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湖南师大附中2015届高三上学期第一次月考数学试卷(理科)


湖南师大附中 2015 届高三上学期第一次月考数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 M={x|x ﹣2x<0},N={x|x<a},若 M?N,则实数 a 的取值范围是() A.[2,+∞) B.(2,+∞) C.(﹣∞,0) D.(﹣∞,0]

2. (5 分)给出下面四个命题: p1:?x∈(0,+∞) , p2:?x∈(0,1) , , ;
2

p3:?x∈(0,+∞) ,



p4:?x∈(0, ) , 其中的真命题是() A.p1,p3 B.p1,p4

x,

C.p2,p3

D.p2,p4

3. (5 分)在如图所示的程序框图中输入 10,结果会输出()

A.10

B.11

C.512

D.1 024

4. (5 分)将函数 f(x)=sinx+cosx 的图象向左平移 φ(φ>0)个单位长度,所得图象关于原 点对称,则 φ 的最小值为() A.﹣ B. C. D.

5. (5 分)若实数 x、y 满足条件 A.9 B.11

,则 z=x+3y 的最大值为() C.12 D.16

6. (5 分)不全相等的五个数 a、b、c、m、n 具有关系如下:a、b、c 成等比数列,a、m、b 和 b、n、c 都成等差数列,则 + =() A.﹣2 B. 0 C. 2 D.不能确定

7. (5 分)已知边长为 1 的正方形 ABCD 位于第一象限,且顶点 A、D 分别在 x、y 的正半轴 上(含原点)滑动,则 A.1 B. 的最大值是() C. 2 D.

8. (5 分)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积为()

A.

B.
2 2

C.

D.2

9. (5 分)若曲线 C1:x +y ﹣2x=0 与曲线 C2:y(y﹣mx﹣m)=0 有四个不同的交点,则实 数 m 的取值范围是() A.(﹣ (﹣∞,﹣ , ) )∪( B.(﹣ ,+∞)
2 3

,0)∪(0,



C. [﹣



]

D.

10. (5 分)已知集合 A={x|x=a0+a1×3+a2×3 +a3×3 },其中 ai∈{1,2,3}(i=0,1,2,3}且 a3≠0, 则 A 中所有元素之和等于() A.3 240 B.3 120 C.2 997 D.2 889

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡中对应题号后的横 线上. 11. (5 分)在△ ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cosB=.

12. (5 分)如图,椭圆

的长轴为 A1A2,短轴为 B1B2,将坐标平面沿 y 轴折成一个

二面角,使点 A2 在平面 B1A1B2 上的射影恰好是该椭圆的左焦点,则此二面角的大小为.

13. (5 分)若 f(x)+

f(x)dx=x,则 f(x)=.

14. (5 分)在函数 f(x)=alnx+(x+1) (x>0)的图象上任取两个不同点 P(x1,y1) ,Q (x2,y2) ,总能使得 f(x1)﹣f(x2)≥4(x1﹣x2) ,则实数 a 的取值范围为. 15. (5 分)两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们 在沙滩上画点或用小石子来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,如图中的 实心点个数 1,5,12,22,…,被称为五角形数,其中第 1 个五角形数记作 a1=1,第 2 个五 角形数记作 a2=5,第 3 个五角形数记作 a3=12,第 4 个五角形数记作 a4=22,…,若按此规律 继续下去,则 a5=,若 an=145,则 n=.

2

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)设函数 (1)求 f(x)的最小正周期. (2)若函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,求当 的最大值. 17. (12 分)某电视台拟举行由选手报名参加的比赛类型的娱乐节目,选手进入正赛前需通过 海选,参加海选的选手可以参加 A、B、C 三个测试项目,只需通过一项测试即可停止测试, 通过海选.若通过海选的人数超过预定正赛参赛人数,则优先考虑参加海选测试次数少的选 时,y=g(x) .

