tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2013高中数学奥数培训资料之三角恒等式与三角不等式


兰州成功私立中学高中奥数辅导资料 (内部资料) §9 三角恒等式与三角不等式
三角恒等变形,既要遵循代数式恒等变形的一般法则,又有三角所特有的规律. 三角恒等式包括绝对恒等式和条件恒等式两类。 证明三角恒等式时, 首先要观察已知与 求证或所证恒等式等号两边三角式的繁简程度, 以决定恒等变形的方向; 其次要观察已知与 求证或所证恒等式等号两边三角式的角、函数名称、次数以及

结构的差别与联系,抓住其主 要差异,选择恰当的公式对其进行恒等变形,从而逐步消除差异,统一形式,完成证明.“和 差化积”、“积化和差”、“切割化弦”、“降次”等是我们常用的变形技巧。当然有时也 可以利用万能公式“弦化切割”,将题目转化为一个关于 t ? tan 题. 要快捷地完成三角恒等式的证明,必须选择恰当的三角公式. 为此,同学们要熟练掌握 各公式及各公式的来龙去脉和变形形式.
T 2?

x 2

的代数恒等式的证明问

? ? ?

T? ? ?

T? ? ?

相除
? ? ?

相除

相除

S 2? C 2?

S? ?? C? ??

S? ?? C? ??

S?
2

C?
2

万 能 公 式

相加减 积化和差

T?
2

S 3? C 3?

和差化积

上图为三角公式脉络图, 由图可见两角和差的三角函数的公式是所有三角公式的核心和 基础. 此外,三角是代数与几何联系的“桥梁”,与复数也有紧密的联系,因而许多三角问题 往往可以从几何或复数角度获得巧妙的解法. 三角不等式首先是不等式,因此,要掌握证明不等式的常用方法:配方法、比较法、放 缩法、基本不等式法、数学归纳法等. 其次,三角不等式又有自己的特点——含有三角式, 因而三角函数的单调性、有界性以及图象特征等都是处理三角不等式的锐利武器. 三角形中有关问题也是数学竞赛和高考的常见题型. 解决这类问题,要充分利用好三角 形内角和等于 180°这一结论及其变形形式. 如果问题中同时涉及边和角,则应尽量利用正 弦定理、余弦定理、面积公式等进行转化,实现边角统一. 求三角形面积的海伦公式

S ?

p ( p ? a )( p ? b )( p ? c ) [ 其中 p ?

1 2

( a ? b ? c )] ,大家往往不甚熟悉,但十分有用.

例题讲解
1.已知 sin ? ? A sin( ? ? ? ), | A |? 1, 求证 : tan( ? ? ? ) ?
sin ? cos ? ? A
7

.

2.证明: cos

7 x ? 7 cos 5 x ? 21 ocs 3 x ? 35 cos x ? 64 cos

x.

3.求证: 3 tan 18 ? ? tan 18 ? tan 12 ? ? 3 tan 12 ? ? 1 .

4.已知 1 ? tan ?
1 ? tan ?

? 2001 , 求证 : sec 2? ? tan 2? ? 2001 .

5.证 明: 4 sin ? sin( 60 ?

? ? ) sin( 60 ? ? ) ? sin 3? .
?

6.求证:① cos 6 ? cos 42 ? cos 66 ? cos 78 ? ? ②sin1°sin2°sin3°?sin89°= ( )
4 1
45

1 16

? 6 10 .

7.证明:对任一自然数 n 及任意实数 x ?

m 2
k

? ( k ? 0 ,1, 2 , ? , n , m 为任一整数),有

1 sin 2 x

?

1 sin 4 x

?? ?

1 sin 2 x
n

? cot x ? cot 2 x .
n

sin( ? ?

n 2

? ) sin ?
2

n ?1 2

?
.

8.证明: sin ? ? sin( ? ? ? ) ? sin( ? ? 2 ? ) ? ? ? sin( ? ? n ? ) ?

sin

9.若 0 ? ? ? ? ,求证: sin ? ?

