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11直线的点法式方程


本节课学习内容:

11.1.2 直线的点法向式和一般式方程
1. 直线的点法式方程
(两课时)

直线的点法式方程

求过点P0(x0, y0)且垂直于向量 n=(a, b)的直线方程。
设P(x,y)为所求直线上任一点,则有
y

n=(a,b)

>P(x,y) P0(x0,y0) 0

∵P0P ⊥ n

n ? P0P = 0

(a, b)(x - x0, y - y0) = 0
∴a (x -x0 ) + b (y - y0) = 0

x

这个方程叫做直线的点法式方程, n 叫做直线的法向量。 法向量不唯一

2.直线的点法向式方程

(1) .已知直线l经过点P ( x0 , y0 ) 且与非零向量n ? (a, b)垂直 的直线方程是:

a( x ? x0 ) ? b( y ? y0 ) ? 0



l

n ? ( a , b)

d ? (u, v)

(2):若直线的一个方向向量是d ? (u, v) 则它的一个法向量是n ? (v,?u ) 反之,若直线的一个法向量是n ? (a, b) 则它的一个方向向量是d ? (b,?a)

练习:观察下列方程,并写出各直线 的一个方向向量和一个法向量。
x ?1 y ? 2 (1 ) ? ?1 2 2x ?1 (2) ? ?3 y 5

答案:( 1 ) d? (? 1, 2), n? (2, 1 )

(2) n? (2, 15) ,d ? (? 15, 2)

例2.

例5.
A

解:l1 ? l 2 ? n 1 ? n 2 ? (2 ? a, a) ? (1,?a) ? 2 ? a ? a 2 ? 0 ? a ? ?2或a ? 1

?

?

例3. 已知点A(-1, 2)B(2, 1)C(0, 4)求△ABC三条高所 在的直线方程.

解 AB ? (2 ? 1, 1 ? 2) ? (3,?1), AC ? (0 ? 1, 4 ? 2) ? (1, 2).
BC ? (0 ? 2, 4 ? 1) ? (?2, 3).
如图所示: △ABC三条高分别为 由点法式方程得CD方程为: CD、AE、BF,
y C(0,4) F D A(-1,2) B (2,1) 0 x E
?

?

?

3(x-0)+(-1)(y-4) = 0 即 3x - y+4 = 0
由点法式方程得AE方程为:

(-2)(x+1) + 3(y - 2) = 0 即 2x-3y+8 = 0
由点法式方程得BF方程为:

1(x - 2) + 2(y - 1) = 0

即 x + 2y - 4 = 0

例4.

A

例6.

b b b b b b b b,,0) b b 解:设 l : 4 x ? 3 y ? b ? 0 ? A (0, ? ), B ( ? 解:设 l : 4 x ? 3 y ? b ? 0 ? A (0, ? ), B ( ? 0) 解:设 l : 4 x ? 3 y b ? 0 ? A (0, ? ), B ( ? , 0) ? 1 1 解:设 : 4 x ? 3 y ? b ? 0 ? A (0, ? ), B ( ? , 0) 1 解:设 ll : 4 x ? 3 y ? b ? 0 ? A (0, ? ), B ( ? , 0) 1 1 4 3 4 3 3 4 3 4 3 4 b b 5 b b b b 5 5 b b 5b b b 5 C ? ? ? ? ? ? b ? 10 b ? ? 10 ? C ? ? ? ? ? b ? b ? 10 ? b ? ? 10 ? C? ? ? ? ? ? b ? 10 ? b? ? ? 10 ?C C? ?? ?3 ? ? ? b ? b ? 10 ? b ? ? 10 ? ? ? ? b ? b ? 10 ? b ? ? 10 4 12 3 4 12 3 3 34 12 4 12 12 4 10 10 10 10 10 4 x ? 3 y ? 10 ? 0 ? 4( x ? 0) ? 3( y ? ) ? 0 ? 4 x ? 3 y ? 10 ? 0 ? 4( x ? 0) ? 3( y ? ) ? 0 ? 4? x ? 3 y ? 10 ? 0 ? 4( x ? 0) ? 3( y ? ) ? 0 ? 4 x ? 3 y ? 10 ? 0 ? 4( x ? 0) ? 3( y ? ) ? 0 ? 4 x ? 3 y ? 10 ? 0 ? 4( x ? 0) ? 3(3 y? 3 ) ? 0 3 3 3

例7.


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