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广东省清远市2013届高三质量检测数学理科卷六


广东省清远市 2013 届高三质量检测数学理科卷 6
第Ⅰ卷(选择题 共50分) 一.选择题: (本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.若复数 (1 ? i )(1 ? ai ) (a ? R, i是虚数单位) 是纯虚数,则 a ? A.1 2.设等差数列{ A.3 3.设 B. ?1 C.0 D.2

/>
an }的前 n 项和为 Sn ,若 S5 ? 15 ,则 a3 ?
B. 4 C. 5 D.6

m, n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面。
②若 ? / / ? , m ? ? , 则m / / ? ; ④若 ? ? ? , ? ? ? , m ? ? , 则m ? ? ; C.③④ D.②③

有下列四个命题: ①若 m ? ? , ? ? ? , 则m ? ? ; ③若 n ? ? , n ? ? , m ? ? , 则m ? ? ; 其中正确命题的序号是 A.①③ B.①② 4.给出下列命题: ①命题“若 m ? 0 ,则方程 x ? x ? m ? 0 有实数根”的逆否命题为:“若方程 x ? x ? m ? 0 无实
2 2

数根,则 m ? 0 ”. ②“ x ? 1 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件.
2

p, q 均为假命题. ③若“ p且q ”为假命题,则
④对于命题

p : ?x ? R, 使得x 2 ? x ? 1 ? 0, 则?p : ?x ? R, 均有x 2 ? x ? 1 ? 0.

(其中“ ? ”表示“存在”,“ ? ”表示“任意”) 其中错误的命题为 A.① B.②

C.③

D.④

5. ?ABC的三内角A,B,C所对边长分别是 a, b, c ,设向量 m ? (a ? b, sin C),

·1·

n ? ( 3a ? c, sin B ? sin A) ,若 m// n ,则角 B 的大小为

? A. 6

5? B. 6

? C. 3

2? D. 3

6.若右边的程序框图输出的S是126,则条件 ①可为 A. n ? 5 C. n ? 7 B. n ? 6 D. n ? 8

x ?1 ? ? ? x? y ?0 ? x, y 满足条件 ? x ? 2 y ? 9 ? 0 , 7.已知变量
若目标函数 z ? ax ? y 仅在点 (3,3) 处取得 最小值,则 a 的取值范围是 A. ?1 ? a ? 0 C. a ? ?1 B. 0 ? a ? 1 D. a ? ?1 或 a ? 1

8.从某地区随机抽取100名高中男生, 将他们的体重(单位:kg)数据绘 制成频率分布直方图(如图) 。 若要从体重在 [60,70),[70,80),[80,90] 三组内的男生中, 用分层抽样的方法选取12人参加一 项活动,再从这12人中选两人当正、副队长,则这两 人 体重不在同一组内的概率为

1 A. 3

1 B. 4

2 C. 5

2 D. 3

1 ( x 2 ? ) n (n ? N *, n ? 100) x 9.若 展开式中一定存在常数项,则 n 最大值为
A.90 B.96 C.99
·2·

D.100

x2 y 2 3 ? 2 ?1 2 b 10.已知椭圆C: a ( a ? b ? 0 )的离心率为 2 ,过右焦点 F 且斜率为 k ( k ? 0 )的 ??? ? ??? ? 直线与C相交于A、B两点,若 AF ? 3FB ,则 k ?
A. 2 B.1 C.

3

D. 2

第Ⅱ卷(非选择题 共100分) 二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分。将答案填写在题中的横线上。 11.求正弦曲线 y ? sin x 与余弦曲线

y ? cos x 及直线 x ? 0 和直线 x ? ? 所围成区域的面积

? 12. A、 B、 C 是球面上三点,且 AB ? 2cm , BC ? 4cm , ?ABC ? 60 ,若球心 O 到截面 ABC 的距

离为 2 2cm ,则该球的表面积为



x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b 13.设双曲线 a 的右焦点为 F ,右准线为 l .如果以 F 为圆心,实轴长为半
径的圆与 l 相交,那么双曲线的离心率 e 的取值范围是 . ( m ? Z ),则 {x} ? m .给出下列关于 , 函数 f ( x) ? | x ? {x} | 的四个命题: ①函数 y ? f ( x) 的定义域是R,值域是[0, 2 ]; ②函数 y ? f ( x) 的图像关于直线
1

14.设{ x }表示离 x 最近的整数,即若

m?