1 2

sin 2? ?

1 3

sin 3? ? 0

10.已知 0 ? ? ? ? ,证明: 2 sin 2? ? ctg

?
2

,并讨论等号成立的条件。

11.已知 ? , ? ? ( 0 ,

?
2

) ,能否以 sin ? , sin ? , sin( ? ? ? ) 的值为边长,构成三角形。

12.在△ ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边为 a 、 b 、 c ,求证:

aA ? bB ? cC a?b?c

?

?
3

13.在锐角△ ABC 中,求证 (1) sin A ? sin B ? sin C ? cos A ? cos B ? cos C ;(2) tgAtgBtgC
?1

14.设 x ? y ? z ?

?
12

,且 x ? y ? z ?

?
2

,求乘积 cos x sin y cos z 的最大值和最小值。

课后练习
1.证明:sin47°+sin61°-sin11°-sin25°=cos7°. sin( 2? ? ? ) sin ? ? 2 cos( ? ? ? ) ? . 2.证明: sin ? sin ? 3.已知:sinA+sinB+sinC=0,cosA+cosB+cosC=0. 求证:sin2A+sin2B+sin2C=0,cos2A+cos2B+cos2C=0. 4.已知 ? ? ( 0 , ? ), 求证 : sin ? ? 5.已知 0 ? ? ? ? ?
?
2 1 2 sin 2? ? 1 3 sin 3? ? 0 .

, 且 tan ? ? 3 tan ? , 求 ? ? ? 的最大值.
?
2 ), 且 ? ? ? ? ? ? ? ? ? .求 y ? sin ? sin ? sin ? sin ?

6.已知 ? 、 ? 、 ? 、 ? ? ( 0 ,

的最大值.

7.△ABC 中,C=2B 的充要条件是 c ? b ? ab .
2 2

8.△ABC 中,已知 sin

2

A 、 sin

2

B 、 sin

2

C 成等差数列,求证: cot A 、 cot B 、 cot C

也成等差数列. 9.△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 2 b ? a ? c ,求 B 的最大值. ? 10.若 ? 、 ? ? ( 0 , ), 能否以 sin ? 、 sin ? 、 sin( ? ? ? ) 的值为边长构成一个三角形.
2

11.求函数 y ? 12.求函数 y ?
x 2

2? x ?

8 ? 3 x 的值域.

?1?

x ? 2 x ? 2 的值域.
2

13.在△ ABC 中,求证: c ? a cos A ? b cos B ; b ? c cos C ? a cos A ;
a ? b cos B ? a cos A 。

14.设 ? 为锐角,求证: (1 ?
?
2

1 sin ?

)( 1 ?

1 cos ?

)? 3?2 2

15.对 x ? ( 0 ,

) ,求证: 2 x ? sin x ? tgx 。

例题答案:
1.分析:条件涉及到角 ? 、 ? ? ? ,而结论涉及到角 ? ? ? , ? .故可利用
? ? (? ? ? ) ? ? 或 ? ? (? ? ? ) ? ? 消除条件与结论间角的差异,当然亦可从式中的“A”

入手. 证法 1: ?

sin ? ? A sin( ? ? ? ),
? sin( ? ? ? ? ? ) ? A sin( ? ? ? ),

sin( ? ? ? ) cos ? ? cos( ? ? ? ) sin ? ? A sin( ? ? ? ), sin( ? ? ? )(cos ? ? A ) ? sin ? cos( ? ? ? ),

?| A |? 1, ? cos ? ? A ? 0 , 从而 cos( ? ? ? ) ? 0 , tan( ? ? ? ) ? sin ? cos ? ? A
sin ? cos ? ? sin ? sin( ? ? ? )

.
sin( ? ? ? ) sin ? cos ? sin( ? ? ? ) ? sin ?

证法 2:

sin ? sin ? ? A

?

?

