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数学经典易错题会诊与高考试题预测15


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经典易错题会诊与 2012 届高考试题 预测(十五)
考点 15 导数及其应用 ? 导数的概念与运算 ? 导数几何意义的运用 ? 导数的应用 ? 利用导数的几何意义 ? 利用导数探讨函数的单调性 ? 利用导数求函数的极值勤最值 经典易错题会诊 命题角度 1 导数的概念与运算 1. (典型例题)设 f0 (

x)=sinx,f1 (x)=f’ 0 (x),f2 (x)=f’ 1 (x), ?,fn+1 (x)=f’ n(x),n∈N, 则 f2005 (x) A.sinx B.-sinx [考场错解] 选 A C.cosx D.-cosx

(

)

[ 专 家 把 脉 ] 由 f’1(x)=f’0(x)=(sinx)’=cosx,f2(x)=(cosx)’=-sinx,f3(x)=(-sinx)’=-cosx,f4(x)=(-cosx)’=sinx, ?,f2005(x)=f’2 004(x)=?=f0(x0=sinx 前面解答思路是正确的, 但在归纳时发生了错误。 因 f4(x)=f0(x)=f8(x0=? =f2004(x), 所以 f2005(x)=f1(x)=cosx. [对症下药] 选 C 2. (典型例题)已知函数 f(x)在 x=1 处的导数为 3,f(x)的解析式可能为 ( A. ( f x) =(x-1)3+32(x-1) B. f(x)=2x+1 C. f()=2(x-1)2 ) D. f(x)-x+3

[考场错解] 选 B ∵f(x)=2x+1,∴f’ (x)=(2x+1)’ =2x+1|x=1=3. [专家把脉] 上面解答错误原因是导数公式不熟悉, 认为 (2x+1) ’ =2x+1.正确的是 (2x+1) ’ =2, 所以 x=1 时的导数是 2,不是 3。 [对症下药] 选 A ∵f(x)=(x-1)3+3(x-1)f’ (x)=3(x-1)2+3,当 x=1 时,f’ (1)=3 3.(典型例题) 已知 f(3)=2f’ (3)=-2,则 lim A.-4 B.0 C .8 ∴ lim
x ?3 x ?3

2 x ? 3 f ( x) 的值为 x?3





D.不存在
2 x ? 3 f ( x) 不存在。 x?3 0 0

[考场错解] 选 D

∵x→3,x-3→0

[专家把脉] 限不存在是错误的,事实上,求 型的极限要通过将式子变形的可求的。 [对诊下药] 选 C
x ?3

lim

2 x ? 3 f ( x) ?3[ f ( x) ? f (3)] ? 6 ? 2 x = lim x ?3 x?3 x?3

1

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= lim [2 ? 3
x ?3

f ( x) ? f (3) ] ? 2?3 x?3

x ?3

lim [

f ( x) ? f (3) ] ? 2 ? 3 f ' (3) ? 2 ? 3 ? (?2) ? 8. x?3

4. (05,全国卷)已知函数 f(x)=e-x (cosx+sinx),将满足 f’ (x)=0 的所有正数 x 从小到大排 成数列; (2)记 Sn 是数列{xn f(xn )}的前项和。 求 lim
n ??

S1 ? S2 ? ? ? Sn n

[考场错解] ∵f’ (x)=e-x(cosx+sinx)’ +(e-x)’ (cosx+sinx) =e-x(-sinx+cosx)+e-x(cosx+sinx)=2e-x cosx 令 f’ (x)=0,x=nπ + (n=1, 2, 3, ?) 从而 xn =nπ + ∴数列{f(xn )}是公比为 q=-e- π 的等比数列。
? 2

? ?? ? f (x ) 。 f(xn )=e-( n π + 2 ) (-1)n ? n ?1 =-e 2 . 2 f ( xn )

[专家把脉] 上面解答求导过程中出现了错误,即(e-x)’ =e-x 是错误的,由复合函数的求 导法则知(e-x)’ =e-x (-x)’ =-e-x 才是正确的。 [ 对 诊 下 药 ] ( 1 ) 证 明 : f’ (x)=(e-x)’ (cos+sinx)+e-x (cosx+sinx)’ =-e-x (cosx+sinx)+e-x (-sinx+cos)=-2e-x sinx. -x 令 f’ (x)=0 得-2e sinx=0, 解出 x=nπ ,(n 为整数, 从而 xn =nπ (n=1,2,3,?), f(xn )=(-1)ne-n π
f ( xn ?1) -π -π ? ?e?? ,所以数列|f(xn)|是公比 q=-e 的等比数列,且首项 f(x1 )=-e f ( xn )

(2)Sn =x1 f(x1 )+x2 f(x2 )+?+xn f(xn ) =nq(1+2q+?+nqn-1 ) aSn =π q(q+2q2 +?+nqn )=π q(
?q 1 ? q n 1 ? qn -nqn )从而 Sn = ( -nqn ) 1? q 1? q 1? q

S1 ? S2 ? ? ? Sn ?q 2?q 2 ?q n ? 2 ? ? (1 ? q n ) ? 2 3 n (1 ? q) n(1 ? q) (1 ? q) 2

∵|q|=e- π <1 ∴ lim

∴ lim qn =0,
n ??

n ??

S1 ? S 2 ? ? ? Sn ?q ?e? ? ? n (1 ? q ) 2 (1 ? e? ) 2

专家会诊 1 .理解导数的概 念时应注意导数 定义的另一种 形式:设函数 f(x) 在 x=a 处可导,则
n ??

lim

f ( x) ? f ( a ) ? f ' (a) 的运用。 x?a

2.复合函数的求导,关键是搞清复合关系,求导应从外层到内层进行,注意不要遗漏 3.求导数时,先化简再求导是运算的基本方法,一般地,分式函数求导,先看是否化为整 式函数或较简单的分式函数;对数函数求导先化为和或差形式;多项式的积的求导,先展开 再求导等等。 考场思维训练 1 函数 f(x)=x3+ax2+3x-9. 已在 f(x)在 x=-3 时取得极值,则 a= ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案: D 解析: ∵f′(x)=3x2 +2ax+3. 令 f′(x)=0. 即 3x2 +2ax+3=0 有一根 x=-3, ∴3(-3)2 -6a+3=0,

2

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得 a=5. 2 函数 f(x)=x3-8x, 则函数 f(x)在点 x=2 处的变化率是 A.2 B .-2 C.4
2




2

D.-4 ( )

答案: C 解析:∵f′(x)=3x -8. ∴x=2 时的变化率是 f′(2)=3?2 -8=4. 3 满足 f(x)=f’(x)的函数是 A.f(x)=1-x C.f(x)=0 B.f(x)=x D.f(x)=1

答案: C 解析:f(x)=0,0′=0, ∴f(x)=f′(x). 4 已知 f(x)=ln|2x|, 则 f’(x)= ( ) A. C.
1 x

B. D.

1 2x

1 |x|

1 | 2x |

答案: A 解析:当 x>0 时,f(x)=ln(2x), ∴f′(x)=c ∴f′(x)= ?
1 1 ? (?2) ? . 2x x

5 已知函数 f(x)=ln(x-2)(1)求导数 f’(x) 答案: f′(x)=

x2 (a为常数且a ? 0) 2a

1 x ? ? ( x ? 2). x?2 a

(2)解不等式:f’(x)>0 答案:令 f′(x)=
1 x ? ? 0( x ? 2). x?2 a

即?

? ?x ? 0 x 2 ? 2 x ? a ? 0的? ? 4 ? 4a. 2 ? x ? 2 x ? a ? 0 ?

(i)当 a≤-1 时,x2 +2x-a>恒成立,∴x>2. (ii)当 a>-1 时, ? ? 0, x2 ? 2 x ? a ? 0 的解集为{x|x> a ? 1 ? 1或x ? ? a ? 1 ? 1 } ∴当-1<a≤8 时, a ? 1 ? 1 ? 2,? x ? 2. 当 a>8 时, a ? 1 ? 1 >2, ∴x> a ? 1 ? 1 . 综合得,当 a≤8 时,f′(x)>0 的解集为(2,+∞). 当 a>8 时,f′(x)>0 的解集为( a ? 1 ? 1 ,+∞). 命题角度 2 导数几何意义的运用 1.(典型例题)曲线 y=x 在点(1,1)的切线与 x 轴、直线 x=2 所围成的三角形面积为_________. [考场错解] 填 2 由曲线 y=x3 在点(1,1)的切线斜率为 1,∴切线方程为 y-1==x-1,y=x.
3

3

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所以三条直线 y=x,x=0,x=2 所围成的三角形面积为 S= ×2×2=2。 [专家把脉] 根据导数的几何意义,曲线在某点处的切线斜率等于函数在这点处的导数,上 面的解答显然是不知道这点,无故得出切线的斜率为 1 显然是错误的。 [对症下药] 填
8 。∵f’ (x)=3x2 3 1 2

当 x=1 时 f’ (1)=3.由导数的几何意义知,曲线在点(1,1) 得 y=3x-2.

