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二轮复习之综合运用等价转化、分类讨论、数形结合等思想解决函数综合问题


二轮复习之综合运用等价转化、分类讨论、数形结合等思想解决函数综合问题 (提高篇)
适用学科 适用区域
高中数学 人教版

适用年级 课时时长(分钟)

高三 60

1、准确深刻地理解函数的有关概念;

知识点

2、揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系; 3

、把握数形结合的特征和方法; 4、认识函数思想的实质,强化应用意识
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教学目标

1、 掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力 2、 掌握基本解题技巧和方法,并培养考生的思维和创新能力

教学重点 教学难点

分类讨论、数形结合等思想的综合运用 分类讨论、数形结合等思想的综合运用

教学过程
一、高考解读
1、函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一,一般难度较大,考查内容和形式灵活多样
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本节课主要帮助

考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力,掌握基本解题技巧和方法,并培养考生的思维和创 新能力
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2、在解决函数综合问题时,要认真分析、处理好各种关系,把握问题的主线,运用相关的知识和方法逐步化归为 基本问题来解决,尤其是注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想的综合运用 识和技能
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综合问题的求解往往需要应用多种知

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因此,必须全面掌握有关的函数知识,并且严谨审题,弄清题目的已知条件,尤其要挖掘题目中的隐含条件

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二、复习预习
判断函数的奇偶性与单调性 若为具体函数,严格按照定义判断,注意变换中的等价性
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若为抽象函数,在依托定义的基础上,用好赋值法,注意赋值的科学性、合理性

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同时,注意判断与证明、讨论三者的区别,针对所列的训练认真体会,用好数与形的统一 复合函数的奇偶性、单调性 问题的解决关键在于 既把握复合过程,又掌握基本函数
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三、知识讲解
考点 1 学习函数要重点解决好四个问题
(一)准确、深刻理解函数的有关概念 概念是数学的基础,而函数是数学中最主要的概念之一,函数概念贯穿在中学代数的始终 数、式、方程、函数、排
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列组合、数列极限等是以函数为中心的代数 近十年来,高考试题中始终贯穿着函数及其性质这条主线
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(二)揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系 函数是研究变量及相互联系的数学概念,是变量数学的基础,利用
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函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线与方程等内容 在利用函数和方程的思想进行思维中,动
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与静、变量与常量如此生动的辩证统一,函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式
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所谓函数观点,实质是将问题放到动态背景上去加以考虑 高考试题涉及 5 个方面 (1)原始意义上的函数问题;(2)方程、
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不等式作为函数性质解决;(3)数列作为特殊的函数成为高考热点;(4)辅助函数法;(5)集合与映射,作为基本语言和工 具出现在试题中
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考点 2
(三)把握数形结合的特征和方法 函数图像的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合,有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、 周期性等基本属性,体现了数形结合的特征与方法,为此,既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘 制图形,又要熟练地掌握函数图像的平移变换、对称变换 (四)认识函数思想的实质,强化应用意识 函数思想的实质就是用联系与变化的观点提出数学对象,抽象数量特征,建立函数关系,求得问题的解决 纵观近几年
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高考题,考查函数思想方法尤其是应用题力度加大,因此一定要认识函数思想实质,强化应用意识

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四、例题精析
例题 1 设函数 f(x)的定义域为 R,对任意实数 x、y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y),当 x>0 时 f(x)<0 且 f(3)=-4 (1)求证 f(x)为奇函数;
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(2)在区间[-9,9]上,求 f(x)的最值

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【规范解答】(1)证明 令 x=y=0,得 f(0)=0
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令 y=-x,得 f(0)=f(x)+f(-x),即 f(-x)=-f(x) ∴f(x)是奇函数 (2)解 ,任取实数 x1、x2∈[-9,9]且 x1<x2,这时,x2-x1>0,
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f(x1)-f(x2)=f[(x1-x2)+x2]-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x1)=-f(x2-x1)
因为 x>0 时 f(x)<0,∴f(x1)-f(x2)>0 ∴f(x)在[-9,9]上是减函数 故 f(x)的最大值为 f(-9),最小值为 f(9)
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而 f(9)=f(3+3+3)=3f(3)=-12,f(-9)=-f(9)=12