? ?

sin( ? ? ? ) sin ? cos ? sin( ? ? ? ) ? sin[( ? ? ? ) ? ? ] sin( ? ? ? ) sin ? cos( ? ? ? ) sin ?

? tan( ? ? ? ).

2.分析:等号左边涉及角 7x、5x、3x、x 右边仅涉及角 x,可将左边各项逐步转化为 sin x 、
cos x 的表达式,但相对较繁. 观察到右边的次数较高,可尝试降次.

证明:因为 cos 3 x ? 4 cos

3

x ? 3 cos x , 所以 4 cos

3

x ? cos 3 x ? 3 cos x ,

从而有 16 cos 6 x ? cos 2 3 x ? 6 cos 3 x cos x ? 9 cos 2 x
?
32 cos 64 cos
6

1 ? cos 6 x 2

? 3 (cos 4 x ? cos 2 x ) ?

9 2

(1 ? cos 2 x )

x ? 1 ? cos 6 x ? 6 cos 4 x ? 6 cos 2 x ? 9 ? 9 cos 2 x , x ? 2 cos 6 x cos x ? 12 cos 4 x cos x ? 30 cos 2 x cos x ? 20 cos x
? cos 7 x ? cos 5 x ? 6 cos 5 x ? 6 cos 3 x ? 15 cos 3 x ? 15 cos x ? 20 cos x ? cos 7 x ? 7 cos 5 x ? 21 cos 3 x ? 35 cos x .

7

评述:本题看似“化简为繁”,实质上抓住了降次这一关键,很是简捷. 另本题也可利用复

数求解. 令 z ? cos ? ? i sin ? , 则 2 cos ? ? z ?

1 z

, 从而 ,128 cos

7

? ? (z ?

1 z

7 ) ,展开即可.

3.思路分析:等式左边同时出现 tan 18 ? tan 12 ? 、 tan 18 ? ? tan 12 ? ,联想到公式
tan( ? ? ? ) ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

.

证明: 3 tan 18 ? ? tan 18 ? tan 12 ? ? 3 tan 12 ?
? ? ?1 3 (tan 18 ? tan 12 ) ? tan 18 tan 12
? ? ? ? ? ? ?

3 ? tan( 18 ? 12 )( 1 ? tan 18 tan 12 ) ? tan 18 tan 12

?

?

?

评述:本题方法具有一定的普遍性. 仿此可证 (1 ? tan 1 )( 1 ? tan 2 ) ? (1 ? tan 43 )
(1 ? tan 44 ) ? 2
? 22

?

?

?

等.、
1 ? cos( ? sin(

?
2

4.证明: sec 2?

? tan 2? ?

1 ? sin 2? cos 2?

? 2? ) ? tan(

?
4

?
2

??)

? 2? )

?

1 ? tan ? 1 ? tan ?
3

? 2001 .

5.证明: sin

3? ? 3 sin ? ? 4 sin ?

? 4 sin ? ( ? 4 sin ? (

3 4 3 4

? sin ? )
2

cos 3 2

2

? ?

1 4

sin ? )
2

? 4 sin ? [(

cos ? ) ? (
2 ?

1 2

sin ? ) ]
2 ? ? ?

? 4 sin ? (sin 60 cos ? ? cos 60 sin ? )(sin 60 cos ? ? cos 60 sin ? ) ? 4 sin ? sin( 60
?

? ? ) sin( 60

?

??)

评述:这是三倍角的正弦的又一表示. 类似地,有 cos 3? ? 4 cos ? cos( 60 ? ? ? ) cos( 60 ? ? ? )
tan 3? ? tan ? ? tan( 60 ? ? ) tan( 60 ? ? )
? ?

. 利用这几个公式可解下例.

6. 证明:①cos6°cos42°cos66°cos78° =cos6°cos54°cos66° ?
cos 42 cos 78 cos 54
? ? ?

?

cos 18 cos 42 cos 78 4 cos 54 1 cos( 3 ? 18 ) 4 cos 54
? ? ?

