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015高考数学二轮复习 专题强化训练4 第1讲 三视图及空间几何体的计算问题 文(含解析)


专题四 第1讲

立体几何

三视图及空间几何体的计算问题

(建议用时:60 分钟) 一、选择题 1.(2014·湖北卷)在如图所示的空间直角坐标系 O-xyz 中,一个四面体的顶点坐标分别是 (0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①②③④的四个图,则该四面体的 正视图和俯视图分别为

( ).

A.①和② C.④和③ 解析

B.③和① D.④和②

由三视图可知,该几何体的正视图是一个直角三角形,三个顶点的坐标分别是

(0,0,2),(0,2,0),(0,2,2)且内有一个虚线(一个顶点与另一直角边中点的连线),故正 视图是④;俯视图即在底面的射影是一个斜三角形,三个顶点的坐标分别是 (0,0,0), (2,2,0),(1,2,0),故俯视图是②. 答案 D 2. (2013·东北三校第三次模拟)如图, 多面体 ABCD?EFG 的底面 ABCD 为正方形, FC=GD=2EA, 其俯视图如下,则其正视图和侧视图正确的是 ( ).

-1-

解析 注意 BE,BG 在平面 CDGF 上的投影为实线,且由已知长度关系确定投影位置,排 除 A,C 选项,观察 B,D 选项,侧视图是指光线,从几何体的左面向右面正投影,则 BG,

BF 的投影为虚线,故选 D.
答案 D 3.(2014·安徽卷)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为 ( ).

A.21+ 3 C.21

B.18+ 3 D.18

1 解析 由三视图知,几何体的直观图如图所示.因此该几何体的表面积为 6×2×2-6× 2 ×1×1+2× 3 2 ×( 2) =21+ 3. 4

-2-

答案 A 4.(2013·广东卷)某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( ).

A.4 16 C. 3

14 B. 3 D.6

解析 由四棱台的三视图可知该四棱台的上底面是边长为 1 的正方形, 下底面是边长为 2 1 2 14 2 2 的正方形, 高为 2.由棱台的体积公式可知该四棱台的体积 V= (1 + 1×2 +2 )×2= , 3 3 故选 B. 答案 B 5. 如图, 在矩形 ABCD 中, AB=2, BC=3, 沿 BD 将矩形 ABCD 折叠, 连接 AC, 所得三棱锥 A?BCD 正视图和俯视图如图,则三棱锥 A?BCD 侧视图的面积为 ( ).

A.

6 13

18 B. 13
-3-

2 C. 13

3 D. 13

解析 由正视图及俯视图可得,在三棱锥 A?BCD 中,平面 ABD⊥平面 BCD,该几何体的侧 视图是腰长为 答案 B 6.在具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中,体积最大的几何体的表面积为 ( ). 2×3 2 +3
2 2



6

1 ? 6 ?2 18 的等腰直角三角形,其面积为 ×? ?= . 2 ? 13? 13 13

A.13 7 C. π 2 解析

B.7+3 2 D.14 由正视图和俯视图可知,该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱或水平

放置的圆柱.由图象可知四棱柱的体积最大.四棱柱的高为 1,底面边长分别为 1,3,所 以表面积为 2(1×3+1×1+3×1)=14. 答案 D 7.(2013·湖南卷)已知正方体的棱长为 1,其俯视图是一个面积为 1 的正方形,侧视图是一 个面积为 2的矩形,则该正方体的正视图的面积等于 A. 3 2 2+1 2 B.1 D. 2 ( ).

C. 解析

易知正方体是水平放置的,又侧视图是面积为 2的矩形.所以正方体的对角面平

行于投影面,此时正视图和侧视图相同,面积为 2. 答案 D 二、填空题 8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为____________.

-4-

解析

由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组成.其中长方体的长、宽、高分

1 2 别为 4,2,2,圆柱的底面半径为 2,高为 4.所以 V=2×2×4+ ×2 ×π ×4=16+8π . 2 答案 16+8π 9.(2013·江苏卷)如图,在三棱柱 A1B1C1?ABC 中,D,E,F 分别是

AB, AC, AA1 的中点, 设三棱锥 F?ADE 的体积为 V1, 三棱柱 A1B1C1?ABC
的体积为 V2,则 V1∶V2=________. 解析 设三棱柱 A1B1C1-ABC 的高为 h,底面三角形 ABC 的面积 1 1 1 1 1 为 S,则 V1= × S· h= Sh= V2,即 V1∶V2=1∶24. 3 4 2 24 24 答案 1∶24 10.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别为线段 AA1,B1C 上的点,则三棱锥 D1 -EDF 的体积为________.

解析 利用三棱锥的体积公式直接求解.

