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湖南师大附中2015届高三上学期第一次月考数学试卷(理科)


湖南师大附中 2015 届高三上学期第一次月考数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 M={x|x ﹣2x<0},N={x|x<a},若 M?N,则实数 a 的取值范围是() A.[2,+∞) B.(2,+∞) C.(﹣∞,0) D.(﹣∞,0]

2. (5 分)给出下面四个命题: p1:?x∈(0,+∞) , p2:?x∈(0,1) , , ;
2

p3:?x∈(0,+∞) ,



p4:?x∈(0, ) , 其中的真命题是() A.p1,p3 B.p1,p4

x,

C.p2,p3

D.p2,p4

3. (5 分)在如图所示的程序框图中输入 10,结果会输出()

A.10

B.11

C.512

D.1 024

4. (5 分)将函数 f(x)=sinx+cosx 的图象向左平移 φ(φ>0)个单位长度,所得图象关于原 点对称,则 φ 的最小值为() A.﹣ B. C. D.

5. (5 分)若实数 x、y 满足条件 A.9 B.11

,则 z=x+3y 的最大值为() C.12 D.16

6. (5 分)不全相等的五个数 a、b、c、m、n 具有关系如下:a、b、c 成等比数列,a、m、b 和 b、n、c 都成等差数列,则 + =() A.﹣2 B. 0 C. 2 D.不能确定

7. (5 分)已知边长为 1 的正方形 ABCD 位于第一象限,且顶点 A、D 分别在 x、y 的正半轴 上(含原点)滑动,则 A.1 B. 的最大值是() C. 2 D.

8. (5 分)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积为()

A.

B.
2 2

C.

D.2

9. (5 分)若曲线 C1:x +y ﹣2x=0 与曲线 C2:y(y﹣mx﹣m)=0 有四个不同的交点,则实 数 m 的取值范围是() A.(﹣ (﹣∞,﹣ , ) )∪( B.(﹣ ,+∞)
2 3

,0)∪(0,



C. [﹣



]

D.

10. (5 分)已知集合 A={x|x=a0+a1×3+a2×3 +a3×3 },其中 ai∈{1,2,3}(i=0,1,2,3}且 a3≠0, 则 A 中所有元素之和等于() A.3 240 B.3 120 C.2 997 D.2 889

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡中对应题号后的横 线上. 11. (5 分)在△ ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cosB=.

12. (5 分)如图,椭圆

的长轴为 A1A2,短轴为 B1B2,将坐标平面沿 y 轴折成一个

二面角,使点 A2 在平面 B1A1B2 上的射影恰好是该椭圆的左焦点,则此二面角的大小为.

13. (5 分)若 f(x)+

f(x)dx=x,则 f(x)=.

14. (5 分)在函数 f(x)=alnx+(x+1) (x>0)的图象上任取两个不同点 P(x1,y1) ,Q (x2,y2) ,总能使得 f(x1)﹣f(x2)≥4(x1﹣x2) ,则实数 a 的取值范围为. 15. (5 分)两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们 在沙滩上画点或用小石子来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,如图中的 实心点个数 1,5,12,22,…,被称为五角形数,其中第 1 个五角形数记作 a1=1,第 2 个五 角形数记作 a2=5,第 3 个五角形数记作 a3=12,第 4 个五角形数记作 a4=22,…,若按此规律 继续下去,则 a5=,若 an=145,则 n=.

2

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)设函数 (1)求 f(x)的最小正周期. (2)若函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,求当 的最大值. 17. (12 分)某电视台拟举行由选手报名参加的比赛类型的娱乐节目,选手进入正赛前需通过 海选,参加海选的选手可以参加 A、B、C 三个测试项目,只需通过一项测试即可停止测试, 通过海选.若通过海选的人数超过预定正赛参赛人数,则优先考虑参加海选测试次数少的选 时,y=g(x) .