手进入正赛.甲选手通过项目 A、B、C 测试的概率为分别为 、 、 ,且通过各次测试的事 件相互独立. (1)若甲选手先测试 A 项目,再测试 B 项目,后测试 C 项目,求他通过海选的概率;若改 变测试顺序,对他通过海选的概率是否有影响?说明理由; (2)若甲选手按某种顺序参加海选测试,第一项能通过的概率为 p1,第二项能通过的概率为 p2, 第三项能通过的概率为 p3, 设他通过海选时参加测试的次数为 ξ, 求 ξ 的分布列和期望 (用 p1、p、p3 表示) ;并说明甲选手按怎样的测试顺序更有利于他进入正赛. 18. (12 分)如图,△ ABC 的外接圆⊙O 的半径为 5,CE 垂直于⊙O 所在的平面,BD∥CE, CE=4,BC=6,且 BD=1,cos∠ADB= (1)求证:平面 AEC⊥平面 BCED; (2)试问线段 DE 上是否存在点 M,使得直线 AM 与平面 ACE 所成角的正弦值为 存在,确定点 M 的位置;若不存在,请说明理由. ?若 .

19. (13 分)等比数列 an 中的前三项 a1,a2,a3 分别是下面数阵中第一、二、三行中的某三个 数,且三个数不在同一列.

(1)求此数列{an}的通项公式; n (2)若数列{bn}满足 bn=3an﹣(﹣1) lgan,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

20. (13 分)已知圆 C: (x﹣1) +(y﹣1) =2 经过椭圆 Γ:

2

2

+

=1(a>b>0)的右焦点

F 和上顶点 B. (Ⅰ)求椭圆 Γ 的方程; (Ⅱ)过原点 O 的射线 l 与椭圆 Γ 在第一象限的交点为 Q,与圆 C 的交点为 P,M 为 OP 的中 点,求 ? 的最大值.

21. (13 分)已知函数 f(x)=e ﹣ax﹣2x﹣1(x∈R) . (1)当 a=0 时,求 f(x)的单调区间; (2)求证:对任意实数 a<0,有 f(x)> .

x

湖南师大附中 2015 届高三上学期第一次月考数学试卷 (理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 M={x|x ﹣2x<0},N={x|x<a},若 M?N,则实数 a 的取值范围是() A.[2,+∞) B.(2,+∞) C.(﹣∞,0) D.(﹣∞,0] 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 M 中不等式的解集确定出 M,根据 N 以及 M 为 N 的子集,确定出 a 的范围即 可. 解答: 解:由 M 中不等式变形得:x(x﹣2)<0, 解得:0<x<2,即 M=(0,2) , ∵N={x|x<a},且 M?N, ∴a≥2, 则 a 的范围为[2,+∞) . 故选:A. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2. (5 分)给出下面四个命题: p1:?x∈(0,+∞) , p2:?x∈(0,1) , , ;
2

p3:?x∈(0,+∞) ,



p4:?x∈(0, ) , 其中的真命题是() A.p1,p3 B.p1,p4

x,

C.p2,p3

D.p2,p4

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 探究型;数形结合. 分析: 分别根据全称命题和特称命题判断真假的方法去判断四个命题.p1 可利用两个指数 函数的图象进行判断.p2 可以利用对数的图象来判断.p3 可以利用对数和指数函数的图象来 判断.p4:利用指数函数和对数函数的图象来判断. 解答: 解: 对应命题 p1 可, 分别作出函数 知:?x∈(0,+∞) , ,所以命题 p1 错误. 的图象如图: 由图象 可

p2:作出对数函数

的图象,由图象知:?x∈(0,1) ,使命题 p2 正确.

p3:作出函数

的图象,由图象知命题 p3 不正确.

P4:当 x∈(0, )时,

,所以恒有

成立,

所以命题 P4 正确. 故选 D. 点评: 本题考查了全称命题和特称命题的真假判断,解决本题可以考虑使用数形结合的思 想. 3. (5 分)在如图所示的程序框图中输入 10,结果会输出()

A.10

B.11

C.512

D.1 024

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 根据框图写出每次循环 s,k 的取值,即可确定输出 s 的值. 解答: 解:运行程序,有 s=1;k=1 第 1 次循环:s=2,k=2 第 2 次循环:s=4,k=3 第 3 次循环:s=8,k=4 第 4 次循环:s=16,k=5 第 5 次循环:s=32,k=6 第 6 次循环:s=64,k=7 第 7 次循环:s=128,k=8 第 8 次循环:s=256,k=9 第 9 次循环:s=512,k=10 第 10 次循环:s=1024,k=11 输出 s 的值为 1024. 故答案为:D. 点评: 本题主要考察框图和程序算法,属于基础题. 4. (5 分)将函数 f(x)=sinx+cosx 的图象向左平移 φ(φ>0)个单位长度,所得图象关于原 点对称,则 φ 的最小值为() A.﹣ B. C. D.