处的斜率为 3。即切线方程为 y-1=3(x-1) 联立 ?

? y ? 3x ? 2 2 得交点(2,4) 。又 y=3x-2 与 x 轴交于( ,0) 。 3 ?x ? 2
1 2 2 3 8 3

∴三条直线所围成的面积为 S= ×4×(2- )= 。 2. (典型例题)设 t≠0, 点 P(t,0)是函数 f(x)=x3 +ax 与 g(x)=bx3 +c 的图像的一个公共点,两 函数的图像在 P 点处有相同的切线。 (1)用 t 表示 a、b、c; (2)若函数 y=f(x)-g(x)在( -1,3)上单调递减,求 t 的取值范围。 [ 考场 错解 ] ( 1 )∵ 函数 f(x)=x3 +ax 与 g(x)=bx2 +c 的图像 的一 个公共 点 P(t,0). ∴ 3 2 f(t)=g(t) ? t +at=bt +c. ①又两 函数 的图像 在点 P 处 有相同 的切线 ,∴ f’ (t)=g’ (t) 3 2 3 ? 3t +a=2bt. ②由①得 b=t, 代入②得 a=-t . ∴c=-t . [专家把脉] 上面解答中得 b=t 理由不充足,事实上只由①、②两式是不可用 t 表示 a、b、 c, 其实错解在使用两函数有公共点 P, 只是利用 f(t)=g(t)是不准确的, 准确的结论应是 f(t)=0, 即 t3 +at=0,因为 t≠0,所以 a=-t2 . 2 g(t)=0 即 bt +c=0,所以 c=ab 又因为 f(x)、g(x)在(t,0)处有相同的切线, 所以 f’ (t)=g;(t).即 3t +a=2bt, ∵a=-t , ∴b=t.因此 c=ab=-t ?t=-t . 故 a=-t2 ,b=t,c=-t3 (2)解法 1 y=f(x)-g(x)=x3 -t2 x-tx2 +t3 2 2 y’ =3x -2tx-t =(3x+t)(x-t). 当 y’ =(3x+t)(x-t)<0 时,函数 y=f(d)-g(x)单调递减。 由 y’ <0,若 t<0,则 t<x<- ,若 t>0,则- <x<t. 则题意,函数 y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减,则(-1,3)? (- ,t)或(-1,3)? (t, - ) 所以 t≥3 或- ≥3。即 t≤-9 或 t≥3。 又当-9<t<3 时,函数 y=f(x0-g(x)在(-1,3)上单调递增,所以 t 的取值范围(-∞,-9) ∪(3,+∞) 解法 2 y=f(x)-g(x)=x3 -t2 x-tx2 +t3 , y’ =3x -3tx-t =(3x+t)(x-t). ∵函数 y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减,且 y’ =(3x+t)(x-t)≤0 在(-1,3)上恒成立,
2 2 2 2 2 3

t 3

t 3

t 3

t 3

t 3

4

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∴?
? y '| x ? ?1 ? 0 ?( ?3 ? t )(?1 ? t ) ? 0 即? ?(9 ? t )(3 ? t ) ? 0 ? y '| x ?3 ? 0
3 2

解得 t≤-9 或 t≥3. 3.(典型例题)已知函数 f(x)=ax +bx -3x 在 x=±1 处有极值。 (1)讨论 f(1)和 f(-1)是函数的极大值还是极小值。 (2)过点 A(0,16)作曲线 y=f(x)的切线,求此切线方程。 [考场错解] (1)f’(x)=3ax2 +2bx-3. 依题意 f’(1)=f’(-1)=0. 即?
?3a ? 2b ? 3 ? 0 解得:a=1,b=0. ?3a ? 2b ? 3 ? 0

∴f(x)=x3 -3x,f’ (x)=3x2 -3=3(x-1)(x+1)令 f’ (x)=0.得 x=±1. 若 x∈(-∞,-1) ∪(1,+ ∞)时,f’(x)>0 故 f(x)在(- ∞,-1)和(1,+ ∞)上都是增函数。 若 x∈(-1,1), 则 f’(x)<0. 故 f(x)在(-1,1)上是减函数,所以 f(-1)=2 是极大值;f(1)=-2 是极小 值。 (2)∵ f’ (x)=3x2 -3,∴过点 A(0,16) ,因此过点 A 的切线斜率为 k=-3.∴所求的切线方 程是 y=-3 [专家把脉] 上面解答第(2)问错了,错误原因是把 A(0,16)当成了切点,其实 A(0,16) ,不可能 成为切点。因此过点 A 不在曲线,因此根求方程必须先求切点坐标。 [对症下药] (1)f’ (x)=3ax +2bx-3,依题意 f’ (1)=f’ (-1)=0 即?
?3a ? 2b ? 3 ? 0 ?3a ? 2b ? 3 ? 0
3 2

解得
2

a=1,b=0

∴f(x)=x +3x,f’ (x)=3x -3=0.解得 x=±1. 又∵x∈(-∞,-1) ∪(1,+∞)f’(x)>0 ∴f(x)在(-∞,-1)与(1,+∞)上是增函数。 若 x∈[-1,1]时,f’(x) ≤0,故 f9x)在[-1,1]上是减函数。 ∴f(-1)=2 是极大值。f(1)=-2 是极小值。 3 (2)解:曲线方程为 y=f(x)=x -3x,点 A(0,16)不在曲线上。设切点 M(x0 ,y0 ),则点 M 在曲线上,∴y0 =x3 0 -3x0 .因 f’ (x0 )=3x2 0 -3.故切线的方程为 y-y0 =(3x20 -3)(x-x0 ). ∵点 A(0, 16)在曲线上,有 16-(x2 0 -0)=3(x20 -1)(0-x0 ),化简得 x3 0 =-8,得 x0 =-2. 专家会诊 设函数 y=f(x),在点(x0 ,y0 )处的导数为 f’ (x0 ), 则过此点的切线的斜率为 f’ (x0 ),在此点处的 切线方程为 y-y0 =f’ (x0 )(x-x0 ).利用导数的这个几何意义可将解析几何的问题转化为代数问 题求解。 考场思维训练 1 曲线 y=2x-x3 在点(1,1)处的切线方程为_________. 答案: x+y-2=0 解析: ∵y′=2-3x ∴ y′|x=1=2-3=-1, ∴切线方程为 y-1=-(x-1). 即 x+y-2=0. 2 曲线 y=x3 在点(a,a3 )(a≠0)处的切线与 x 轴,直线 x=a 所转成的三角形的面积为 ,则 a=___________. 答案:±1 解析:∵曲线在(a,a )处的切线斜率为 3a .
3 2 2.

1 6

5

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∴切线方程为 y-a3 =3a2 (x-a). 且它与 x 轴.x=a 的交点为( a,0 ) 、 (a,a3 ),S= ? ? a3 ? . ∴a4 =1, 解得 a=±1. 3 已知函数 f(x)=lnx,g(x)=
1 2 ax +bx(a≠0) 2
2 3

1 2

a 3

1 6

(1)若 b=2, 且 h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求 a 的取值范围。 答案: b=2 时,h(x)=lnx- ax -2x, 则 h′(x)=
1 2
2

1 ax2 ? 2 x ? 1 -ax-2=. x x

∵函数 h(x)存在单调逆减区间,∴ h′(x)<0 有解. 又∵x>0, 则 ax2+2x-1>0 有 x>0 的理. ①当 a>0 时,ax2+2x-1>0 总有>0 的解. ②当 a<0,要 ax2+2x-1>0 总有>0 的解. 则△=4+4a>0, 且方程 ax2+2x-1=0 至少有一正根,此时-1<a<0. 综上所述,a 的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞) (2)设函数 f(x)的图像 C1 与函数 g(x)图像 C2 交于点 P、Q,过线段 PQ 的中点作 x 轴的垂线 分别交 C1 、C2 于点 M、N,证明 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行。 答案:证法 1. 设点 P、Q 的坐标分别是(x1 、y1 ) , (x2,y2 ),0<x1 <x2 . 则点 M、N 的横坐标为 x=
x1 ? x2 , 2 1 | x
x? x1 ? x2 2
x?