VD1-EDF=VF-DD1F= S△D1DE·AB= × ×1×1×1= .
答案 1 6

1 3

1 1 3 2

1 6

11.(2014·重庆卷改编)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为________.
-5-

解析

由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形,由正视图和侧视图可以判断该

几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的.在长方体中分析还原,如图 1 (1)所示,故该几何体的直观图如图(2)所示.在图(1)中,直角梯形 ABPA1 的面积为 ×(2 2 1 35 +5)×4=14,计算可得 A1P=5.直角梯形 BCC1P 的面积为 ×(2+5)×5= .因为 A1C1⊥ 2 2 1 15 平面 A1ABP,A1P? 平面 A1ABP,所以 A1C1⊥A1P,故 Rt△A1PC1 的面积为 ×5×3= .又 Rt 2 2 1 △ABC 的面积为 ×4×3=6,矩形 ACC1A1 的面积为 5×3=15,故几何体 ABC-A1PC1 的表面 2 35 15 积为 14+ + +6+15=60. 2 2

答案 60 12.已知三棱锥 S ?ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为 球 O 的直径,且 SC=2,则此三棱锥的体积为________. 解析 在 Rt△ASC 中, AC=1, ∠SAC=90°, SC=2, 所以 SA= 4-1= 3.同理, SB= 3. 过 A 点作 SC 的垂线交 SC 于 D 点,连接 DB,因为△SAC≌△SBC,故 BD⊥SC,AD=BD,故

SC⊥平面 ABD,且△ABD 为等腰三角形.因为∠ASC=30°,故 AD= SA=

1 2

3 ,则△ABD 的 2

-6-

1 面积为 ×1× 2 答案 三、解答题 2 6

AD2-? ?2= 2

?1? ? ?

2 1 2 2 ,则三棱锥 S-ABC 的体积为 × ×2= . 4 3 4 6

13.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为 8、高为 4 的等腰三角 形,侧视图是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形.

(1)求该几何体的体积 V; (2)求该几何体的侧面积 S. 解 由已知可得,该几何体是一个底面为矩形,高为 4,顶点在底面的射影是矩形中心的

四棱锥 E?ABCD,AB=8,BC=6. 1 (1)V= ×8×6×4=64. 3 (2)四棱锥 E?ABCD 的两个侧面 EAD,EBC 是全等的等腰三角形,且 BC 边上的高 h1=

?8?2 2 4 +? ? =4 2; ?2?
另两个侧面 EAB,ECD 也是全等的等腰三角形,AB 边上的高 h2= 1 ?1 ? 因此 S=2×? ×6×4 2+ ×8×5?=40+24 2. 2 ?2 ? 14.如图,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,直线 l 与平面 ABCD 平行,E 和 F 是 l 上的两个 不同点,且 EA=ED,FB=FC.E′和 F′是平面 ABCD 内的两点,EE′和 FF′都与平面 ABCD 垂直.

?6?2 2 4 +? ? =5. ?2?

(1)证明:直线 E′F′垂直且平分线段 AD; (2)若∠EAD=∠EAB=60 °,EF=2.求多面体 ABCDEF 的体积. (1)证明 ∵EA=ED 且 EE′⊥平面 ABCD, ∴E′D=E′A,∴点 E′在线段 AD 的垂直平分线上.

-7-

同理,点 F′在线段 BC 的垂直平分线上. 又四边形 ABCD 是正方形, ∴线段 BC 的垂直平分线也就是线段 AD 的垂直平分线,即点 E′、F′都在线段 AD 的垂直 平分线上. ∴直线 E′F′垂直且平分线段 AD. (2)解 如图,连接 EB、EC,由题意知多面体 ABCDEF 可分割成正四棱锥 E?ABCD 和正四面 体 E?BCF 两部分.设 AD 的中点为 M,在 Rt△MEE′中,由于 ME′=1,ME= 3,∴EE′ = 2.

1 1 4 2 2 ∴VE?ABCD= ·S 正方形 ABCD·EE′= ×2 × 2= . 3 3 3 1 1 1 2 2 2 又 VE?BCF=VC?BEF=VC?BEA=VE?ABC= S△ABC·EE′= × ×2 × 2= , 3 3 2 3 ∴多面体 ABCDEF 的体积为 VE?ABCD+VE?BCF=2 2. 15.(2013·广东卷)如图 1,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中,D,E 分别是 AB,AC 上的点,

AD=AE,F 是 BC 的中点,AF 与 DE 交于点 G.将△ABF 沿 AF 折起,得到如图 2 所示的三棱
锥 A-BCF,其中 BC= 2 . 2

(1)证明:DE∥平面 BCF; (2)证明:CF⊥平面 ABF; 2 (3)当 AD= 时,求三棱锥 F-DEG 的体积 VF?DEG. 3 (1)证明 在等边三角形 ABC 中,AB=AC. ∵AD=AE,

-8-



AD AE = ,∴DE∥BC, DB EC

∴DG∥BF,如图 2,DG?平面 BCF, ∴DG∥平面 BCF. 同理可证 GE∥平面 BCF. ∵DG∩GE=G,∴平面 GDE∥平面 BCF, ∴DE∥平面 BCF. (2)证明 在等边三角形 ABC 中,F 是 BC 的中点,∴AF⊥FC, 1 1 ∴BF=FC= BC= . 2 2 在图 2 中,∵BC=
2 2 2

2 , 2

∴BC =BF +FC ,∴∠BFC=90°, ∴FC⊥BF. ∵BF∩AF=F,∴CF⊥平面 ABF. 2 (3)解 ∵AD= , 3 1 ∴BD= ,AD∶DB=2∶1, 3 在图 2 中,AF⊥FC,AF⊥BF, ∴AF⊥平面 BCF, 由(1)知平面 GDE∥平面 BCF, ∴AF⊥平面 GDE. 在等边三角形 ABC 中,AF= 3 3 AB= , 2 2

1 3 2 2 1 1 ∴FG= AF= ,DG= BF= × = =GE, 3 6 3 3 2 3 1 1 ∴S△DGE= DG·EG= , 2 18 1 3 ∴VF-DEG= S△DGE·FG= . 3 324

-9-


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