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,可得 结论.

解答: 解:由题意可得,将函数 f(x)=sinx+cosx= >0)个单位长度, 所得函数为 y= sin(x+

sin(x+

) 的图象向左平移 φ(φ

+φ)为奇函数,则 φ 的最小值为



故选:C. 点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,正 弦函数的奇偶性,属于基础题.

5. (5 分)若实数 x、y 满足条件 A.9 考点: 专题: 分析: 解答: B.11

,则 z=x+3y 的最大值为() C.12 D.16

简单线性规划. 不等式的解法及应用. 作出不等式组对应的平面区域, 利用 z 的几何意义, 利用利用数形结合即可得到结论. 解:作出不等式组对应的平面区域如图: , ,由图象可知当 ,经过点 C 时,直线截距最大,此时 z 最大.

由 z=x+3y,得 平移直线





,即 C(2,3) ,

此时 z=x+3y=2+3×3=11, 故选:B.

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决本题的关键. 6. (5 分)不全相等的五个数 a、b、c、m、n 具有关系如下:a、b、c 成等比数列,a、m、b 和 b、n、c 都成等差数列,则 + =() A.﹣2 B. 0 C. 2 D.不能确定

考点: 等比数列的通项公式;等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知得 2m=a+b,2n=b+c,b =ac,从而 + = = =
2 2

=2.

解答: 解:由已知得 2m=a+b,2n=b+c,b =ac, ∴ + = = = [ ]

=

=2.

故选:C. 点评: 本题考查代数和的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列和等比数列 的性质的合理运用. 7. (5 分)已知边长为 1 的正方形 ABCD 位于第一象限,且顶点 A、D 分别在 x、y 的正半轴 上(含原点)滑动,则 A.1 B. 的最大值是() C. 2 D.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 令∠OAD=θ,由边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A、D 分别在 x 轴、y 轴正半轴上, 可得出 B,C 的坐标,由此可以表示出两个向量,算出它们的内积即可. 解答: 解:如图令∠OAD=θ,由于 AD=1,故 0A=cosθ,OD=sinθ, 如图∠BAx= 故 ﹣θ,AB=1,故 xB=cosθ+cos( ﹣θ)=cosθ+sinθ,yB=sin( ﹣θ)=cosθ.

=(cosθ+sinθ,cosθ) =(sinθ,cosθ+sinθ) , ? 的最大值是 2,

同理可求得 C(sinθ,cosθ+sinθ) ,即 ∴ ?

=(cosθ+sinθ,cosθ)?(sinθ,cosθ+sinθ)=1+sin2θ,

故选 C.

点评: 本题考查向量在几何中的应用,设角引入坐标是解题的关键,由于向量的运算与坐 标关系密切,所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标,属于中档题. 8. (5 分)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积为()

A.

B.

C.

D.2

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;作图题;空间位置关系与距离. 分析: 由三视图想象出空间几何体,代入数据求值.

解答: 解:如图所示,四面体为正四面体. 是由边长为 1 的正方体的面对角线围成. 其边长为 , 则其表面积为 4×( × × )=2 .

故选 D. 点评: 本题考查了学生的空间想象力,属于中档题. 9. (5 分)若曲线 C1:x +y ﹣2x=0 与曲线 C2:y(y﹣mx﹣m)=0 有四个不同的交点,则实 数 m 的取值范围是() A.(﹣ (﹣∞,﹣ , ) )∪( B.(﹣ ,+∞) ,0)∪(0, ) C. [﹣ , ] D.
2 2

考点: 圆的一般方程;圆方程的综合应用.