C1 在点 M 处的切线斜率为 k1 =

=

2 , x1 ? x2
? a ( x1 ? x2 ) ? b. 2

C2 在点 M 处的切线斜率为 k2 =ax+b|

x1 ? x2 2

假设 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线平行,则 k1 =k2 . 即
2 a( x1 ? x2 ) ? ? b, 则 x1 ? x 2 2

2( x2 ? x1) a 2 a 2 a 2 2 ? ( x2 ? x1 ) ? b( x2 ? x1) ? ( x2 ? bx2 ) ? ( x1 ? bx1) x1 ? x2 2 2 2 y2 ? y1 ? ln x2 ? ln x1.
x 2( 2 ? 1) x2 x x1 所以 ln ? .设t ? 2 , x2 x1 x1 1? x1

2(_ t ? 1)

则 lnt= 1 ? t

, t ? 0.

(1)

令 r(t)=lnt则 r’(t)= -

2(t ? 1) , t ? 1. 1? t

4 (t ? 1) 2 1 ? . t (t ? 1) 2 t (t ? 1) 2

因为 t>1 时,r’(t)>0, 所以 r(t)在[1,+∞]上单调递增,故 r(t)>r(1)=0.

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则 lnt>
2(t ? 1) . 这与①矛盾, 假设不成立. 1? t

故 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行, 证法 1 得 (x2 +x1 )(lnx2 -lnx1 )=2(x2 -x1 ). 因为 x1 >0, 所以( 令 t=
x2 x ? 1 )ln( 2 ? 1 ). x1 x1

x2 , 得(t+1)lnt=2(t-1),t>1 x1



令 r(t)=(t+1)lnt-2(t-1),t>1, 则 r’(t)=lnt+ -1. 因为(lnt- )’=
1 t 1 t 1 t

1 t2

?

t ?1 t2

-, 所以 t>1 时,(lnt+ )’>0.
1 t

1 t

故 lnt+ 在[1,+ ∞]上单调递增. 从而 lnt+ -1>0, 即 r1 (t)>0. 于是 r(t)在[1,+∞]上单调递增. 故 r(t)>r(1)=0. 即(t+1)lnt>2(t-1). 与②矛盾,假设不成立。 故 C1 在点 M 处的切与 C2 在点 N 处的线不平行. 4 已知函数 f(x)=|11 |,(x>0) x

(1)证明:0<a<b,且 f(a)=f(b)时,ab>1; 答案:由 f(a)=f(b)得 |1若 1故 11 1 |=|1- |. a b

1 1 1 1 与 1- 同号,可得 1- =1- ? a ? b 这与 0<a<b 矛盾. a a b b 1 1 1 1 1 1 与 1- 必异号,即 -1=1- ? ? =2 ? 2ab ? a ? b ? 2 ab , 故 ab ? 1,即ab ? 1. a a a b b b

(2)点 P(x0 ,y0)(0<x0 <1)求曲线 y=f(x)在点 P 处的线与 x 轴、y 轴的正方向所围成的三角形 面积表达式(用 x0 表示) 。 答案:0<x<1时,y=f(x)=| 1∴f’ (x0 )= 即y=x
2 x0

1 1 |= -1. x x

1
2 x0

,0 ? x0 ? 1. 曲线y=f(x)在点P(x0 ,y0 )处的切线方程为:y-y0 =-

1
2 x0

(x-x0 )

?

2 ? x0 . x0

∴切线与x轴、y轴、正向的交点为(x0 (2-a0 ),0)和(0, 故所求三角形面积表达式为 A(x0 )= x0 (2 ? x0 ) ? 命题角度 3 导数的应用
1 2

1 (2 ? x0 ) ) x0

1 1 (2 ? x0 ) ? (2 ? x0 )2 . x0 2

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1. (典型例题)已知函数 f(x)=-x3 +3x2 +9x+a. (1)求 f(x)的单调递减区间; (2)若 f(x)在区间[-2,2]上最大值为 20,求它在该区间上的最小值。 [考场错解] (1)f’ (x)=-3x +6x+9,令 f’ (x)<0,解得 x<-1 或 x>3,∴函数 f(x)的音调递减区 间为(-∞,-1) (3,+∞) (2)令 f’ (x)=0,得 x=-1 或 x=3 当-2<x<-1 时,f’ (x)<0; 当-1<x<3 时,f’ (x)>0;当 x>3 时,f’ (x)<0. ∴x=-1,是 f(x)的极不值点,x=3 是极大值点。 ∴f(3)=-27+27+27+a=20,∴a=-7. f(x)的最小值为 f(-1)=-1+3-9+a=-14. [专家把脉] 在闭区间上求函数的最大值和最小值,应把极值点的函数值与两端点的函数值 进行比较大小才能产生最大(小)值点,而上面解答题直接用极大(小)值替代最大(小) 值,这显然是错误的。 [对症下药] (1)f’ (x)=-3x +6x+9,令 f’ (x)<0,解得 x<-1 或 x>3. (2)因为 f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以 f(x)在[-1,2]因为在(-1,3) 上 f’ (x)>0,所以 f(x)在[-1,2]上单调递增,又由于 f(x)在[-2,-1]上单调递减,因此 f(2) 和 f(-1)分别是 f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值,于是 22+a=20,解得 a=-2. 故 f(x)=-x +3x +9x-2,因此,f{-1}=1+3-9-2=-7 即函数 f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7。 2. (典型例题)已知函数 f(x)=ax3 +3x2 -x+1 在 R 上是减函数,求 a 的取值范围。 2 2 [考场错解] ∵f’ (x)=3ax +6x-1,因为 f(x)在 R 上是减函数, 所以 f’ (x)=3ax +6x-1<0 对任何 x∈R 恒成立。 ∴?
?3a ? 0 ??36 ? 12a ? 0
3 2 2 2

解得 a<-3.

[专家把脉] 当 f’(x)>0 时,f(x)是减函数,但反之并不尽然,如 f(x)=-x3 是减函数,f’(x)=3x2 并 不恒小于 0, (x=0 时 f’(x)=0). 因此本题应该有 f’(x)在 R 上恒小于或等于 0。 [对症下药] 函数 f(x)的导数:f’(x)=3x2 +6x-1. 当 f’(x)=3ax2 +6x-1<0 对任何 x∈R 恒成立时,f(x)在 R 上是减函数。 ①对任何 x∈R,3ax2 +6x-1<0 恒成立, ? a<0 且△=36+12a<0 ? a<-3. 所以当 a<-3 时,由 f’(x)<0 对任何 x∈R 恒成立时,f(x)在 R 上是减函数。 ②当 a=-3 时,f(x)==-3x3 +3x2 -x+1=-3(x- )3 + . 由函数 y=x3 在 R 上的单调性知,当 a=-3 时,f(x)在 R 上是减函数。 ③当 a>-3 时,f’(x)=3ax2 +6x-1>0 在 R 上至少可解得一个区间,所以当 a>-3 时,f(x)是在 R 上 的减函数。 综上,所求 a 的取值范围是(-∞,-3) 。 3. (典型例题)已知 a∈R, 讨论函数 f(x)=ex(x2 +ax+a+1)的极值点的个数。 [考场错解] f’(x)=ex(x2 +ax+a+1)+ex(2x+a)=ex[x2 +(a+2)x+(2a+1)]. 令 f’(x)=0 得 x +(a+2)x+(2a+1)=0,(*) △=(a+2 )2-4(2a+1)=a2 -4a.
2

