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厚积薄发-高考数学四十一讲---第十七讲:一元二次不等式及其解法


第十七讲
一.引言: 引言:

一元二次不等式及其解法

本讲学习要求:掌握二次函数的概念、图象及性质;理解一元二次方程、一元二次不等 式与二次函数的关系, 掌握图象法解一元二次不等式的方法; 能利用二次函数研究一元二次 方程的实根分布条件;能求二次函数的区间最值;培养数形结合的能力,培养分类讨论的思 想方法,培养抽象概括能力和逻辑思维能力.学习重点为:二次函数、一元二次方程及一元 二次不等式之间的灵活转化;学习难点为:理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式 解集的关系. 本讲考纲要求为: 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型; 通过函数图象了解一元 二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系;会解一元二次不等式,对给定的一元 二次不等式,会设计求解的程序框图. 本讲命题方向为: 主要考查以一元二次不等式为基础的不等式解法, 综合题多以与其他 章节(如函数、数列等)交汇.从题型上来看,多以比较大小,解简单不等式等,解答题主 要考查含参数的不等式的求解以及它在函数、导数、数列中的应用.

二.考点梳理
1 . 二 次 函 数 的 图 象 及 性 质 : 二 次 函 数 y = ax 2 + bx + c 的 图 象 的 对 称 轴 方 程 是

? b 4ac ? b 2 b x = ? ,顶点坐标是 ? ? , ? 2a 2a 4a ?
2.二次函数的解析式的三种形式: . f ( x) = ax 2 + bx + c (一般式) ;

? ?. ? ?

f ( x) = a( x ? x1 ) ? ( x ? x2 ) (零点式) ;
f ( x) = a ( x ? m) 2 + n (顶点式) .
3.一元二次不等式的解法
2

一元二次不等式 ax + bx + c > 0 或ax + bx + c < 0 ( a ≠ 0 ) 的解集:
2 2

设 相 应 的 一 元 二 次 方 程 ax + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 的 两 根 为 x1、x2 且 x1 ≤ x2 ,

? = b 2 ? 4ac ,则不等式的解的各种情况如下表: ?>0 ?=0
y = ax 2 + bx + c
二次函数

?<0 y = ax 2 + bx + c

y = ax 2 + bx + c

y = ax 2 + bx + c
( a > 0 )的图象

一元二次方程

(a > 0)的根

ax + bx + c = 0
2

有两相异实根

有两相等实根

x1 , x2 ( x1 < x2 )

x1 = x2 = ?

b 2a

无实根

ax 2 + bx + c > 0 (a > 0)的解集 ax 2 + bx + c < 0 (a > 0)的解集

{x x < x 或x > x }
1 2

? b? ?x x ≠ ? ? 2a ? ?
? ?

R

{x x

1

< x <x2}

1

4.解一元二次不等式的步骤: (1)将二次项系数化为“+” :A= ax + bx + c >0(或<0)(a>0);
2

(2)计算判别式 ? ,分析不等式的解的情况; (3)写出解集. 5.讨论二次函数 y = ax + bx + c(a ≠ 0 ) 在指定区间 [ p, q ] 上的最值问题:
2

b 与区间 [ p, q ] 的相对位置.一般分为三种情况讨论,即:①对 2a b b 称轴 ? 在区间左边,函数在此区间上具有单调性;②对称轴 ? 在区间之内;③对称轴 2a 2a b ? 在区间右边. 2a
(1)注意对称轴 x = ?
2 (2)函数 y = ax + bx + c(a ≠ 0 ) 在区间 [ p, q ] 上的单调性.要注意系数 a 的符号对抛

物线开口的影响. 6.讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑:①判别式;②区间端点的 函数值的符号;③对称轴与区间的相对位置.

三、典型例题选讲
一元二次函数的性质 题型 1:考查一元二次函数的性质 :考查一元二次函数
2 例 1 函数 y = x + bx + c ( x ∈ [0, +∞)) 是单调函数的充要条件是(



A. b ≥ 0

B. b ≤ 0

C. b > 0

D. b < 0

2 解:∵函数 y = x + bx + c ( x ∈ [0, +∞)) 的对称轴为 x = ?

b , 2

∴函数 y = x2 + bx + c(x ∈[0, +∞) )是单调函数 ? 故选 A. 归纳小结: 归纳小结:二次函数的单调区间是 ( ?∞, ? 所需的条件,从而求出 b 的范围.

b b ? (0, +∞) ? ? ≤ 0 ,? b ≥ 0 . 2 2

b b ] 和 [? , +∞) ,结合开口方向就可得出 2a 2a

例 2 已知二次函数的对称轴为 x = ? 2 ,截 x 轴上的弦长为 4 ,且过点 (0, ?1) ,求 函数的解析. 解:∵二次函数的对称轴为 x = ? 2 , 可设所求函数为 f ( x ) = a ( x + 2) 2 + b , ∵ f ( x ) 截 x 轴上的弦长为 4 , ∴ f ( x ) 过点 (? 2 + 2, 0) 和 (? 2 ? 2, 0) , f ( x ) 又过点 (0, ?1) ,