?

?

?

? ?

4 1 16

.

②sin1°sin2°sin3°?sin89° =(sin1°sin59°sin61°)(sin2°sin58°sin62°)?(sin29°sin31°sin89°)sin30°sin60° =( )
4
1 30 ? ( ) 4 3 (sin 3 sin 57
? ? ?

1

29

sin 3 sin 6 ? sin 87 ?

?

?

?

3 4

sin 63 )(sin 6 sin 54 sin 66 ) ? (sin 27

?

?

?

?

sin 33 sin 87 ) sin 30 sin 60

?

?

?

?

1 40 ? ? ? ? ( ) ? 3 sin 9 ? sin 18 ? sin 81 4 1 40 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( ) ? 3 ? (sin 9 sin 18 )(sin 18 sin 72 )(sin 27 sin 63 )(sin 36 sin 54 ) ? sin 45 4

1 42 3 2 ? ? ? ? ( ) ? sin 18 sin 36 sin 54 sin 72 4 2 1 42 3 ? ( ) ? 4 2 1 42 3 ? ( ) ? 4 2 1 42 3 ? ( ) ? 4 2 1 43 3 ? ( ) ? 4 2 1 43 3 ? ( ) ? 4 2
? ? ?

?

2 cos 72 cos 54 cos 36 cos 18 2 cos 18 cos 36 cos 72 cos 54 2 cos 18 cos 36 sin 18 cos 54 2 sin 72 cos 54 2 cos 18 sin 36
1 4
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?

?

?

又 (cos 18 ? sin 36 ? ) 2 ?

(1 ? cos 36 )( 1 ? cos 72 )

?

?

? ? ?

1 4 1 4 5

(1 ? cos 36 ? cos 72 ? cos 36 cos 72 ) (1 ? cos 36 cos 72 )
? ?

?

?

?

?

16

即 cos 18 ? sin 36 ? ?

5 4

.

所以 sin 1 ? sin 2 ? ? sin 89 ? ? ( ) 45 ? 6 10 .
4

1

7. 思路分析:本题左边为 n 项的和,右边为 2 项之差,故尝试将左边各项“裂”成两项之 差,并希冀能消去其中许多中间项. 证明: 同理 ??
1 sin 2 x
n

1 sin 2 x
1

?

2 cos

2

x ? cos 2 x

?

2 cos

2

x

?

cos 2 x sin 2 x

? cot x ? cot 2 x ,

sin 2 x
? cot 2 x ? cot 4 x

2 sin x cos x

sin 4 x

? cot 2

n ?1

x ? cot 2 x
n

评述:①本题裂项技巧也可通过数学归纳法获得. ②“裂项相消”在解题中具有一定的普遍性,类似可证下列各题: tan n ? tan ? tan 2? ? tan 2? tan 3? ? ? ? tan( n ? 1)? tan n ? ? ?n. tan ?
tan ? ? 2 tan 2? ? 2 tan 2 ? ? ? ? 2 tan 2 ? ? cot ? ? 2
2 2 n n n ?1

cot 2
?

n ?1

?.

1 cos 0 cos 1
? ?

?

1 cos 1 cos 2
? ?

?? ?

1 cos 88 cos 89
? ?

? cos 1 cot 1

?

8. 证明: sin ? sin

?
2

? ?

1 2

[cos( ? ?

?
2

) ? cos( ? ?

?
2

)],

类似地 sin( ? ? ? ) sin sin( ? ? 2 ? ) sin ?? sin( ? ? n ? ) sin 各项相加得
1 2 ? s i n? ? ( n 2

?
2

? ? ? ?

1 2 1 2

[cos( ? ? [cos( ? ?

3 2 5 2

? ) ? cos( ? ? ? ) ? cos( ? ?

?
2 3 2

)],

?
2

? )] ,

?
2

? ?

1 2

[cos( ? ?

2n ? 1 2

? ) ? cos( ? ?