1 3

9 8

8

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当 a2 -4a>0,即 a>4 或 a<0 时,方程(*)有两个不相等的实数根 x1 、x2 ,因此函数 f(x)有两个 极值点。 当 a2 -4a=,即 a=或 a=0 时,方程(*)有两个相等实数根 x1 =x2 。因此函数 f(x)有一个极值点。 当 a -4a<0,即 0<a<4 时,方程(*)没有实根,因经函数 f(x)没有极值点。 [专家把脉] 以上解法看似合理,但结果有误,原因就在于将驻点等同于极值点,方程 f’(x)=0 的实根个数并不等价于 f(x)的极值点的个数,要使驻点成为极值点,必须验证在此点两侧导 数值异号,即函数在此点两侧的单调性相反,如果一味地把驻点等同于极值点,往往容易出 错。 [对症下药]f’(x)=ex(a2 +ax+a+1)+ex(2x+a)=ex[x2 +(a+2)x+(2a+1)] 令 f’(x)=0 得 x2 +(a+2)x+(2a+1)=0. (1)当△=(a+2)2-4(2a+1)=a -4a=a(a-4)>0 即 a<0 或 a>4 时, 方程 x2 +(a+2)x+(2a+1)=0 有两个不同的实根 x1 、x2, 不妨设 x1 <x2 . 于是 f’(x)=e (x-x1 )(x-x2 ), 从而有下表 X F’(x) F(x) 即此时 f(x)有两个极值点。 (2)当△=0,即 a=0 或 a=4 时,方程 x +(a+2)x+(2a+1)=0 有两个相同的实根 x1 =x2 于是 f’(x)=ex(x1 -x1 )2 . 故当 x<x1 时,f’ (x)>0;当 x>x1 时,f’(x)>0 因此 f(x)无极值。 2 x 2 (3)当△<0,即 0<a<4 时,x +(a+2)x+(2a+1)>0 ,f’(x)=e [x +(a+2)x+(2a+1)]>0, 故 f(x)为增函数, 此时 f(x)无极值点,因此,当 a>4 或 a<0 时,f(x)有两个极值点,当 0≤a≤4 时,f(x)无极值 点。 4. (典型例题)设函数 f(x)=x-ln(x+m)其中常数 m 为整数。 (1)当 m 为何值时,f(x)≥0; (2)定理:若 g(x)在[a、b]上连续,且 g(a)与 g(b)异号,则至少存在一点 x0 ∈(a、b), 使 g(x0 )=0. 试用上述定理证明:当整数 m>1 时,方程 f(x)=0,在[e-m-m,e2m-m]内有两个实根。 [考场错解] 令 f(x)≥0,x≥ln(x+m). ∴m≤ex -x ∴m 取小于或等于 ex -x 的整数。 [专家把脉] 上面解答对题意理解错误,原题“当 m 为何值时,f(x)≥0 恒成立” ,并不是对 x 的一定范围成立。因此,m≤ex-x 这个结果显然是错误的。 [对症下药](1) 函数 f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+ ∞)连续, 且 f’(x)=11 , 令 f’(x)=0, 得 x=1-m. x?m
2 x 2 2

(-∞,x1 ) +

x1 0 f(x1 )有极大值

(x1 ,x2 ) -

x2 0 f(x2 )有极小值

(x2 ,+ ∞) +

当-m<x<1-m 时,f’(x)<0,f(x)为减函数; 当 x>1-m 时,f’(x)>0,f(x)为增函数。 根据函数极值判别方法, f(1-m)=1-m 为极小值, 而且对 x∈(-m,+ ∞)都有 f(x) ≥f(1-m)=1-m, 故当 1-m=f( min )≥0,即 m≤1 时,f(x)≥0.即 m≤1 且 m∈Z 时,f(x)≥0. (2)证明:由(1)可知,当整数 m>1 时,f(1-m)=1-m<0,f(e -m)=e -m-ln(e -m+m)=e >0, 又 f(x)为连续函数,且当 m>1 时,f(e-m -m)与 f(1-m)异号,由所给定理知,存在唯一的 x1 ∈(e-m-m;1-m), 使 f(x1 )=0, 而当 m>1 时,f(e2m-m)=e2m-3m>(1+1)2m-3m>1+2m+
2m( 2m ? 1) -3m>0. 2
-m -m -m -m

x

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(∵m>1 ? 2m-1>1). 类似地,当整数 m>1 时,f(x)=x-ln(x+m)在[1-m,e2m-m]上为连续增函数,且 f(1-m) 与 f(e2m -m) 异号,由所给定理知,存在唯一的 x+∈(1-m,e2m-m)使 f(x2 )=0. 故当整数 m>1 时,方程 f(x)=0 在[e-m-m,e -m]内有两个实根。 5. (典型例题Ⅰ)用长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分 别截去一个小正形,然后把四边翻转 90°角,再焊接而成(如图, )问该容器高为多少时, 容器的容积最大?最大容积是多少? [考场错解] 设容器的高为 x,容器的容积为 V,则 V=(90-2x) (48-2x) ?x=4x3 -276x2 +4320x ∵V’ =12x2 -552x+4320=0 得 x1 =10,x2 =36 又∵x<10 时,V’ <0,10<x<36,V’ >0,x>36 时, V’ <0 ∴当 x=36 时,V 有极大值 V(36)<0 故 V 没有最大值。 [专家把脉] 上面解答有两处错误:一是没有注明原函数定义域;二是验算 f’ (x)的符号时, 计算错误,∵x<10,V’ >0;10<x<36,V’ <0;x>36,V’ >0. [对症下药] 设容器的高为 x,容器的容积为 V。 则 V=(90-2x) (48-2x) ?x 3 2 =4x -276x +4320x (0<x<24) ∵V’ =12x -552x+4320 由 V’ =12x2 -552x+4320=0 得 x1 =10,x2 =36 ∵x<10 时,V’ >0,10<x<36 时,V’ <0,x>36 时 V’ >0. 3 所以,当 x=10 时 V 有最大值 V(10)=1960cm 又 V(0)=0,V(24)=0 所以当 x=10 时,V 有最大值 V(10)=1960。 所以该窗口的高为 10cm,容器的容积最大,最大容积是 1960cm3 . 专家会诊 1.证函数 f(x)在(a,b)上单调,可以用函数的单调性定义,也可用导数来证明,前者较 繁,后者较易,要注意若 f(x)在(a、b )内个别点上满足 f’ (x)=0(或不存在但连续)其余点 满足 f(x)>0(或 f(x)<0)函数 f(x)仍然在(a、b)内单调递增(或递减) ,即导数为零的点 不一定是增、减区间的分界点。 2.函数的极值是在局部对函数值的比较,函数在区间上的极大值(或极小值)可能有若干 个,而且有时极小值大于它的极大值,另外,f’ (x)=0 是可导数 f(x)在 x=x0 处取极值的必 要而不充分条件,对于连续函数(不一定处处可导)时可以是不必要条件。 3.函数的最大值、最小值,表示函数 f(x)在整个区间的情况,即是在整体区间上对函数值 的比较,连续函数 f(x)在闭区间[a、b]上必有一个最大值和一最小值,最多各有一个,但 f(x)在(a、b)上就不一定有最大值(或最小值) 。 4.实际应用问题利用导数求 f(x)在(a、b)的最大值时,f’ (x)=0 在(a,b)的解只有一个, 由题意最值确实存在,就是 f’ (x)=0 的解是最值点。 考场思维训练 1 已知 m∈R,设 P:x1 和 x 是方程 x -ax-2=0 的两个实根,不等式|m -5m-3|≥|x1 -x2 |对任意 实数 a∈[-1,1]恒成立。
2 2 2 2

2m

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Q:函数 f(x)=x3 +(m+
4 )x+6 在(-∞,+ ∞)上有极值。 3

求使 P 正确且 Q 正确的 m 的取值范围。 答案:解:∵|x1 -x2 |= ( x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ? a2 ? 8 (?1 ? a ? 1). ∴|x1 -x2 |≤3 由题意,不等式|m2 -5m-3|≥3的解集。由此不等式得 m2 -5m-3≤-3 或 m2 -5m-3≥3 不等式①的解为0≤m≤5. 不等式②的解为m≤-1或m≥6. 因此,当m≤-1或0≤m≤5或m≥6时, P是正确的。 对函数f(x)=x3 +mx2 +(m+ f’(x)=3x2 +2mx+m+
2

① ②

4 )x+6求导 3

4 . 3 4 =0。此一无二次方程的判别式 3

令f’(x)=0,即3x +2mx+m+
4 3

△=4m2 -12(m+ )=4m2 -12m-16. 若△=0,则 f'(x)=0 有两个相等的实根 x0 ,且 f‘(x)的符号如下: X F’(x) (-∞,x0 ) + X0 0 (x0 + + ∞)

因此 f(x0 )不是函数 f(x)的极值. 若△>0,则 f'(x)=0 有两个不相等的实 x1 和 x2 (x1 <x2 ),且 f'(x)的符号如下: X F’(x) (-∞,x1 ) + X1 0 X1 X2 X2 0 (X2 +

-

因此,函数 f'(x)在 x①=x1 处取得极大值,在 x=x2 处取得极小值. 综上所述,当且仅当 A>0 时,函数 f(x)在(-∞,+∞)上有极值. 由 A=4m2 -12m-16>0 得 m<-1 或 m>4,因此,当 m<-1 或 m>4 时,Q 是正确的. 综上,使 P 正确且 Q 正确时,实数 m 的取值范围为 (-∞,-1)∪(4,5)∪[6,+∞ ]. 2 已知函数 f(x)=
4 x2 ? 7 ∈[0,1] 2? x

(1)求 f(x)的单调减区间和值域; 答案:对函数 F(x)求导,得 f'(x)= 令 f'(x)=0 解得 x= 或 x= . 当 x 变化时 f'(x)、f(x)的变化情况如下表.
1 2 7 2
? 4 x 2 ? 16 x ? 7 (2 ? x)
2

??