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∴f(x)在区间[-9,9]上的最大值为 12,最小值为-12 【总结与思考】特值法和数学结合方法的综合考察

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例题 2 设 a 为实数,函数 f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R (1)讨论 f(x)的奇偶性;(2)求 f(x)的最小值
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当- <a≤ 时,函数 f(x)的最小值是 a2+1; 当 a> 时,函数 f(x)的最小值是 a+
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【总结与思考】分类讨论思想及数形结合思想的综合考察问题

例题 3
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设 f(x)=
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1 1? x ? lg x ?1 1? x

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(1)证明 f(x)在其定义域上的单调性;
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(2)证明 方程 f-1(x)=0 有惟一解;
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(3)解不等式 f[x(x- )]<

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【规范解答】(1)证明 由 ?1 ? x
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?1 ? x ?0 ? ? ?x ? 2 ? 0

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得 f(x)的定义域为(-1,1),

易判断 f(x)在(-1,1)内是减函数
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1 2 1 若方程 f--1(x)=0 还有另一个解 x0≠ ,则 f--1(x0)=0, 2 1 由反函数的定义知 f(0)=x0≠ ,与已知矛盾,故方程 f--1(x)=0 有惟一解 2 1 1 1 (3)解 f[x(x- )]< ,即 f[x(x- )]<f(0) 2 2 2 1 ? ?? 1 ? x( x ? 2 ) ? 1 1 ? 15 1 1 ? 15 ? ?? ? ? x ? 0或 ? x ? . 4 2 4 ? x( x ? 1 ) ? 0 ? 2 ?

(2)证明 ∵f(0)= ,∴f--1( )=0,即 x= 是方程 f--1(x)=0 的一个解
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【总结与思考】反证法与数学结合思想的考察

例题 4 某工厂拟建一座平面图(如下图)为矩形且面积为 200 平方米的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不 能超过 16 米,如果池外周壁建造单价为每米 400 元,中间两条隔墙建造单价为每米 248 元,池底建造单价为每平方米 80 元(池壁厚度忽略不计,且池无盖)
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(1)写出总造价 y(元)与污水处理池长 x(米)的函数关系式,并指出其定义域

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(2)求污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求最低总造价

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例题 5 设 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 其图像关于直线 x=1 对称, 对任意 x1、 x2∈ [0, ] ,都有 f(x1+x2)=f(x1)·f(x2), 且 f(1)=a>0
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(1)求 f( )、f( ); (2)证明 f(x)是周期函数; (3)记 an=f(2n+
1 ),求 lim (ln a n ). n?? 2n

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x x x x 1 【规范解答】 (1)解 因为对 x1,x2∈[0, ],都有 f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),所以 f(x)= f ( ? ) ? f ( ) f ( ) ? 0 , 2 2 2 2 2
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x∈[0,1]

1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 f( )=f( + )=f( )·f( )=[f( ) ]2 2 4 4 4 4 4

又因为 f(1)=f( + )=f( )·f( )=[f( )]2

1 2

又 f(1)=a>0 ∴f( )=a 2 , f( )=a 4 (2)证明 依题意设 y=f(x)关于直线 x=1 对称,故 f(x)=f(1+1-x),
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f(x)=f(2-x),x∈R

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又由 f(x)是偶函数知 f(-x)=f(x),x∈R ∴f(-x)=f(2-x),x∈R
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将上式中-x 以 x 代换得 f(x)=f(x+2),这表明 f(x)是 R 上的周期函数,且 2 是它的一个周期 (3)解 由(1)知 f(x)≥0,x∈[0,1]
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∵f( )=f(n·

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1 1 1 1 1 )=f( +(n-1) )=f( )·f((n-1)· )=…… 2n 2n 2n 2n 2n
1

1 1 1 1 =f( )·f( )·……·f( )=[f( )]n=a 2 2n 2n 2n 2n 1 ∴f( )=a 2n 2n
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又∵f(x)的一个周期是 2 ∴f(2n+
1 1 )=f( ), 2n 2n
1

∴an=f(2n+

1 1 )=f( )=a 2n 2n 2n

1

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因此 an=a 2n ∴ lim (ln an ) ? lim (
n?? n??