2n ? 1 2

? )] ,

, sin

?
2

[sin ? ? sin( ? ? ? ) ? sin( ? ? 2 ? ) ? ? ? sin( ? ? n ? )]
2n ? 1 2

? ?

[cos( ? ?

? ) ? cos( ? ? ?.

?
2

)]

? )s in

n ?1 2

所以, sin ? ? sin( ? ? ? ) ? ? ? sin( ? ? n ? ) ?

sin( ? ?

n 2

? ) sin ?
2

n ?1 2

?
.

sin

评述:①本题也可借助复数获证. ②类似地,有 cos ?
sin ? cos( ? ? ? ) ? ? ? cos( ? ? n ? ) ? n ?1 2 sin

? cos( ? ? ?
2

n 2

?)
.

利用上述公式可快速证明下列各式:

sin cos ? ? cos 2? ? cos 3? ? ? ? cos n ? ?

n 2

? cos
sin

n ?1 2

?

?
2

cos cos

?
9

? cos ? cos

3 7 3 9

? ? cos ? ? cos

5 7 5 9

? ?

1 2

. 7 9

?
9

? ? cos

? ?

1 2

等.


推荐相关:

2013高中数学奥数培训资料之向量与向量方法

兰州成功私立中学高中奥数辅导资料 (内部资料)§10 ...(1993 年上海市高三数学竞赛试题) 3. (证明恒等式...数学邀请赛备选题) 6.用向量方法证明下列不等式: ...


2013竞赛专题——著名不等式汇集

高中数学竞赛(07-10)试题... 7页 1下载券 奥数竞赛讲座20-排列、组... 4...舒尔不等式 9. 一些几何不等式 10 佩多不等式 20 外森比克不等式 30 三角...


高中数学奥赛讲义:竞赛中常用的重要不等式

高中数学奥赛讲义:竞赛中常用的重要不等式_学科竞赛_...其中 证 不失一般性,设得 等式当且仅当 ; 为常数...文档贡献者 杨小小谦 贡献于2013-04-06 ...


绝对值三角不等式(导学案)

2012—2013 学年高二数学选修 4-5 导学案 编号 2 编制人:张英亮 审核人:王...绝对值三角不等式 一、学习目标: 1.理解绝对值的定义,理解不等式基本性质的...


2013届高二数学教案:1.4绝对值三角不等式(人教A版选修4-5)

2013届,高二,数学,教案2013届,高二,数学,教案隐藏>> 课题: 第 04 课时 绝对值三角不等式 教学札记 教学目标: 1:了解绝对值三角不等式的含义,理解绝对值三角不...


2014.05.09高三数学(集合、函数、导数、不等式、三角、向量、数列)一轮复习期中测试题

考试日期: 高三数学(集合、函数、导数、不等式三角、向量、数列)一轮复习期中测试题 (时间 150 分钟 分数 150 分)姓名: 分数: 一、选择题(每小题 6 分,...


2013年数学高考题分类不等式

2013数学高考题分类不等式_高考_高中教育_教育专区...2 的图像围成一个三角形区域,3 个顶点的 坐标...0 ? 等式组: ? x ? 2y ? 1 ? 0 ,所表示...


2013江苏省高考高三一轮数学复习专题材料专题03 不等式

2013江苏省高考高三一轮数学复习专题材料专题03 不等式_高三数学_数学_高中教育_...x 是上的减函数. 3.如果对任意一个三角形,只要它的三边长 a,b,c 都在...


2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)选修4-5 不等式选讲

1 3.(2013· 福建改编)设不等式|x-2|...柯西不等式的证明有多种方法,如数学归纳法,教材中的参数配方法(或判别式法)等,参 数配方法在解决其它问题方面应用比...


黄冈2013高考数学【不等式】复习讲义

黄冈2013高考数学三角函... 33页 10财富值 黄冈...不等式】复习讲义黄冈2013高考数学不等式】复习讲义...(2)既可以直接利用基本不等式将题目中的等式转化为...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com