(2 x ? 1)(2 x ? 7) (2 ? x)

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X F’(X) 1 2 7 2

0

(0, ↘

1 ) 2

1 2

( ,1) + ↗

1 2

1

0 -4

-3

所以,当 x∈(0, )时 f(x)是减函数; 当 x∈( ,1)时 f(x)是增函数. ∴当 x∈[0,1]时 f(x)的值域为[-4,— 3]. (2)设 a≥1,函数 g(x)=x -3a x-2a,x∈[0,1]若对于任意 x1∈[0,1],总存在 x0∈[0,1], 使得 g(x0)=f(x1 )成立,求 a 的取值范围. 答案:对函数 g(x)求导,得 g'(x)=3(x -a ). 因为 a≥1 时,当 x∈(0,1)时,g'(x)<3(1-a2 )<0.因此当 x∈(0,1)时,g(x)为减函数,从而求 x∈[0, 1]时有 g(x)∈[1-2a-3a2 ,-2a]. 任给 x1 ∈[0, 1],f(x1 )∈[-4, -3]. 存在 x0∈[0, 1]使得 g(x0 )=f(x0 ),
?1 ? 2a3a2 ? ?4 ? 3 则[1-2a-3a ,2a][-4, -3]即 ? ?? 2a ? ?3.解得1 ? 2 ? ? a ? 1 ?
2
2 2 3 2

1 2

3 已知函数 f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx. (1) 求函数 f(x)的最大值; 答案: 函数的定义域为(-1, +∞),f(x)=
1 -1, 令 f'(x)=0, 解得 x=0, 当-1<x<0 时 f'(x)> 1? x

0,当 x>0 时 f'(x)<0,f(0)=0,故当且仅当 a=0 时,f(x)取得最大值,最大值为 0. (2) 设 0<a<b,证明 0<g(a)+g(b)-2g( 答 案 :
a?b )<(b-a) 2

g(x)=xlnx , g'(x)=lnx+1 , 设

F(x)=g(a)+g(x)-2g(

a?x 2

) 则

F'(x)=g'(x)-2[g(

a?x )]′=lnx-ln′,当 0<x<O,F'(x)<0.因此 F(x)在(0,a)上单调递 2

减. 当 x>a 时,F'(x)>0,因此 F(x)在(a,+∞)上为增函数.从而 x=a 时,F(x)有极小值 F(a). 因为 F(a)=0,b>a.所以 F(b)>0. 即 0<g(a)+g(b)-2g(
a?b ). 2

设 G(x)=F(x)-(x-a)ln2,则 G'(x)=lnx-lnx-ln2.=lnx-ln(a+x). 当 x>0,G(x)<0,因此 C(x)在(0,+∞)上为减函数. 因为 G(a)=0,b>a,所以 G(b)<0. 即 g(a)+g(b)-2g(
a?x )<(b-a)ln2.] 2
3 2

4 设函数 f(x)=2x -3(a+1)x +6ax+8,其中 a∈R, (1)若 f(x)在 x=3 处取得极值,求实数 a 的值。

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答案: f'(x)=6x2 —6(a+1)x+60=6(x-aO(x-1)因 f(x)在 x=3 取得极值,所以 f'(3)=6(3-a)(3-1)=0,解 得 a=3.经检验当 a=3 时 x=3 为 f)(x)的极值点. (2)若 f(x)在(-∞,0)上为增函数,求 a 的取值范围。 答案:令 f'(x)=6(x-a)(x-1)=0 得 x1 =a,x2 =1.当 a<1 时,若 x∈(-∞,-a)∪(1,+∞),则 f'(x)>0,所以 f(x)在(-∞,a)和(1,+∞)上为增函数. 故当 0≤o<1 时 f(x)在(-∞,0)上为增函数. 5 某企业有一条价值 a 万元的流水生产线, 要提高该流水生产线的生产能力, 提高产品的增 加值,就要对充水生产线进行技术改造,假设增加值 y 万元与技改把风入 x 万元之间的关系 满足①y 与(a-x)x2 成正比例; ②当 x=
a a3 x 时,y= ;③0≤ ≤t,其中 t 为常数且 t∈[0,2]. 2 2 2(a ? x)

(1)设 y=f(x), 求出 f(x)的表达式,并求其定义域; 答案: f(x)=8a2 x2 —12x3 =(0≤x≤
2ta 1 , ≤t≤2). 1 ? 2t 2

(2)求出增加值 y 的最大值,并求出此时的技改投入 x 值。 答案: f'(x)=16a2 x-36x2 ,令 f(x)=0,得 x= a,当 ≤t<1 时 f'(x)=36(x2 - a2 )<0.(∵
2ta 2 > a) 1 ? 2t 3

2 3

1 2

4 9

∴f(x)在[0,
4 9

16ta 3 2ta 2ta 2ta ]上是减数, ∴当 x= t 时,y mas =f( )= , 当 1≤t ≤2 时 1 ? 2t 1 ? 2t 1 ? 2t (1 ? 2t )3

f'(x)=-36(x2 - a2 ).∵ ymax=f( a )
2 3 16 =a3 . 27

2ta 2 2 2 2 < a ∵0<x< a 时 f'(x)>0;<x ≤ a 时 f'(x)<0 ,∴x= a a 时, 1 ? 2t 3 3 3 3

探究开放题预测 预测角度 1 利用导数的几何意义 1.已知抛物线 y=-x2 +2,过其上一点 P 引抛物线的切线 l,使 l 与两坐标轴在第一象限围成 的面积最小,求 l 的方程。 [解题思路] 设法用某个变量(如 P 点横坐标)去表示三角形的面积 S,在利用函数关系式 求最值就可以解决问题。 [解答] 设 P 点坐标为(x0 ,-x2 0 ,+2). ∵y’ =-2x,∴过 P 点的切线方程为: y-(-x 0 +2)=-2x0 (x-x0 ) 令 x=0 得 y=x2 0 -x20 +2=x2 0 +2>0 y=0 得 x=x0 + ∵S=
2 2 ? x0 x2 ? 2 ? 0 2 x0 2 x0
2



2 1 x0 ?2 2 (x 0 +2) 2 2 x0

(x0 >0)

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=
1 4
4 2 1 x0 ? 4 x0 ?4 4 x0

S’ = (3x2 0 +4又∵0<x0 < ∴当 x0 = 把 x0 =

4
2 x0

)

令 S’ =0 得 x0 =

6 3

6 时,S’ <0; 3

6 <x 时 S’ >0. 3

6 时,S 最小。 3

6 代入①得 l 的方程为: 3

2 6 x+3y-8=0. 2.由原点 O 向三次曲线 y=x -3ax (a≠0)引切线,切于点 P1 (x1 ,y1 )(O,P1 两点不重合), 再由 P1 引此曲线的切线,切于点 P2 (x2 ,y2 ) (P1 ,P2 不重合)。如此继续下去,得到点列{Pn(xn,yn)} (1) 求 x1 ; (2) 求 xn 与 xn+1 满足的关系式; (3) 若 a>0,试判断 xn 与 a 的大小关系并说明理由 [解题思路] 利用导数的几何意义写出切线方程,再通过切线方程找到 xn 、xn+1 的递推关系, 通过递推关系求出{xn}的通项公式,最后按 n 为奇数和偶数两种情况的讨论可得 xn 与 a 的 大小关系。 3 2 2 [解答] (1)由 y=x -3ax ,得 y’ =3x -6ax 过曲线上点 P1 (x1 ,y1 )的切线 L1 的斜率为 3x21 -6ax1 . ∴L1 的方程为 y-(x 1 -3ax 1 )=(3x 1 -6ax1 )(x-x1 ). 又∵L1 过原点,故有:-(x3 1 -3ax21 )=-x1 (3x21 -6ax1 ) ∴2x3 1 =3ax2 1 , ∴x1 = a (2)过曲线上的点 Pn+1 (xn+1 ,yn+1 )的切线方程是 y-(x3n+1 -3ax2n+1 )=(3x2 n+1 -6axn+1 )(x-xn+1 ) ∵Ln+1 过曲线上点 Pn (xn ,yn ). 故 x3 n -3ax2n -(x3 n+1 ,-3ax2n+1 )=(3x2 n+1 -6axn+1 )(xn -xn+1 ). 即 x n -x n+1 -3a(x n -x n+1 )=(3x n+1 -6axn+1 )(xn -xn+1 ). ∵xn -xn+1 ≠0, ∴x n +xn xn+1 +x n+1 -3a(xn +xn+1 )=3x n+1 -6axn+1 . ∴x2 n +xn xn+1 -2x2n+1 -3a(xn +xn+1 )=0 ∴(xn -xn+1 )(xn +2xn+1 -3a)=0. ∴xn +2xn+1 =3a. (3)由(2)得 xn+1 =- xn ? a ∴xn+1 -a=- (xn-a)
1 2 1 2 3 2
2 2 2 3 3 2 2 2 3 2 2

3

2

3 2

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故数列{xn-a}是以 x1 -a= a 为首数,公比为- 的等比数列。 ∴xn-a=
a 1 (- )n-1 2 2

1 2

1 2

当 n 为偶数时,xn-a=-a(- )n<0. ∴xn <a 当 n 为奇数时,xn-a=-a(- )n>0. ∴xn >a. 预测角度 2 利用导数探讨函数的单调性 1.已知 m∈R,研究函数 f(x)=
mx2 ? 3(m ? 1) x ? 3m ? 6 ex
1 2

1 2

的单调区间

[解题思路] 先求 f’(x), 再令 f’(x)>0 和 f’(x)<0 可解得函数的递增区间和递减区间。
f ' ( x) ? [2mx ? 3(m ? 1)]e x ? [mx2 ? 3(m ? 1) x ? 3m ? 6]e x (d x )2 ? mx2 ? (m ? 3) x ? 3 ex

[解答]
?