1 1 ? x ? m? 2 2

x?

k 2 (k ? Z ) 对称;

③函数 y ? f ( x) 是周期函数,最小正周期是1; ④函数 y ? f ( x) 是连续函数,但不可导. 其中正确命题的序号为 . (写出所有你认为正确的序号)

15. (考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评阅记分)

2a ? 1 ? x ?
A. (不等式选做题)若不等式 是 .

1 x 对一切非零实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围

·3·

B. (几何证明选做题) 如图,圆O的直径AB=8,C为圆周上一点,BC=4,过C 作圆的切线 l ,过A作直线 l 的垂线AD,D为垂足,AD与圆O交于点E,则线段 AE的长为 .

? x ? 5cos ? ? 1 C:? ? y ? 5sin ? ? 2 ( ? 为参 C. (极坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 ? x ? 4t ? 6 l:? y ? ?3t ? 2 数)和直线 ?
( t 为参数) ,则直线 l 截圆C所得弦长为 .

三.解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

f ( x) ? [2 sin( x ? ) ? sin x] cos x ? 3 sin 2 x. 3 16. (本题满分12分)已知函数
(Ⅰ)若函数 y ? f (x) 的图象关于直线 x ? a(a ? 0) 对称,求 a 的最小值;

?

(Ⅱ)若存在

x0 ? [0,

5? ], 使mf ( x0 ) ? 2 ? 0 12 成立,求实数 m 的取值范围.

17. (本题满分12分)已知数列

{an } 的前 n 项和为 S n , 且满足

an ?

1 S n ? 1(n ? N ? ) 2

(Ⅰ)求数列

{an } 的通项公式。
cn ? 1 bnbn? 2 ,且数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn 的取值范围。

(Ⅱ)若

bn ? log2 an ,

18. (本题满分12分)甲和乙参加智力答题活动,活动规则:①答题过程中,若答对则继续答题;若 答错则停止答题;②每人最多答3个题;③答对第一题得10分,第二题得20分,第三题得30分,答错

·4·

3 1 得0分.已知甲答对每个题的概率为 4 ,乙答对每个题的概率为 3 .
(Ⅰ)求甲恰好得30分的概率; (Ⅱ)设乙的得分为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望;

19. (本题满分12分)已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形,左视图为等腰 直角三角形,俯视图为直角梯形.

(Ⅰ)证明:

BN ? 平面C1B1N ; C ? NB1 ? C1 的余弦值;
MP ∥平面 CNB1 , 若存在, 求出 BP

(Ⅱ)求二面角

(Ⅲ)M 为 AB 的中点, 在线段 CB 上是否存在一点 P , 使得 的长;若不存在,请说明理由.

20. (本题满分13分)已知动点 M 到点 F (1, 0) 的距离,等于它到直线 x ? ?1 的距离. (Ⅰ)求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 过点 F 任意作互相垂直的两条直线

l1 , l2 , 分别交曲线 C 于点 A, B 和 M , N . 设线段 AB ,MN

的中点分别为 P, Q ,求证:直线 PQ 恒过一个定点; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求 ?FPQ 面积的最小值.
·5·

f ( x) ? x ? a ln x, g ( x) ? ?
21. (本题满分14分)已知函数 (Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 f ( x) 的极值;

1? a x

,

(a ? R)

(Ⅱ)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求函数 h( x) 的单调区间; (Ⅲ)若在 [1, e] ( e ? 2.718? )上存在一点

x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求 a 的取值范围.

参考答案 -.选择题:AADCB BCDCA 12. 48? cm ;
2

二.填空题:11. 2 2 ;

13. 1 ? e ?

2 ?1;

14.①②③④;

1 3 [? , ] 2 2 ; B.4; C. 4 6 ; 15.A.

f ( x) ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2 sin(2 x ? ). 3 三.解答题:16.解: (I) 2a ?

?

?
3

由题设,

? k? ?

?
2

,即a ?

k? ? ? (k ? Z ). 2 12

? a ? 0, 则当k ? 0时, amin ? x0 ? [0,

?
12

.

????6分

(II)当

5x ? ? 7? ? 1 ]时,2 x0 ? ? [ , ], sin(2 x0 ? ) ? [? ,1]. 12 3 3 6 3 2

? f ( x0 ) ?[?1,2].



mf ( x0 ) ? 2 ? 0, 得f ( x0 ) ?