专题: 压轴题;数形结合. 分析: 由题意可知曲线 C1:x +y ﹣2x=0 表示一个圆,曲线 C2:y(y﹣mx﹣m)=0 表示两 条直线 y=0 和 y﹣mx﹣m=0, 把圆的方程化为标准方程后找出圆心与半径, 由图象可知此圆与 y=0 有两交点,由两曲线要有 4 个交点可知,圆与 y﹣mx﹣m=0 要有 2 个交点,根据直线 y﹣ mx﹣m=0 过定点, 先求出直线与圆相切时 m 的值, 然后根据图象即可写出满足题意的 m 的范 围. 解答: 解:由题意可知曲线 C1:x +y ﹣2x=0 表示一个圆,化为标准方程得:
2 2 2 2

(x﹣1) +y =1,所以圆心坐标为(1,0) ,半径 r=1; C2:y(y﹣mx﹣m)=0 表示两条直线 y=0 和 y﹣mx﹣m=0, 由直线 y﹣mx﹣m=0 可知:此直线过定点(﹣1,0) , 在平面直角坐标系中画出图象如图所示: 直线 y=0 和圆交于点(0,0)和(2,0) ,因此直线 y﹣mx﹣m=0 与圆相交即可满足条件. 当直线 y﹣mx﹣m=0 与圆相切时,圆心到直线的距离 d= =r=1,

2

2

化简得:m = ,解得 m=±

2



而 m=0 时,直线方程为 y=0,即为 x 轴,不合题意, 则直线 y﹣mx﹣m=0 与圆相交时,m∈(﹣ ,0)∪(0, ) .

故选 B. 点评: 此题考查学生掌握直线与圆的位置关系,考查了数形结合的数学思想,是一道中档 题.本题的突破点是理解曲线 C2:y(y﹣mx﹣m)=0 表示两条直线. 10. (5 分)已知集合 A={x|x=a0+a1×3+a2×3 +a3×3 },其中 ai∈{1,2,3}(i=0,1,2,3}且 a3≠0, 则 A 中所有元素之和等于() A.3 240 B.3 120 C.2 997 D.2 889 考点: 计数原理的应用;数列的求和. 专题: 综合题;排列组合. 分析: 由题意可知 a0,a1,a2 各有 3 种取法(均可取 0,1,2) ,a3 有 2 种取法,利用数列 求和即可求得 A 中所有元素之和.
2 3

解答: 解:由题意可知,a0,a1,a2 各有 3 种取法(均可取 0,1,2) ,a3 有 2 种取法(可取 1,2) ,由分步计数原理可得共有 3×3×3×2 种方法, ∴当 a0 取 0,1,2 时,a1,a2 各有 3 种取法,a3 有 2 种取法,共有 3×3×2=18 种方法,即集合 A 中含有 a0 项的所有数的和为(0+1+2)×18; 同理可得集合 A 中含有 a1 项的所有数的和为(3×0+3×1+3×2)×18; 2 2 2 集合 A 中含有 a2 项的所有数的和为(3 ×0+3 ×1+3 ×2)×18; 3 3 集合 A 中含有 a3 项的所有数的和为(3 ×1+3 ×2)×27; 由分类计数原理得集合 A 中所有元素之和: 2 2 2 3 3 S=(0+1+2)×18+(3×0+3×1+3×2)×18+(3 ×0+3 ×1+3 ×2)×18+(3 ×1+3 ×2)×27 =18(3+9+27)+81×27=702+2 187=2 889. 故选 D. 点评: 本题考查数列的求和,考查分类计数原理与分步计数原理的应用,考查分类讨论与 转化思想的综合应用,属于难题. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡中对应题号后的横 线上. 11. (5 分)在△ ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cosB= .

考点: 正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 由正弦定理可求得 sinB= 运算求得结果. 解答: 解:由正弦定理可得 = ,∴sinB= ,再由 b<a,可得 B 为锐角, ,再由 b<a,可得 B 为锐角,cosB= ,

∴cosB= 故答案为: .