记 g(x)=-mx2 -(m+3)x-3 ∴ex>0,只需 g(x)的正负即可。 (1)当 m=0 时,g(x)=-3x-3. 当 g(x)>0 时,x<-1,f’ (x)>0 当 g(x)<0 时,x>-1,f’ (x)<0 ∴当 m=0 时,f’ (x)的增区间为(-∞,-1) ,减区间为(-1,+∞) 。 (2)当 m≠0 时,g(x)有两个根:x1 =3 ,x2 =-1. m 3 ,+∞)上,g(x)>0,即 f’ (x)<0. m

①当 m<0 时,x1 >x2, 在区间(-∞,-1)∪(∴f(x)在(-∞,-1)∪(在区间(-1,-

3 ,+∞)上是增函数。 m

3 )上,g(x)<0,即 f’ (x)<0. m 3 )上是减函数。 m 3 )∪(-1,+∞)上 g(x)<0,即 f’ (x)<0. m

∴f(x)在(-1,-

②当 0<m<3 时,x1 <x2. 在区间(-∞,∴函数 f(x)在(-∞, ∴f(x)在(-

3 3 )∪ (-1, +∞) 上是减函数, 在区间 (- , -1) 上, g(x)>0, f’ (x)>0. m m

3 ,-1)上是增函数。 m

③m=3 时,x1 =x2 . 在区间(-∞, -1)∪(-1,+∞)上 g(x)<0,f’ (x)<0。

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∵f(x)在 x=-1 处连续。∴f(x)在(-∞,+∞)上是减函数。 当 m>3 时 x1 >x2 。在区间(-∞, -1)∪(∴f(x)在(-∞, -1)∪(在区间(-1,3 ,+∞)上,g(x)<0,f’ (x)<0。 m

3 ,+∞)上是减函数。 m

3 )上,g(x)>0,即 f’ (x)>0. m 3 )上是增函数。 m

∴f(x)在(-1,2. 已知函数 f(x)=

x4 b 3 2 ? a 2 且函数 g(x)= ? x ? x ? 2ax 在 x=1 处取极值, 4 3 2
2

x4 b 3 a ? 1 2 ? x ? x ? ax 4 3 2

在区间(a-6,2a-3)内是减函数,求 a 的取值范围。 [解答] f’ (x)=x -bx -(2+a)x+2a 由 f’ (1)=0 得 b=1-a. ∴f’ (x)=x +(1-a)x -(2+a)x+2a =(x-1)(x+2)(x-a) 2 若 a=1 时 f’ (x)=(x-1) (x+2). f’(x)>0 x∈(1,+ ∞),f’(x)>0. x∈(-2,1)
3 2 3

∴x=1 不是极值点。 ∴a≠1 又 b=1-a.g’ (x)=x3 +(1-a)x2 -(a-1)x-a=(x-a)(x2 +x+1).当 x<a 时,g’ (x)<0, ∴g(x)在(-∞,a)上递减,∴(a-6,2a-3) ? (-∞,a) ∴a-6<2a-3≤a,-3<a≤3. 综合,得 a 的范围为(-3,1)∪(1,3) 。 3.已知 f(x)=ax +bx +cx+d 是定义在 R 上的函数,其图像交 x 轴于 A、B、C 三点,若点 B 的坐标为(2,0) ,且 f(x)在[-1,0]和[4,5]上有相同的单调性,在[0,2]和[4,5]上有 相反的单调性。 (1)求 C 的值; (2)在函数 f(x)的图像上是否存在一点 M(x0 ,y0 )使得 f(x)在点 M 处的切线斜率为 3b?若 存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由。 [解题思路] 根据题设条件作出 f(x)的图像知,f(x)有两个极值点, 一个为 x=0, 另一个极值 点在[2,4]之间,借助这个结论可判定在点 M 处的切线的斜率能否等于 3b, [解答](1)由题意可知 f(x)在[-1,0]和[0,2]上具有相反的单调性。∴x=0 是 f(x)的一 个极值点,故 f’ (0)=0。即 3ax +2bx+c=0 有一个解为 x=0∴c=0。 (2)∵f(x)交 x 轴于点 B(2,0) 。 ∴8a+4b+d=0,即 d=-4(b+2a). 令 f’ (x)=0,则 3ax +2bx=0,x1 =0,x2 =
2 2 3 2

2b 3a

∵f(x)在[0,2]和[4,5]上具有相反的单调 ∴2≤2b ≤4, 3a

∴-6≤

b ≤-3。 a

假设存在点 M (x0 ,y0 ) , 使得 f(x)在点 M 处的切线斜率为 3b, 则 f’ (x0 )=3b。 即 3ax2 0 +2bx0 -3b=0。

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∵△=(2b)2-4×3a×(-3b)=4b2 +36ab=4ab( ∵又-6≤
b ≤-3,∴△<0. a b +9) a

∴不存在点 M(x0 ,y0 ) ,使得 f(x)在点 M 处的切线斜率为 3b。
2 4.已知函数 f(x)= x 3 + (b-1)x +cx(b,c 为常数)

1 3

1 2

(1)若 f(x)在 x∈(-∞,x1 )及 x∈(x2 +∞)上单调递增,且在 x∈(x1,x2 )上单调递减,又 满足 0<x2 -x1 <1. 求证 b2 <2(b+2c). (2)在(1)的条件下,若 t>x1,试比较 t2 +bt+c 与 x1 的大小,并加以证明。 [解题思路] 由 f(x)的单调性可知 x1、x2 是 f’ (x)=0 的两根,<x2 -x1 <1 可证明(1) , (2)可 用作差比较法。 [解答] ∵f(x)在 x∈(-∞,x1 )及 x∈(x2 ,+ ∞)上单调递增,且在 x∈(x1,x2 )上单调递 减,∴x=x1 或 x=x2 是函数 f(x)的极值点,即 f’ (x1 )=0,f’ (x2 )=0。 ∵f’ (x)=x +(b-1)x+c. ∴x1 、x2 是方程 x2 +(b-1)x+c=0 的两根,得
? x1 ? x2 ? 1 ? b 又∵0<x2-x1<1, ? ? x1 ? x2 ? c
2

∴(x2 -x1 ) <1, 即(x1 +x2 ) -4x1 x2 <1. ∴(1-b)2 -4c<1.∴b2 <2(b+2c) (2)由(1)有 b=1-(x1 +x2 )?c=x1 x2 . 2 2 ∴(t +bt+c)-x1 =t +[1-(x1 +x2 )]t+x1 x2 -x1 =(t-x1 )(t-x2 +1). ∵t>x1 ,x2 -x1 <1 ∴t-x1 >0,x1 <x1 +1<t+1 ∴(t-x1 )(t-x2 +1)>0 ∴t2 +bt+c>x1 . 预测角度 3 利用导数求函数的极值和最值 1.已知函数 f(x)=ax3 +cx+d(a≠0)是 R 上奇函数,当 x=-1 时,f(x)取得极值 2。 (1)求 f(x)的单调区间; (2)若对于 x1 、x2 ∈[-1,1],不等式|f(x1 )-f(x2 )|≤m,求 m 的最小值。 [解题思路] 由题设条件易求得 a、b、c 的值。因此由 f’ (x)>0 和 f’ (x)<0 可求 f(x)的单调 区间。 (2)若对于任意 x1 、x2 ∈[-1,1],不等式|f(x1 )- f(x2 )|≤m 恒成立,即|f(x1 )- f(x2 )| 是 函数 f(x)的最大值和最小值之差的绝对值。因此,这一问主要是 f(x)在[-1,1]上的最大值 和最小值。 [解答] (1)由 f(-x)=-f(x)x∈R, ∴f(0)=0 即 d=0. ∴f(x)=ax3 +cx,f’ (x)=3ax2 +c. 由题设 f(-1)=2 为 f(x)的极值,必有 f’ (-1)=0。 ∴?
?a ? c ? ?2 ?3a ? c ? 0

