三角恒等变换习题及答案

角函数公式复习
两角和公式 sin(A+B)= sin(A-B)= ? cos(A+B)= cos(A-B)= tan(A+B)= tan(A-B)=

倍角公式 tan2α = cos2α = sin2α =

半角公式 sin^2(α/2)= cos^2(α/2)= tan^2(α/2)=

和差化积 2s

inAcosB= 2cosAsinB= 2cosAcosB= -2sinAsinB=

积化和差公式 sinαsinβ= cosαcosβ=

sinαcosβ=

万能公式
sin(α)= (2tαn(α/2))/(1+tαn^2(α/2)) cos(α)= (1-tαn^2(α/2))/(1+tαn^2(α/2)) tαn(α)= (2tαn(α/2))/(1-tαn^2(α/2))

角函数公式
两角和公式 sin(Α+B)=sinΑcosB+cosΑsinB cos(Α+B)=cosΑcosB-sinΑsinB tαn(Α+B)=(tαnΑ+tαnB)/(1-tαnΑtαnB) 倍角公式
cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? ； 。
sin 2? ? 2 sin ? cos ? ； 2 tan ? tan 2? ? 1 ? tan 2 ?

sin(Α-B)=sinΑcosB-sinBcosΑ ? cos(Α-B)=cosΑcosB+sinΑsinB tαn(Α-B)=(tαnΑ-tαnB)/(1+tαnΑtαnB)

半角公式 sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tαn^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

和差化积 2sinΑcosB=sin(Α+B)+sin(Α-B) 2cosΑsinB=sin(Α+B)-sin(Α-B) ) 2cosΑcosB=cos(Α+B)+cos(Α-B) -2sinΑsinB=cos(Α+B)-cos(Α-B)

积化和差公式 sin(α)sin(β)=—1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] cos(α)cos(β)=1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)]

sin(α)cos(β)=1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)]

1.三角函数式的化简
（1）降幂公式
sin ? cos ? ? 1 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 sin 2? ； sin 2 ? ? ； cos ? ? 。 2 2 2

（2）辅助角(合一)公式
a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 ? sin ? x ? ? ? ， 其中sin ? ?
b a ?b
2 2

， ?? cos

a a ? b2
2

。

2．在三角函数化简时注意：
①能求出的值应求出值； ③尽量使项数最少； ⑤尽量使被开方数不含三角函数； ②尽量使三角函数种类最少； ④尽量使分母不含三角函数； ⑥必要时将 1 与 sin 2 ? ? cos2 ? 进行替

换 化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂等

《三角恒等变换练习题》
一、选择题 1. 已知 x ? ( ? Α.
7 24

?
2
B.

, 0) ， cos x ?
? 7 24

4 ，则 tan 2 x ? （ 5
24 7

）

C.

D.

?

24 7

2. 函数 y ? 3sin x ? 4cos x ? 5 的最小正周期是（ Α.

）

? 5

B.

? 2

C.

?

D.

2?

3. 在△Α BC 中， cos A cos B ? sin Asin B ，则△ABC 为（ Α. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形

） D. 无法判定

4. 设 a ? sin14 ? cos14 ， b ? sin16 ? cos16 ， c ?
0 0 0 0

6 ,则 a, b, c 大小关系（ 2

）

Α. C.

a?b?c c ? b? a

B. D.

b?a?c a ? c? b
）

5. 函数 y ? 2 sin(2 x ? ? )cos[2( x ? ?)] 是（ Α . 周期为

? ? 的奇函数 B. 周期为 的偶函数 4 4 ? ? C. 周期为 的奇函数 D. 周期为 的偶函数 2 2
2 4 4 ，则 sin ? ? cos ? 的值为（ 3
11 18
C.

6. 已知 cos 2? ? Α.

）

13 18

B.

7 9

D.

?1

二、填空题 1. 求值： tan 20 ? tan 40 ? 3 tan 20 tan 40 ? _____________.
0 0 0 0

2. 若

1 ? tan ? 1 ? 2008, 则 ? tan 2? ? 1 ? tan ? cos 2?

.

3. 已知 sin

?
2

? cos

?
2

?

2 3 , 那么 sin ? 的值为 3

, cos 2? 的值为

.

4.

?ABC 的三个内角为 A 、 B 、C ，当 A 为
值，且这个最大值为 .

时，cos A ? 2 cos

B?C 取得最大 2

三、解答题 1. ① 已知 sin ? ? sin ? ? sin ? ? 0,cos ? ? cos ? ? cos ? ? 0, 求 cos( ? ? ? ) 的值.

②若 sin ? ? sin ? ?