=



点评: 本题考查正弦定理的应用,同角三角函数的基本关系,求出 sinB= 角,是解题的关键.

,以及 B 为锐

12. (5 分)如图,椭圆

的长轴为 A1A2,短轴为 B1B2,将坐标平面沿 y 轴折成一个 .

二面角,使点 A2 在平面 B1A1B2 上的射影恰好是该椭圆的左焦点,则此二面角的大小为

考点: 椭圆的应用;循环结构;二面角的平面角及求法. 专题: 综合题;压轴题. 分析: 确定椭圆中的几何量,确定二面角的平面角,利用点 A2 在平面 B1A1B2 上的射影恰 好是该椭圆的左焦点,可求得 cos∠A2OF1= ,即可求得结论.

解答: 解:由题意,椭圆

中 a=4,c=

,∠A2OF1 为二面角的平面角

∵点 A2 在平面 B1A1B2 上的射影恰好是该椭圆的左焦点 ∴在直角△ A2OF1 中,cos∠A2OF1= ∴∠A2OF1= 即二面角的大小为 故答案为: 点评: 本题考查椭圆与立体几何的综合,考查面面角,解题的关键是确定二面角的平面角.

13. (5 分)若 f(x)+

f(x)dx=x,则 f(x)=x﹣ .

考点: 定积分. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 利用待定系数法结合积分的基本运算即可得到结论. 解答: 解:因为 f(x)dx 是个常数,不妨设为 m, 所以 f(x)=x﹣m, 其原函数 F(x)= x ﹣mx+C(C 为常数) , 所以可得方程 m= ﹣m,解得 m= . 故 f(x)=x﹣ . 故答案为:x﹣ 点评: 本题主要考查函数解析式的求解,利用待定系数法是解决本题的关键.
2

14. (5 分)在函数 f(x)=alnx+(x+1) (x>0)的图象上任取两个不同点 P(x1,y1) ,Q (x2,y2) ,总能使得 f(x1)﹣f(x2)≥4(x1﹣x2) ,则实数 a 的取值范围为 a≥ .

2

考点: 导数的几何意义. 专题: 函数的性质及应用;导数的概念及应用. 分析: 不妨设 x1>x2,则 x1﹣x2>0,由 f(x1)﹣f(x2)≥4(x1﹣x2) ,可得 ≥4,即函数 f(x)=alnx+(x+1) (x>0)的图象上任取两个不同点 P (x1,y1) ,Q(x2,y2)连续的斜率不小于 4,即导数值不小于 4,由此构造关于 a 的不等式, 可得实数 a 的取值范围. 解答: 解:不妨设 x1>x2,则 x1﹣x2>0, ∵f(x1)﹣f(x2)≥4(x1﹣x2) , ∴
2 2

≥4,

∵f(x)=alnx+(x+1) , (x>0) ∴f′(x)= +2(x+1) ∴ +2(x+1)≥4, ∴a≥﹣2x +2x ∵﹣2x +2x=﹣2(x﹣ ) + ≤ ∴a≥ , 故答案为:a≥ 点评: 本题考查的知识点导数的几何意义,斜率公式,其中分析出 f(x1)﹣f(x2)≥4(x1 ﹣x2)的几何意义,是解答的关键. 15. (5 分)两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们 在沙滩上画点或用小石子来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,如图中的 实心点个数 1,5,12,22,…,被称为五角形数,其中第 1 个五角形数记作 a1=1,第 2 个五 角形数记作 a2=5,第 3 个五角形数记作 a3=12,第 4 个五角形数记作 a4=22,…,若按此规律 继续下去,则 a5=35,若 an=145,则 n=10.
2 2 2

考点: 归纳推理. 专题: 图表型;点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 仔细观察法各个图形中实心点的个数,找到个数之间的通项公式,再求第 5 个五角 星的中实心点的个数及 an=145 时,n 的值即可. 解答: 解:第一个有 1 个实心点, 第二个有 1+1×3+1=5 个实心点, 第三个有 1+1×3+1+2×3+1=12 个实心点, 第四个有 1+1×3+1+2×3+1+3×3+1=22 个实心点, … 第 n 个有 1+1×3+1+2×3+1+3×3+1+…+3(n﹣1)+1= 故当 n=5 时, 若 an=145,即 +n= +5=35 个实心点. +n 个实心点,