2

2

解得 a=1,c=-3。

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∴f(x)=x3 -3x.∴f’ (x)=3x2 -3=3(x+1)(x-1). 令 f’ (x)>0,解得 x>1 或 x<-1. f’ (x)<0,解得 1-<x<1. ∴f(x)在(-∞,-1)∪(1,+∞)上单调递增。 f(x)在(-1,1)上单调递减。 (2)用(1)知;f(x)=x -3x 在[-1,1],恒有|x(x1 )-f(x2 )| ≤M-N=2-(-2)=4. 2.设函数 f(x)是定义在[-1,0] ∪[0,1]上奇函数,当 x∈[-1,0]时,f(x)=2ax+ 实数) (1)当 x∈(0,1)时,求 f(x)的解析式; (2)若 a>-1,试判断 f(x)在[0,1]上的单调性; (3)是否存在 a,使得当 x∈(0,1)时,f(x)有最大值-6。 [解题思路](1)利用函数 f(x)的奇偶性可求得 x∈(0,1)时,f(x)的解析式; (2)可用 导数法判断; (3)分 a>-1 和 a≤-1 两种情况讨论 f(x)的最大值。 [解答](1)设 x∈(0,1) ,则-x∈[-1,0],f(-x)=-2ax+ ∵f(x)是奇函数,∴f(x)= 2ax1 x2 1 x2 1 x2
3

(a 为

.

,x∈(0,1) 。

(2)f’ (x)=2a+

2 x
3

=2(a+
1 x3

1 x3

),

∵a>-1; x∈(0,1), ∴a+
1 x3

≥1

>0,即 f’ (x)>0.

∴f(x)在(0,1)上是单调递增的。 (3)当 a>-1 时,f(x)在(0,1)单调递增,fmax(x)= f(1)=-6。∴a=- (不合题意舍去) 当 a≤-1,令 f’ (x)=0,x= 3 ? 当 x∈(-∞, 3 ? x∈( 3 ? ∴x= 3 ?
1 a
5 2

1 )时,f’ (x)>0 a

1 ,+∞)时,f’(x)>0 a

1 1 时,f(x)有最大值 f( 3 ? ) 。 a a
2 1 )=-6 ? a=-2 2 .此时 x= ∈(0,1) 。 2 a

令 f( 3 ?

∴存在 a=-2 2 ,使 f(x)在(0,1)上有最大值-6。

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3.已知 f(x)=-x3 +ax,其中 a∈R,g(x)= ? 的取值范围。 [解题思路] 设 F(x)=f(x)-g(x)。由 f(x)< g(x)在(0,1)上恒成立 ,即 F(x)<0 在(0,1) 上恒成立, ? F( min )<0。或用分离参数法。
1 [解答] 设 F(x)=f(x)-g(x)=-x3+ax+ ? x 2 2
3

1 2 x ,且 f(x)<g(x)在(0,1)上恒成立,求实数 a 2

3

x

∵f(x)< g(x)在(0,1)上恒立 ? F(x)<0 在(0,1)上的最小值。 ∴a<x2 ?
1 2 x ,这样,要求 a 的取值范围,使得上式在区间(0,1)上恒成立,只需求函数 2 1 2 x 在(0,1)上的最小值。 2
1 4 x ? ( 2 x ? 1)(4 x ? 2 x ? 1) 4 x
3 3

h(x)=x2 ?

∵h’ (x)=2x由 h’ (x)=0

(2 x -1)(4x+2 x +1)=0.
1 4

∵4x+2 x +1>0,∴x= . 又∵x∈(0,
1 4 1 1 )时,h’(x)<0, x∈( ,1)时,h’(x)>0. 4 4 1 4 3 16

∴x= 时,h(x)有最小值 h( )=∴a<
3 . 16

考点高分解题综合训练 1 已知函数 f(x)在 x=1 处的导数为 1,则 lim A.
1 2
x ?0

f (1 ? x) ? f (1) 等于 2x



)]

B.1

C .2

D.

1 4

答案: A 解析:∵f′(x)= lim

?x ?0

f (1 ? x) ? f (1) 1 f (1 ? ?x) ? f (1) 1 1 1 ? lim ? f ' (1) ? ? 1 ? . 2x 2 ?x?0 ?x 2 2 2

2 函数 y=xsinx+cosx 在下列哪个区间内是增函数 A. (0,π ) B. (-π ,0) C.(
? 2





,π )

D.(-π ,-

? ) 2 ? )时,y′>0. 2

答案: D 解析:y′=sinx+cosx-sinx=xcosx,x∈(-π ,3 已知函数 f(x)=

ln a ? ln x 在(1,+∞)上为减函数,则 a 的取值范围为 x





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A.0<a<
1 e

B.0<a≤e
1 ? ln a ? ln x x2

C.a≥e

D.a≤e
e 恒成立, a

答案: C 解析: f′(x)= ∵x> ,? ? 1,? a ? e.
e a e a

故 x ? (1,?? ) 时, lnx>1ln ? 0在x ? (1 ? ? )上恒成立,

4 函数 y=2x3 -3x2 -12x+5 在[0,3]上的最大值、最小值分别是 A.5,-15 C.-4,-15 B.5,-4 D.5,-16





答案: A 解析:f′(x)=6x2 -6x-12, 令 f′(x)=0 即 6x2 -6-x-12=0.x2 -x-2=0 x=2 或 x=-1,(舍), ∴当 x=2 时,y-=-15,x=0 时,y=5 时,y=-4, 最大值为 5, 最小值为-15. 5 设 f(x)、 g(x)分别是定义在 (-∞, 0) ∪ (0, +∞) 上的奇函数和偶函数, 当 x<0 时 f’ (x)g(x)+ f(x) g’ (x)=0 且 g(3)=0,则不等式 f(x)?g(x)<0 的解集是 A. (-3,0)∪(3,+∞) B. (-3,0)∪(0,3) C. (-∞,-3)∪(3,+∞) D. (-∞,-3)∪(0,3) 答案: D 解析:f(x)· g(x)是定义域上的奇函数. 又 x<0 时, f′(x)g(x)+ f(x) g ′(x)=[ f(x)· g(x)] ′>0. ∵g(3)=0. ∴f(3)· g(3)=0, 又 f(m)g(x)在定义域上单调递增. ∴f(x)· g(x)<0 的解集为(-∞-3)∪(0,3). 3 2 2 6 函数 f(x)=x -2x+3 的图像在 x=1 处的切线与圆 x +y =8 的位置关系是 A.相切 B.相交且过圆心 C.相交但不过圆心 D.相离
1 2 ?2 2









答案:C 解析: ∵f′(x)=3x2-2.f′(1)=1, ∴切线方程为 y=x+1, 点 (0, 0) 到切线距离 d= 相交但不地圆心. 7 函数 f(x)=xlnx,则 f(x)的单调递减区间是_______. 答案:(0, ) 解析:令 f′(x)=lnx+1<0, 得 x∈(0,
1 2 1 4 1 e 1 ). e

8 曲线 y=2- x2 与 y= x3 -2 在交点处的切线夹角是__________.
1 ? y ? 2? x ? ? 2 解得交点坐标为(2,0). ? 1 3 解析:联立 ? y ? x ?2 ? 4 ?

答案:

? 4

又∵( 2 ? x )′=-x,(

1 2

1 3 3 x ? 2 )′= x 2 . 4 4

∴两函数在 x=2 处导数分别为-2、3.