手进入正赛.甲选手通过项目 A、B、C 测试的概率为分别为 、 、 ,且通过各次测试的事 件相互独立. (1)若甲选手先测试 A 项目,再测试 B 项目,后测试 C 项目,求他通过海选的概率;若改 变测试顺序,对他通过海选的概率是否有影响?说明理由; (2)若甲选手按某种顺序参加海选测试,第一项能通过的概率为 p1,第二项能通过的概率为 p2, 第三项能通过的概率为 p3, 设他通过海选时参加测试的次数为 ξ, 求 ξ 的分布列和期望 (用 p1、p、p3 表示) ;并说明甲选手按怎样的测试顺序更有利于他进入正赛. 18. (12 分)如图,△ ABC 的外接圆⊙O 的半径为 5,CE 垂直于⊙O 所在的平面,BD∥CE, CE=4,BC=6,且 BD=1,cos∠ADB= (1)求证:平面 AEC⊥平面 BCED; (2)试问线段 DE 上是否存在点 M,使得直线 AM 与平面 ACE 所成角的正弦值为 存在,确定点 M 的位置;若不存在,请说明理由. ?若 .

19. (13 分)等比数列 an 中的前三项 a1,a2,a3 分别是下面数阵中第一、二、三行中的某三个 数,且三个数不在同一列.

(1)求此数列{an}的通项公式; n (2)若数列{bn}满足 bn=3an﹣(﹣1) lgan,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

20. (13 分)已知圆 C: (x﹣1) +(y﹣1) =2 经过椭圆 Γ:

2

2

+

=1(a>b>0)的右焦点

F 和上顶点 B. (Ⅰ)求椭圆 Γ 的方程; (Ⅱ)过原点 O 的射线 l 与椭圆 Γ 在第一象限的交点为 Q,与圆 C 的交点为 P,M 为 OP 的中 点,求 ? 的最大值.

21. (13 分)已知函数 f(x)=e ﹣ax﹣2x﹣1(x∈R) . (1)当 a=0 时,求 f(x)的单调区间; (2)求证:对任意实数 a<0,有 f(x)> .

x

湖南师大附中 2015 届高三上学期第一次月考数学试卷 (理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 M={x|x ﹣2x<0},N={x|x<a},若 M?N,则实数 a 的取值范围是() A.[2,+∞) B.(2,+∞) C.(﹣∞,0) D.(﹣∞,0] 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 M 中不等式的解集确定出 M,根据 N 以及 M 为 N 的子集,确定出 a 的范围即 可. 解答: 解:由 M 中不等式变形得:x(x﹣2)<0, 解得:0<x<2,即 M=(0,2) , ∵N={x|x<a},且 M?N, ∴a≥2, 则 a 的范围为[2,+∞) . 故选:A. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2. (5 分)给出下面四个命题: p1:?x∈(0,+∞) , p2:?x∈(0,1) , , ;
2

p3:?x∈(0,+∞) ,



p4:?x∈(0, ) , 其中的真命题是() A.p1,p3 B.p1,p4

x,

C.p2,p3

D.p2,p4

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 探究型;数形结合. 分析: 分别根据全称命题和特称命题判断真假的方法去判断四个命题.p1 可利用两个指数 函数的图象进行判断.p2 可以利用对数的图象来判断.p3 可以利用对数和指数函数的图象来 判断.p4:利用指数函数和对数函数的图象来判断. 解答: 解: 对应命题 p1 可, 分别作出函数 知:?x∈(0,+∞) , ,所以命题 p1 错误. 的图象如图: 由图象 可

p2:作出对数函数

的图象,由图象知:?x∈(0,1) ,使命题 p2 正确.

p3:作出函数

的图象,由图象知命题 p3 不正确.