+n=145,解得 n=10

故答案为:35,10. 点评: 本题考查了图形的变化类问题,解题的关键是仔细观察每个图形并从中找到通项公 式. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)设函数 (1)求 f(x)的最小正周期. (2)若函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,求当 的最大值. 考点: 两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的定义域和值域. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)f(x)解析式第一项利用两角和与差的正弦函数公式化简,整理后再利用两角 和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,找出 ω 的值,代入周期公式即可求出 f(x) 的最小正周期; (2)在 y=g(x)的图象上任取一点(x,g(x) ) ,根据 f(x)与 g(x)关于直线 x=1 对称, 表示出此点的对称点,根据题意得到对称点在 f(x)上,代入列出关系式,整理后根据余弦 函数的定义域与值域即可确定出 g(x)的最大值. 解答: 解: (1)f(x)=sin ﹣ ∵ω= cos , x)= sin( x﹣ xcos ) , ﹣cos xsin = sin x﹣ cos x= ( sin x 时,y=g(x) .

∴f(x)的最小正周期为 T=

=8;

(2)在 y=g(x)的图象上任取一点(x,g(x) ) ,它关于 x=1 的对称点(2﹣x,g(x) ) , 由题设条件,点(2﹣x,g(x) )在 y=f(x)的图象上, 从而 g(x)=f(2﹣x)= 当 0≤x≤ 时, ≤ x+ ≤ sin[ , cos = . (2﹣x)﹣ ]= sin[ ﹣ x﹣ ]= cos( x+ ) ,

则 y=g(x)在区间[0, ]上的最大值为 gmax=

点评: 此题考查了两角和与差的正弦函数公式,三角函数的周期性及其求法,以及正弦函 数的定义域与值域,熟练掌握公式是解本题的关键. 17. (12 分)某电视台拟举行由选手报名参加的比赛类型的娱乐节目,选手进入正赛前需通过 海选,参加海选的选手可以参加 A、B、C 三个测试项目,只需通过一项测试即可停止测试, 通过海选.若通过海选的人数超过预定正赛参赛人数,则优先考虑参加海选测试次数少的选 手进入正赛.甲选手通过项目 A、B、C 测试的概率为分别为 、 、 ,且通过各次测试的事 件相互独立. (1)若甲选手先测试 A 项目,再测试 B 项目,后测试 C 项目,求他通过海选的概率;若改 变测试顺序,对他通过海选的概率是否有影响?说明理由; (2)若甲选手按某种顺序参加海选测试,第一项能通过的概率为 p1,第二项能通过的概率为 p2, 第三项能通过的概率为 p3, 设他通过海选时参加测试的次数为 ξ, 求 ξ 的分布列和期望 (用 p1、p、p3 表示) ;并说明甲选手按怎样的测试顺序更有利于他进入正赛. 考点: 离散型随机变量的期望与方差. 专题: 概率与统计. 分析: (1)先求出甲选手不能通过海选的概率,再由对立事件概率计算公式能求出甲选手 能通过海选的概率. (2)依题意,ξ 的可能取值为 1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求 出 ξ 的分布列和期望. 解答: 解: (1)依题意,甲选手不能通过海选的概率为: (1﹣ ) (1﹣ ) (1﹣ )= ,

故甲选手能通过海选的概率为: 1﹣(1﹣ ) (1﹣ ) (1﹣ )= .