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∴k1 =-2,k2 =3.tanθ =| 可求得θ =
? . 4
3 2

k1 ? k2 ?2 ? 3 |= | |? 1 1 ? k1k2 1 ? 3(?2)

9 已知函数 f(x)=mx +mx +3x 在 R 上的增函数,求实数 m 的取值范围。 答案:解:f′(x)=3mx +2mx+3. (1) 当 m=0 时,f′(x)=3>0, ∴f(x)在 R 上为境函数. (2) ①当 m<0 时,f′(x)开口向下△<0, 说明存在区间使 f′(x)<0. ∴m<0 时,f′(x)在 R 上不是增函数. ②当 0<m<9 时,f′(x)开口向上且△<0, 说明 f′(x)恒大于 0,∴0<m<9 时,f′(x)在 R 上是增 函数 . ③m=9 时 f(x)=9x3 +9x2 +3=9(x+ )3 - , 由函数 y=x3 的单调性可知 m=9,f(x)在 R 上台阶增函数. ④当 m>9 时,f’(x)开口向上且△>0, 说明存在砸锅间使 f’(x)<0,0 ∴m<9,f(x)在 R 上不是增函数. 综上怕述,所求 m 的取值范围是[0,9]. 10 求函数 f(x)= 答案:解:f’(x)=
( x ln x) ?( x ? 1) x ln x 1 ? x ?1 ( x ? 1) 2 (ln x ? 1)( x ? 1) ? x ln x 1 ? ( x ? 1)2 x ?1 ln x ? . ( x ? 1) 2 ?
1 x ln x ? ln( x ? 1) 在[ ,3]上的最大值和最小值。 2 x ?1 1 3 1 9
2

令f’(x)=0既

ln x ( x ? 1) 2

=0,∴x=1.

∴当x=1时可得f’(x)<0, 当1<x≤3时,f’(x)>0 ∴当x=1时可得f(x)的极小值f(1)=ln2
3 ln 3 ? ln 4. ∴f(3)= 4
1 1 3 1 f( 2 )=- 3 ln2-ln 2 =- ln2-(ln3-ln2) 3

=

2 1 ln2-ln3=f(2), ∵ln2<ln3, ∴f( )<f(3). 3 2

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3 ∴f(x)的最大值为 f(x)的最大值为 f(3)= 4 ln3-ln4.

11 函数 f(x)=

a 3 x x ? ax 2 +x+1 在 x=x1 ,及 x=x2 处有极值,且 1< 1 ≤5. 3 x2

(1)求 a 的取值范围; 答案:由题设知f’(x)=ax2-2ax+1二根为x1、x2,
1 x 且x1+x2=2,x1x2= a , ∵1< 2 ? 5,? x1, x2同号, x1

又x1+x2=2>0, ∴x1,x2同为正数,由1< 整理得

x2 x1

≤5得x1<x2≤5x1, 又∵x2=2-x1, ∴x1<2-x1≤5x1

1 1 1 ? x1 ? 1,? ? x1 x2 ,? ? x1 (2 ? x1 ) 3 a a

1 x 2 ? 2 x1) =-( 1 =-(x1-1)2+1. 由x1∈[ 3 ,1]



5 1 9 ? ? 1,?1 ? a ? . 9 a 5
56 4 x ? 恒成立,试 5 5

(2)当 a 取最大值时,存在 t∈R,使 x∈[1,m](m>1)时,f’(t-x) ≤ 求 m 的最大值。 9 9 18 答案:当a= 时,f’(x)= x2- x+1, 5 5 5 ∴f’(t-x)= ∵f’(t-x)≤
9 18 (t-x)2 (t-x)+1, 5 5

9 36 4 18 36 4 x- , 即 (t-x)2- (t-x)+1≤ x ? , 整理得x2-2(t+1)≤0, 该式在x∈(1,m)上恒 5 5 5 5 5 5

成立. 把x=1,x=m, 代和上式得
?1 ? 2(t ? 1) 2 ? (t ? 1) 2 ? 0, ? ? 0 ? t ? 4. ? 2 2 ? ?m ? 2(t ? 1)m ? (t ? 1) ? 0,

∴t+1-2 t ? m ? t ? 1 ? 2 t ∴当 t=4 时,m 有最大值 9. 12 已知函数 f(x)=-x -bx -5cx-2d 在[-∞,0]上单调递减,在[0,6]上单调递增,且方程 f(x)=0 有 3 个实根:m、n、1。 (1)求 f(4)的取值范围。 答案: f’(x)=-3x2-2bx-5c ∴f(x)在(-∞,0)上单调递增,且在 [0,6]上单调递增. ∴当x=0时,f(x)取最小值。
3 2

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∴f(0)=0即c=0 ∴f(x)=-x3 -2bx=0 ∴f(x)=-1-b-2d=0 ? d ? ?
b ?1 . 2
2b ? b, 即b ? ?9. 3

∵f(x)=3x2-2bx=0的两个根为x1=0,x2= =-63-15≥-63-15? (-9)=72。

故 f(4)的取值范围是[72,+∞]. (2)m2 -4mn+n2 是否有最小值?若有,求出最小值,若没有,请说明理由。 答 案 : 由 于 m 、 n 、 1 是 方 程 f(x)=0 的 三 个 根 , 所 以 设 f(x)=-(x-m)(x-n)(x-1)=-x +(m+n+1)x -(m+n+mn)x+mn. 与f(x)=-x -bx –2d
?? b ? m ? n ? 1, ? 比较系数得 ?0 ? m ? n ? mn, ?? 2d ? mn. ?
3 2 3 2



m2 -4mn+n2



m+n



2-6mn=(-b-1)2 -6· (-2d)=b2+2b+1+12· (即 m -4mn+n 有最小值 112.
2 2

b ?1 ) ? (b ? 2) 2 ? 9 ? (?9 ? 2) 2 ? 9 ? 112. 2

13 一艘渔艇偏激在距岸 9km 处, 今需派人送信给距渔艇 3 34 km 处的海岸渔站, 如果送信人 步行每小时 5km,船速每小时 4km,问应在何处登岸再步行可以使抵达渔站的时间最省? 答案:解:如图所示,设BC为海岸线,A为渔艇停泊处,设D为海岸线上一点,CD=x, 只需将 时间t表示为x的函数,即可确定登岸的位置. ∵AB=9,AC=3 34 ,BC= AC2 ? AB2 ? 15. 由A到C所需要时间为t, 则t=
1 1 x? (15 ? x) 2 ? 81(0 ? x ? 15) 5 4
15 ? x (15 ? x) 2 ? 81 , 令t =0, 解得x=3.
1

1 ∴t1 = ? 5

在x∈(0,3),t1 <0; x∈(3,15)时,t1 >0. 在x=3附近,t1 由负到正,因此在x=3处取得极小值,又t(0)= 比较知,t(3)最小. 故在距渔站 3km 处登岸可使抵达渔站的时间最省. 14 函数 y=f(x)在区间(0,+∞)内可导,导函数 f(x)是减函数,且 f’ (x)>0,设 x0 ∈(0, +∞) ,y=kx+m 是 y=f(x)在点[x0 ,f(x0 )]得的切线方程,并设函数 g(x)=kx+m; (1)用 x0 、f(x0 )、f’ (x0 )表示 m; 答案:解: (1)m=f(x0 )+x0 f′(x0 ). (2)证明:当 x0 ∈(0,+∞)时,g(x)≥f(x);
3 34 21 87 , t (15) ? , t (3) ? . 4 4 20

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答案:证明:令h(x)=g(x)=f(x). 则h′(x)=g ′(x)=f′ (x) h′(x0 )=0, ∴f′(x)递减, ∴h′(x)递增,因此,x>x0 时, h′(x)>0. 当 x<x0 时,h′(x)>0,所以 x0 是 h(x)唯一的极值点, 且是极小值点,可知 h(x)的最小值为 0,因此,h′(x) ≥ 0,即 g(x)<0, 所以 x0 是 h(x)唯一的 极值点,且是极小值点,可知 h(x)的最小值为 0. 因此,h′(x) ≥0,即 g(x)≥f(x).
3 (3)若关于 x 的不等式 a +1≥ax+b≥ x 3 在[0,+∞]上恒成立,其中 a、b 为实数,求 x 2
2

2

的取值范围及 a 与 b 所满足的关系。 答案:0≤b≤01 a>0是不等式成立的必要条件肥下讨论设此条件成立. 1 X2+1≥ax+b, 即x2-ax+1(1-b) 2 。
2 2 3 3 3 3 令 ?(x) =ax+b- x , 于是ax+b≥ x 对任意x∈[0, +∞]成立的充要条件是 ?(x) ≥0, 由 ? ′ 2 2

1 -3 (x)=a- x 3 =0得x=a .

当0<x<a-3 时, ? (x)>0. 所以,当x=a-3 时, ? (x)取最小值,因此, ? (x)≥0成立的充要条件是 ? (x)≥0 。即 1 ≥(2b)- 2
2 1 3 3 综上,不等式x2+1≥ax+b≥ x 对任意 x∈[0,+∞]成立的充要条件是(2b)- 2 ①显然,存 2

1 1 2? 2 2? 2 ? . 在a、b使①式成立的充要条件是:不等式(2b) - 2 ≤2(1-b) 2 有解,解得 4 4 1 1 2? 2 2? 2 ., 因此 b 的取值范围是[ ],a、b 所满足的关系式为: (2)- 2 ≤a≤2(1-b) - 2 4 4

.

24


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