P4:当 x∈(0, )时,

,所以恒有

成立,

所以命题 P4 正确. 故选 D. 点评: 本题考查了全称命题和特称命题的真假判断,解决本题可以考虑使用数形结合的思 想. 3. (5 分)在如图所示的程序框图中输入 10,结果会输出()

A.10

B.11

C.512

D.1 024

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 根据框图写出每次循环 s,k 的取值,即可确定输出 s 的值. 解答: 解:运行程序,有 s=1;k=1 第 1 次循环:s=2,k=2 第 2 次循环:s=4,k=3 第 3 次循环:s=8,k=4 第 4 次循环:s=16,k=5 第 5 次循环:s=32,k=6 第 6 次循环:s=64,k=7 第 7 次循环:s=128,k=8 第 8 次循环:s=256,k=9 第 9 次循环:s=512,k=10 第 10 次循环:s=1024,k=11 输出 s 的值为 1024. 故答案为:D. 点评: 本题主要考察框图和程序算法,属于基础题. 4. (5 分)将函数 f(x)=sinx+cosx 的图象向左平移 φ(φ>0)个单位长度,所得图象关于原 点对称,则 φ 的最小值为() A.﹣ B. C. D.

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,可得 结论.

解答: 解:由题意可得,将函数 f(x)=sinx+cosx= >0)个单位长度, 所得函数为 y= sin(x+

sin(x+

) 的图象向左平移 φ(φ

+φ)为奇函数,则 φ 的最小值为



故选:C. 点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,正 弦函数的奇偶性,属于基础题.

5. (5 分)若实数 x、y 满足条件 A.9 考点: 专题: 分析: 解答: B.11

,则 z=x+3y 的最大值为() C.12 D.16

简单线性规划. 不等式的解法及应用. 作出不等式组对应的平面区域, 利用 z 的几何意义, 利用利用数形结合即可得到结论. 解:作出不等式组对应的平面区域如图: , ,由图象可知当 ,经过点 C 时,直线截距最大,此时 z 最大.

由 z=x+3y,得 平移直线





,即 C(2,3) ,

此时 z=x+3y=2+3×3=11, 故选:B.

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决本题的关键. 6. (5 分)不全相等的五个数 a、b、c、m、n 具有关系如下:a、b、c 成等比数列,a、m、b 和 b、n、c 都成等差数列,则 + =() A.﹣2 B. 0 C. 2 D.不能确定

考点: 等比数列的通项公式;等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知得 2m=a+b,2n=b+c,b =ac,从而 + = = =
2 2

=2.

解答: 解:由已知得 2m=a+b,2n=b+c,b =ac, ∴ + = = = [ ]

=

=2.

故选:C. 点评: 本题考查代数和的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列和等比数列 的性质的合理运用. 7. (5 分)已知边长为 1 的正方形 ABCD 位于第一象限,且顶点 A、D 分别在 x、y 的正半轴 上(含原点)滑动,则 A.1 B. 的最大值是() C. 2 D.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 令∠OAD=θ,由边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A、D 分别在 x 轴、y 轴正半轴上, 可得出 B,C 的坐标,由此可以表示出两个向量,算出它们的内积即可. 解答: 解:如图令∠OAD=θ,由于 AD=1,故 0A=cosθ,OD=sinθ, 如图∠BAx= 故 ﹣θ,AB=1,故 xB=cosθ+cos( ﹣θ)=cosθ+sinθ,yB=sin( ﹣θ)=cosθ.

=(cosθ+sinθ,cosθ) =(sinθ,cosθ+sinθ) , ? 的最大值是 2,

同理可求得 C(sinθ,cosθ+sinθ) ,即 ∴ ?

=(cosθ+sinθ,cosθ)?(sinθ,cosθ+sinθ)=1+sin2θ,

故选 C.

点评: 本题考查向量在几何中的应用,设角引入坐标是解题的关键,由于向量的运算与坐 标关系密切,所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标,属于中档题. 8. (5 分)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积为()

A.

B.

C.

D.2

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;作图题;空间位置关系与距离. 分析: 由三视图想象出空间几何体,代入数据求值.

解答: 解:如图所示,四面体为正四面体. 是由边长为 1 的正方体的面对角线围成. 其边长为 , 则其表面积为 4×( × × )=2 .

故选 D. 点评: 本题考查了学生的空间想象力,属于中档题. 9. (5 分)若曲线 C1:x +y ﹣2x=0 与曲线 C2:y(