1 ? ?4a + b = 0 ?a = ∴? ,解之得 ? 2 , ? 2 a + b = ?1 ?b = ?2 ? 1 2 ∴ f ( x ) = ( x + 2) ? 2 . 2
归纳小结: 求二次函数的解析式一般采用待定系数法, 但要注意根据已知条件选择恰当 归纳小结:
2

的解析式形式:一般式、零点式和顶点式,正确的选择会使解题过程得到简化. 题型 2:简单不等式的求解问题 : 例 3 求下列不等式的解集. (2) ? x + 2 x ? 3 > 0 (1) 4 x ? 4 x + 1 > 0 ;
2 2

解法一:因为 ? = 0 , 方程 4 x ? 4 x + 1 = 0 的解是 x1 = x 2 =
2

1 . 2

所以,原不等式的解集是 ? x x ≠

? ?

1? ?. 2?
2

解法二:整理,得 x ? 2 x + 3 < 0 .
2

所以不等式 x ? 2 x + 3 < 0 的解集是 ? . 从而, 因为 ? < 0 , 方程 x ? 2 x + 3 = 0 无实数解,
2

原不等式的解集是 ? . 归纳小结: 归纳小结:解一元二次不等式要抓住“三个二次”的关系,按照解一元二次不等式的步 骤求解,必要时要画出二次函数的图象进行观察. 例 4 不等式 ax 2 + bx ? 2 < 0 的解集为 { x ? 1 < x < 2 },求 a 与 b 的值. 解法一:设 ax 2 + bx ? 2 = 0 的两根为 x1 、 x2 ,由韦达定理得:

b ? ? x + x2 = ? a ? 1 ? ?x ? x = ? 2 ? 1 2 a ?

? ?? ? 由题意得 ? ?? ? ?

b = ?1 + 2 a 2 = ?1 × 2 a

解法二:构造解集为 { x ? 1 < x < 2 }的一元二次不等式:

∴ a = 1 , b = ?1 ,此时满足 a > 0 , ? = b 2 ? 4a × (?2) > 0 .

( x + 1)( x ? 2) < 0 ,即 x 2 ? x ? 2 < 0 ,此不等式与原不等式 ax 2 + bx ? 2 < 0 应为同解不等 式,故 a = 1 , b = ?1 . 归纳小结: 归纳小结:此题为一元二次不等式逆向思维题,要使解集为 { x ? 1 < x < 2 },不等式

ax 2 + bx ? 2 < 0 需满足条件 a > 0 , ? > 0 , ax 2 + bx ? 2 = 0 的两根为 x1 = ?1 , x2 = 2 .在解 题时要抓住一元二次方程、一元二次不等式解集的关系. 题型 3:含参不等式的求解问题 例 5 解关于 x 的不等式 ax 2 ? (a + 1) x + 1 < 0 . 证:分以下情况讨论 (1)当 a = 0 时,原不等式变为: ? x + 1 < 0 ,∴ x > 1 即不等式的解集为 {x | x > 1} (2)当 a ≠ 0 时,原不等式变为: (ax ? 1)( x ? 1) < 0 ① 1 1 ①当 a < 0 时,①式变为 ( x ? )( x ? 1) > 0 ,∴不等式的解为 x > 1 或 x < . a a
即不等式的解集为 {x | x > 1或x < } ;

1 a

1 ②当 a > 0 时,①式变为 ( x ? )( x ? 1) < 0 . ② a 1 1? a ∵ ?1 = , a a 1 1 ∴当 0 < a < 1 时, > 1 ,此时②的解为 1 < x < . a a

3

即不等式的解集为 {x |1 < x < } ; 当 a = 1 时, 当 a > 1 时,

1 a

1 = 1 ,此时②的解为 ? . a

1 1 < 1 ,即不等式的解集为 {x | < x < 1} . a a

归纳小结: 归纳小结:解本题要注意分类讨论思想的运用,关键是要找到分类的标准,就本题来说 有三级分类: ?a = 0 ? ?a < 0 ? ? ? a ∈ R? ?0 < a < 1 ? ?a ≠ 0 ?a > 0 ?a = 1 ? ? ? ?a > 1 ? ? ? ? ? 分类应做到使所给参数 a 的集合的并集为全集,交集为空集,要做到不重不漏.另外,解本 题还要注意在讨论 a < 0 时,解一元二次不等式 ax 2 ? (a + 1) x + 1 < 0 应首选做到将二次项系 数变为正数再求解. 一元二次不等式的 题型 4:一元二次不等式的应用 例 6 ( 1 ) 2008 天 津 卷 理 ) 已 知 函 数 f ( x ) = ? (

x + ( x + 1) f ( x + 1) ≤ 1 的解集是(
B. {x | x ≤ 1} A. x | ?1 ≤ x ≤

?? x + 1 ? x ?1

x<0 x≥0

,则不等式

{

2 ?1

}



2 ?1 ≤ x ≤ 2 ?1 ?x +1 < 0 ?x +1 ≥ 0 或? 解:依题意得 ? ? x + ( x + 1)(? x) ≤ 1 ? x + ( x + 1) x ≤ 1 ? ? x < ?1 ? x ≥ ?1 ? x < ?1或 ? 1 ≤ x ≤ 2 ? 1 ? x ≤ 2 ? 1 , 所以 ? 或? ?? 2 ? 1 ≤ x ≤ 2 ? 1 ?x ∈ R ?
选 C. (2) (2007 重庆理)若函数 f(x) = 2 _______. 解:Q 函数 f ( x ) =
x 2 + 2 ax ? a

{ D. {x | ?