若改变测试顺序对他通过海选的概率没有影响, 因为无论按什么顺序,其不能通过的概率均为(1﹣ ) (1﹣ ) (1﹣ )= 故无论按什么顺序,其能通过海选的概率都是 (2)依题意,ξ 的可能取值为 1,2,3, P(ξ=1)=p1, . ,

P(ξ=2)=(1﹣p1)p2, P(ξ=3)=(1﹣p1) (1﹣p2)×1, ∴ξ 的分布列为: ξ 1

2

3

P p1 (1﹣p1)p2 (1﹣p1) (1﹣p2) Eξ=p1+2(1﹣p1)p2+3(1﹣p1) (1﹣p2)p3, 分别计算当甲选手按 C→B→A,C→A→B,B→A→C,B→C→A,A→B→C,A→C→B 的顺序参加测试时,Eξ 的值几时甲选手按 C→B→A 的顺序参加测试时,Eξ 最小, 因为参加测试的次数少的选手优先进入正赛,故该选手将自己的优势项目放在前面, 即按 C→B→A 的顺序参加测试更有利用于进入正赛. 点评: 本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题. 18. (12 分)如图,△ ABC 的外接圆⊙O 的半径为 5,CE 垂直于⊙O 所在的平面,BD∥CE, CE=4,BC=6,且 BD=1,cos∠ADB= (1)求证:平面 AEC⊥平面 BCED; (2)试问线段 DE 上是否存在点 M,使得直线 AM 与平面 ACE 所成角的正弦值为 存在,确定点 M 的位置;若不存在,请说明理由. ?若 .

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面所成的角. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)由已知得 BD⊥AB,AD= ,AB=10=直径,由此能证明平面 AEC⊥平面 BCED. (2)以 C 为原点,直线 CA 为 x 轴,CB 为 y 轴,CE 这 z 轴,建立空间直角坐标系,利用向 量法能求出线段 DE 上存在点 M,且 为 . 时,使得直线 AM 与平面 ACE 所成角的正弦值

解答: (1)证明:∵BD⊥平面 ABC, ∴BD⊥AB,又∵BD=1,cos ,

∴AD= ,AB=10=直径, ∴AC⊥BC,又 EC⊥平面 ACE,BC?平面 BCED, ∴平面 AEC⊥平面 BCED. (2)解:存在. 如图,以 C 为原点,直线 CA 为 x 轴,CB 为 y 轴,CE 这 z 轴, 建立空间直角坐标系,

则 A(8,0,0) ,B(0,6,0) ,D(0,6,1) ,E(0,0,4) , =(﹣8,6,1) , 设 故 =λ = =(0,﹣6,3) ,

=(0,﹣6λ,3λ) ,0<λ<1, + =(﹣8,6﹣6λ,1+3λ) , =(0,6,0) ,

由(1)得平面 ACE 的法向量为

设直线 AM 与平面 CE 所成角为 θ, 则 sinθ= = = ,

解得

. 时, .

∴线段 DE 上存在点 M,且

使得直线 AM 与平面 ACE 所成角的正弦值为

点评: 本题考查平面与平面垂直的证明,考查直线与平面所成角的正弦值的求法,解题时 要认真审题,注意向量法的合理运用. 19. (13 分)等比数列 an 中的前三项 a1,a2,a3 分别是下面数阵中第一、二、三行中的某三个 数,且三个数不在同一列.

(1)求此数列{an}的通项公式; n (2)若数列{bn}满足 bn=3an﹣(﹣1) lgan,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由已知得 a1=3,a2=6,a3=12,公比 q=2,由此能求出数列{an}的通项公式. (2)由 ,得 bn=3an﹣(﹣1) lgan=9×2
n n﹣1

﹣(﹣1) [lg3+(n﹣1)lg2],由此能

n

求出数列{bn}的前 n 项和 Sn.

解答: 解: (1)经检验,当 a1=5 或 a1=4 时,不可能得到符合题意的等比数列, ∴a1=3,a2=6,a3=12,公比 q=2, ∴ (2)由 ∴Sn=9(1+2+…+2
n﹣1

. ,得 bn=3an﹣(﹣1) lgan=9×2
2 n n﹣1

﹣(﹣1) [lg3+(n﹣1)lg2],
n

n

)﹣[(﹣1)+(﹣1) +…+(﹣1) ](lg3﹣lg2) , +(lg3﹣lg2)﹣( )lg2=9(2 ﹣1)+
n

n 为偶数时,Sn=9×



n 为奇数时,

=9(2 ﹣1)

n

+



∴Sn=



点评: 本题考查数列的通项公式和前 n 项和公式的求法,是中档题,解题时要注意分类讨 论思想的合理运用.