1 ln a) ? 0. 2n
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【 总 结 与 思 考 】 认 真 分 析 处 理 好 各 知 识 的 相 互 联 系 , 抓 住 条 件 f(x1+x2) = f(x1) · f(x2) 找 到 问 题 的 突 破 口 由
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x x x x f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)变形为 f ( x) ? f ( ? ) ? f ( ) ? f ( ) 是解决问题的关键 2 2 2 2

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例题 6

甲、乙两地相距 S 千米,汽车从甲地匀速驶到乙地,速度不得超过 c 千米/小时,已知汽车每小时的运输成
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本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成,可变部分与速度 v(km/h)的平方成正比,比例系数为 b,固定部分为 a 元 (1)把全程运输成本 y(元)表示为 v(km/h)的函数,并指出这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?

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【 规 范 解 答 】 解 法 一 (1) 依 题 意 知 , 汽 车 从 甲 地 匀 速 行 驶 到 乙 地 所 用 时 间 为
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S ,全程运输成本为 v

y=a· +bv2· =S( +bv)
∴所求函数及其定义域为 y=S( +bv),v∈(0,c ] (2)依题意知,S、a、b、v 均为正数 ∴S( +bv)≥2S ab 当且仅当
y

S v

S v

a v

a v

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a v



a a =bv,即 v= 时,①式中等号成立 b v
y

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o

a b

c

xo c

a b

x



a a ≤c 则当 v= 时,有 ymin=2S ab ; b b



a a a >c,则当 v∈(0,c ] 时,有 S( +bv)-S( +bc) b v c

=S[( - )+(bv-bc)]= ∵c-v≥0,且 c>bc2, ∴S( +bv)≥S(
a v

a v

a c

S (c-v)(a-bcv) vc

∴a-bcv≥a-bc2>0

a +bc),当且仅当 v=c 时等号成立, c a 也即当 v=c 时,有 ymin =S( +bc); c ab ab 综上可知,为使全程运输成本 y 最小,当 ≤c 时,行驶速度应为 v= , b b



ab >c 时行驶速度应为 v=c b

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解法二 (1)同解法一
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(2)∵函数 y=S( 当 x∈(0,

a +bv), v

v∈(0,+∞),

a )时,y 单调减小, b a ,+∞)时 y 单调增加, b

当 x∈(

a a 当 x= 时 y 取得最小值,而全程运输成本函数为 y=Sb(v+ b ),v∈(0,c ] b v

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y

y

o

a b

c

xo c

a b

x

∴当

a a a ≤c时,则当v= 时,y最小,若 >c时,则当v=c时,y最小 结论同上 b b b
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【总结与思考】本题考查建立函数的模型、不等式性质、最值等知识,还考查学生综合运用所学数学知识解决实际 问题的能力 运用建模、函数、数形结合、分类讨论等思想方法
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课程小结
学习函数要重点解决好四个问题 准确深刻地理解函数的有关概念;揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系;把
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握数形结合的特征和方法;认识函数思想的实质,强化应用意识 (一)准确、深刻理解函数的有关概念

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概念是数学的基础,而函数是数学中最主要的概念之一,函数概念贯穿在中学代数的始终 数、式、方程、函数、排
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列组合、数列极限等是以函数为中心的代数 近十年来,高考试题中始终贯穿着函数及其性质这条主线
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(二)揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系 函数是研究变量及相互联系的数学概念,是变量数学的基础,利用
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函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线与方程等内容 在利用函数和方程的思想进行思维中,动
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与静、变量与常量如此生动的辩证统一,函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式
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所谓函数观点,实质是将问题放到动态背景上去加以考虑 高考试题涉及 5 个方面 (1)原始意义上的函数问题;(2)方程、
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不等式作为函数性质解决;(3)数列作为特殊的函数成为高考热点;(4)辅助函数法;(5)集合与映射,作为基本语言和工

具出现在试题中

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(三)把握数形结合的特征和方法 函数图像的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合,有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、 周期性等基本属性,体现了数形结合的特征与方法,为此,既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘 制图形,又要熟练地掌握函数图像的平移变换、对称变换 (四)认识函数思想的实质,强化应用意识 函数思想的实质就是用联系与变化的观点提出数学对象,抽象数量特征,建立函数关系,求得问题的解决 纵观近
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几年高考题,考查函数思想方法尤其是应用题力度加大,因此一定要认识函数思想实质,强化应用意识

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