C. x | x ≤

2 ?1

}

}

? 1 的定义域为 R,则 a 的取值范围为

2x

2

+ 2 ax ? a

? 1 的定义域为 R,

∴ 对一切 x ∈ R 都有 2 ≥ 1 恒成立,即 x 2 + 2ax ? a ≥ 0 恒成立, ∴? ≤ 0 成立,即 4a 2 + 4a ≤ 0 ,∴?1 ≤ a ≤ 0 ,故选 A.
归纳小结: 解一元二次不等式往往与分段函数、 指数函数和对数函数结合进行综合考查, 归纳小结: 一般是借助于函数的性质和图象进行转化, 再求解一元二次不等式, 利用一元二次不等式分 析相应一元二次函数的性质,体现“三个二次”之间的紧密联系,这也是一元二次不等式的 重要考点之一. 例 7 已知函数 y = ? sin x + a sin x ?
2

x 2 + 2 ax ? a

解:令 t = sin x , t ∈ [ ?1,1] ,

a 1 + 的最大值为 2 ,求 a 的值. 4 2

4

1 2 a (a ? a + 2) ,对称轴为 t = , 4 2 a 1 2 即 得 . 当 ?1 ≤ ≤ 1 , ?2 ≤ a ≤ 2 时,ymax = ( a ? a + 2) = 2 , a = ?2 或 a = 3(舍去) 2 4 a a 2 1 2 当 > 1 ,即 a > 2 时,函数 y = ?(t ? ) + ( a ? a + 2) 在 [ ?1,1] 上单调递增, 2 2 4 1 1 10 由 ymax = ?1 + a ? a + = 2 ,得 a = ; 4 2 3 a a 2 1 2 当 < ?1 ,即 a < ?2 时,函数 y = ?(t ? ) + ( a ? a + 2) 在 [ ?1,1] 上单调递减, 2 2 4 1 1 由 ymax = ?1 ? a ? a + = 2 ,得 a = ?2 (舍去) . 4 2 10 综上可得, a 的值为 a = ?2 或 a = . 3 归纳小结:令 t = sin x ,问题就转化为二次函数的区间最值问题,再由对称轴与区间 归纳小结: [?1,1] 的三种位置关系的讨论就可求得 a 的值.此题中要注意 a < 0 的条件.
∴ y = ?(t ? ) +
2

a 2

例 8 设不等式 x ? 2ax + a + 2 ≤ 0 的解集为 M ,如果 M ? [1, 4] ,求实数 a 的取值 范围? 分析: 分析:该题实质上是二次函数的区间根问题,充分考虑二次方程、二次不等式、二次函 数之间的内在联系是关键所在;数形结合的思想使题目更加明朗. 解: M ? [1, 4] 有两种情况:其一是 M = ? ,此时 ? <0;其二是 M≠ ? ,此时 ? =0
2

或 ? >0,分三种情况计算 a 的取值范围. 设 f ( x) = x 2 ? 2ax + a + 2 , 有 ? = ( ?2a ) 2 ? 4( a + 2) = 4( a 2 ? a ? 2) , 当 ? <0 时,-1< a <2, M = ? ? [1, 4] ; 当 ? =0 时, a =-1 或 2; 当 a =-1 时 M = {?1} ? [1, 4] ; 当 a =2 时, m = {2} ? [1, 4] 当 ? >0 时,a<-1 或 a>2. 设方程 f ( x) = 0 的两根 x1 , x2 ,且 x1 < x2 , 那么 M=[ x1 , x2 ] ,

? f (1) > 0, 且f ( 4) > 0 M ? [1, 4] ? 1≤x1<x2≤4 ? ? , ?1 ≤ a ≤ 4, 且? > 0

??a + 3 > 0 , ?18 ? 7 a > 0 , ? 18 即? 解得 2< a < , 7 a>0 , ? ?a < ?1或a > 2, ?
18 ). 7 归纳小结: 此题考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系. 本题主要 归纳小结: 涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系,以及分类讨论的数学思 想.M = ? 是符合题设条件的情况之一,出发点是集合之间的关系考虑是否全面,易遗漏; 构造关于 a 的不等式要全面、合理,易出错.
∴M ? [1,4]时, a 的取值范围是(-1,
5

四、本专题总结
在复习一元二次不等式的解法时, 要加强数形结合及等价转化思想的训练与复习. 在解 不等式或证不等式的过程中,如含参数等问题,一般要对参数进行分类讨论.复习时,要学 会分析引起分类讨论的原因,合理的分类,做到不重不漏.

6


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