). (1)求函数 f(x)的定义域和值域; (2)判断函数 f(x)的奇偶性,并说明理由. 【考点】对数函数的图像与性质;函数奇偶性的判断. 【专题】计算题;定义法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)根据对数的真数为正数确定 f(x)的定义域,根据真数的范围确定函数的值域; (2)利用奇偶性定义证明 f(x)为偶函数. 【解答】解:(1)根据函数式,自变量 x 需满足: 解得,x∈(﹣3,3),即函数的定义域为(﹣3,3), 又 f(x)=log3(3+x)+log3(3﹣x)=log3(9﹣x2) ∵9﹣x2∈(0,9],∴log3(9﹣x2)∈(﹣∞,2], 即 f(x)的值域为(﹣∞,2]; (2)由(1)可知函数 f(x)的定义域关于原点对称, 且 f(﹣x)=log3(3﹣x)+log3(3+x)=f(x), 所以函数 f(x)为偶函数. ,

【点评】本题主要考查了函数定义域,值域的求法,函数奇偶性的判断与证明,对数的运算 性质,属于中档题. 22.已知定义域为 R 的函数 f(x)= (1)求 a 的值. (2)判断函数 f(x)在 R 上的单调性并加以证明; (3)若对于任意 t∈R,不等式 f(t2﹣6t)+f(2t2﹣k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【专题】综合题;函数的性质及应用. 【分析】(1)f(x)是 R 上的奇函数,则 f(0)=0,即可求 a 的值. (2)f(x)是 R 上的减函数,利用定义加以证明; (3)由于 f(x)是 R 上的减函数且为奇函数,故不等式 f(t2﹣6t)+f(2t2﹣k)<0 可化为 f (t2﹣6t)<f(k﹣2t2)所以 t2﹣6t>k﹣2t2 即 k<3t2﹣6t=3(t﹣1)2﹣3 恒成立,即可求 k 的 取值范围. 【解答】解:(1)因为 f(x)是 R 上的奇函数,则 f(0)=0 即 ,所以 a=﹣1 +a 是奇函数,

又 f(﹣x)=﹣f(x)成立,所以 a=﹣1 (2)f(x)是 R 上的减函数. 证明:设 x1<x2, 因为 x1<x2,所以 ,故 f(x1)>f(x2)

所以 f(x)是 R 上的减函数; (3)由于 f(x)是 R 上的减函数且为奇函数 故不等式 f(t2﹣6t)+f(2t2﹣k)<0 可化为 f(t2﹣6t)<f(k﹣2t2) 所以 t2﹣6t>k﹣2t2 即 k<3t2﹣6t=3(t﹣1)2﹣3 恒成立 所以 k<﹣3k 的取值范围为(﹣∞,﹣3) 【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性,考查恒成立问题,考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题.


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湖南省邵阳市邵东三中2015-2016学年高一上学期第一次月考化学试卷

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