20. (13 分)已知圆 C: (x﹣1) +(y﹣1) =2 经过椭圆 Γ:

2

2

+

=1(a>b>0)的右焦点

F 和上顶点 B. (Ⅰ)求椭圆 Γ 的方程; (Ⅱ)过原点 O 的射线 l 与椭圆 Γ 在第一象限的交点为 Q,与圆 C 的交点为 P,M 为 OP 的中 点,求 ? 的最大值.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 2 2 分析: (Ⅰ)在圆(x﹣1) +(y﹣1) =2 中,令 y=0,得 F(2,0) ,令 x=0,得 B(0,2) , 由此能求出椭圆方程.

(Ⅱ)设点 Q(x0,y0) ,x0>0,y0>0,则

=

=x0+y0,又

,设 b=x0+y0,与 求出 的最大值.
2

联立,得:

,由此能

解答: 解: (Ⅰ)在圆 C: (x﹣1) +(y﹣1) =2 中, 令 y=0,得 F(2,0) ,即 c=2, 令 x=0,得 B(0,2) ,即 b=2, 2 2 2 ∴a =b +c =8, ∴椭圆 Γ 的方程为: .

2

(Ⅱ)设点 Q(x0,y0) ,x0>0,y0>0, 则 = =(1,1)?(x0,y0) =x0+y0, 又 ,

设 b=x0+y0,与

联立,得: ,

令△ ≥0,得 16b ﹣12(12b ﹣8)≥0, 解得﹣2 . 又点 Q(x0,y0)在第一象限, ∴当 时, 取最大值 2 .

2

2

点评: 本题考查直线、圆、椭圆、平面向量、分式函数等基础知识,考查直线与圆锥曲线 的位置关系,考查运算求解能力、推理论证能力,考查数形结合、化归转化及函数与方程等数 学思想. 21. (13 分)已知函数 f(x)=e ﹣ax﹣2x﹣1(x∈R) . (1)当 a=0 时,求 f(x)的单调区间; (2)求证:对任意实数 a<0,有 f(x)> .
x

考点: 利用导数研究函数的单调性.

专题: 证明题;导数的综合应用. 分析: (1)求出函数 f(x)的导函数 f′(x) ,解出 f′(x)>0 和 f′(x)<0,从而求出函 数 f(x)的单调区间; (2)构造新的函数,判断函数的单调性求出函数的最值,从而证明不等式. x 解答: 解: (1)当 a=0 时,f(x)=e ﹣2x﹣1(x∈R) , x ∵f′(x)=e ﹣2,且 f′(x)的零点为 x=ln2, ∴当 x∈(﹣∞,ln2)时,f′(x)<0;当 x∈(ln2,+∞)时,f′(x)>0 即(﹣∞,ln2)是 f(x)的单调减区间, (ln2,+∞)是 f(x)的单调增区间. x 2 x (2)由 f(x)=e ﹣ax ﹣2x﹣1(x∈R)得,f′(x)=e ﹣2ax﹣2, x 记 g(x)=e ﹣2ax﹣2(x∈R) , x ∵a<0,∴g′(x)=e ﹣2a>0,即 f′(x)=g(x)是 R 上的单调递增函数, 又 f′(0)=﹣1<0,f′(1)=e﹣2a﹣2>0, 故 R 上存在唯一的 x0∈(0,1) ,使得 f′(x0)=0,且当 x<x0 时,f′(x)<0;当 x>x0 时, f′(x)>0,即 f(x)在(﹣∞,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增, 则 f(x)min=f(x0)=ex0﹣ax0﹣1, 再由 f′(x0)=0 得 ex0=2ax0+2,将其代入前式可得, f(x)min= ,

又令 h(x0)= 由于﹣a>0,对称轴 ∴h(x0)>h(1)=a﹣1, 又 >0,

=﹣a ,而 x0∈(0,1) ,



∴h(x0)>



故对任意实数 a<0,都在 f(x)>



点评: 本题是一道导数的综合题,考查了,利用导数求函数的单调区间,等价转化思想, 不等式的证明.难度中等.


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