2 , 求 cos? ? cos ? 的取值范围. 2

2. 求值：

1 ? cos 200 ? sin100 (tan ?1 50 ? tan 50 ) 0 2sin 20

3. 已知函数 y ? sin

x x ? 3 cos , x ? R. 2 2 ①求 y 取最大值时相应的 x 的集合；

②该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到 y ? sin x( x ? R) 的图象.

《三角恒等变换练习题》参考答案
一、选择题 1. D 2. D 3. C 4. D

x ? (?

4 3 3 2 tan x 24 , 0) ， cos x ? ,sin x ? ? , tan x ? ? , tan 2 x ? ?? 2 2 5 5 4 1 ? tan x 7 2? y ? 5sin( x ? ? ) ? 5, T ? ? 2? 1

?

cos A cos B ? sin A sin B ? cos( A ? B) ? 0, ? cos C ? 0,cos C ? 0, C 为钝角

a ? 2 sin 590 ， b ? 2 sin 610 ， c ? 2 sin 600
y ? ? 2 sin 2 x cos 2 x ? ?
2? ? 2 ? sin 4 x ，为奇函数， T ? 4 2 2

5. C

6. B

1 sin 4 ? ? cos 4 ? ? (sin 2 ? ? cos 2 ? ) 2 ? 2sin 2 ? cos 2 ? ? 1 ? sin 2 2? 2 1 11 2 ? 1 ? ( 1 ? c o s? 2 ? ) 2 18

二、填空题 1.

3

tan 200 ? tan 400 tan 60 ? tan(20 ? 40 ) ? ? 3 1 ? tan 200 tan 400
0 0 0

3 ? 3 tan 200 tan 400 ? tan 200 ? tan 400
2.

2008

1 ?t an? ? 2 c o s? 2

1 s i n 2 ? 1 s? n 2 ? i ? ? c o? 2 s cos 2 ? ?c o s 2

?
3. 4.

(cos ? ? sin ? )2 cos ? ? sin ? 1 ? tan ? ? ? ? 2008 cos 2 ? ? sin 2 ? cos ? ? sin ? 1 ? tan ?

? 4 1 7 ? cos ) 2 ? 1 ? sin ? ? ,sin ? ? , cos 2? ? 1 ? 2sin 2 ? ? 2 2 3 3 9 3 B? C A A A 2 6 00 , cos ? 2 cos ? A cos A? 2 ?i n s ? 1 2 sin ? 2 sin 2 2 2 2 2 A A A 1 3 ? ?2sin 2 ? 2sin ? 1 ? ?2(sin ? ) 2 ? 2 2 2 2 2 A 1 B?C 3 0 ) max ? 当 sin ? ，即 A ? 60 时，得 (cos A ? 2 cos 2 2 2 2
1 7 , 3 9 (sin

?

三、解答题 1. ①解： sin ? ? sin ? ? ? sin ? ,cos ? ? cos ? ? ? cos ? ,

(sin ? ? sin ? )2 ? (cos ? ? cos ? )2 ? 1,
1 2 ? 2 cos( ? ? ? ) ? 1, cos( ? ? ? ) ? ? . 2

②解：令 cos ? ? cos ? ? t ，则 (sin ? ? sin ? ) ? (cos ? ? cos ? ) ? t ?
2 2 2

1 , 2

1 3 2 ? 2 cos(? ? ? ) ? t 2 ? , 2 cos(? ? ? ) ? t 2 ? 2 2

?2 ? t 2 ?

3 1 7 14 14 ? 2, ? ? t 2 ? , ? ?t ? 2 2 2 2 2

2. 解：原式 ?

2cos 2 100 cos 50 sin 50 ? sin100 ( ? ) 4sin100 cos100 sin 50 cos 50

?

cos100 cos100 ? 2sin 200 ? 2cos100 ? 2sin100 2sin100 cos100 ? 2sin(300 ? 100 ) cos100 ? 2sin 300 cos100 ? 2cos 300 sin100 ? 2sin100 2sin100

?

? cos 300 ?
3. 解： y ? sin （1）当

3 2

x ? ? ? ? ? 2k? ? ，即 x ? 4k? ? , k ? Z 时， y 取得最大值 2 3 2 3

x x x ? ? 3 cos ? 2sin( ? ) 2 2 2 3

? ? ? ? x | x ? 4k? ? , k ? Z ? 为所求 3 ? ?
（2） y ? 2sin( ?
? 右移 个单位 x ? x 横坐标缩小到原来的2倍 3 ) ????? y ? 2sin ??????? y ? 2sin x ? ? 2 3 2

纵坐标缩小到原来的2倍 ??????? y ? sin x ?