2 2 .? ?1 ? ? 2,即m ? ?2或m ? 1. m m
????12分
·6·

故 m 的取值范围是 (??,?2] ? [1,??).

17.解: (Ⅰ)由题意得:

an ?

1 1 S n ? 1(n ? N ? ) an ?1 ? S n ?1 ? 1(n ? N ? , n ? 2) 2 2 ,

两式相减得

an ? an ?1 ?

an 1 ? 2(n ? 2, n ? N ? ) an 2 ,即 an?1 ,



a1 ?

1 S1 ? 1,? a1 ? 2 {a } 2 ,所以数列 n 是首项为2,公比为2的等比数列,
????6分

?an ? 2 ? 2n?1 ? 2n
? bn ? log 2 an ? log 2 2n ? n,? cn ?
(Ⅱ)

1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2

1 1 1 1 1 1 1 1 ?Tn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )?( ? )] 2 3 2 4 n ?1 n ? 1 n n?2 1 1 1 1 3 1 1 1 ?Tn ? (1 ? ? ? )? ? ( ? ) 2 2 n ?1 n ? 2 4 2 n ?1 n ? 2
3 1 3 ?T ? Tn ? ? Tn ? ? cn ? 0 ,? 数列 {Tn } 为递增数列, 1 4 ,即 3 4 ???12分
18 . 解 : ( I ) 甲 恰 好 得 30 分 , 说 明 甲 前 两 题 都 答 对 , 而 第 三 题 答 错 , 其 概 率 为

3 3 9 ( ) 2 (1 ? ) ? 4 4 64
(II) ? 的取值为0,10, 30,60.

????4分

1 2 1 1 2 P(? ? 0) ? 1 ? ? P (? ? 10) ? (1 ? )?( ) ? 3 3, 3 3 9, 1 1 1 2 1 1 P(? ? 30) ? ? ?(1 ? ) ? P(? ? 60) ? ( )3 ? 3 3 3 27 , 3 27

? 的概率分布如下表:
?
P
0 10 30 60

2 3

2 9

2 27

1 27
???12分

2 2 2 1 20 E (? ) ? 0 ? ? 10 ? ? 30 ? ? 60 ? ? 3 9 27 27 3
·7·

19. (Ⅰ)法一:证明∵该几何体的正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形, ∴BA,BC,BB1两两垂直.以BA, BB1,BC分别为 x,y,z轴建立空间直角坐标系, 则B(0,0,0),N(4,4,0),B1(0,8,0),C1(0,8,4),C(0,0,4)

??? ???? ? ? BN ? NB1 ? (4,4,0)(-4,4,0) ? ?16 ? 16 ? 0 ∵ ??? ???? ? ? BN ? B1C1 ? (4,4,0)(0,0,4)=0 ??3分
∴BN⊥NB1, BN⊥B1C1.又NB1与B1C1相交于B1, ∴BN⊥平面C1B1N. ????4分 法二:∵该几何体的正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形, ∴BA,BC,BB1两两垂直.∴BC⊥平面ANB1B ∵BC∥B1C1∴B1C1⊥平面ANB1B,∴BN⊥B1C1 ???2分 取BB1中点D,连结ND. 则ANDB是正方形,NDB1是等腰直角三角形

? BN ? NB1 ? 4 2, 又 BB1 ? 8
BN 2 ? B1N 2 ? BB12 ,? BN ? NB1
NB1 ? B1C1 ? B1 ,? BN ? 平面C1B1N
????4分

?? ??? ? BN 是平面C1B1N的一个法向量 n1 =(4,4,0), (Ⅱ)法一:∵BN⊥平面C1B1N? ?? ? n2 ? ( x, y, z) 为平面NCB 的一个法向量,则 设 1 ?? ???? ? ? n2 ? CN ? 0 ? ?( x, y, z ) ? (4, 4. ? 4) ? 0 ?x ? y ? z ? 0 ? ? ? ?? ???? ?? ?? ? ?n2 ? NB1 ? 0 , ? ( x, y, z ) ? (4, ?4, 0) ? 0 , ? x ? y ? 0

?? ? n2 ? (1,1,2)
?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 4?4 1 3 ? cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? ? ? 3 | n1 | ? | n2 | 16 ? 16 ? 1 ? 1 ? 4 3 则
由图可知,所求二面角为锐角,

3 所以,所求二面角C-NB1-C1的余弦值为 3 .
法二:只要求二面角

????9分

C ? NB1 ? B 的正弦值,由(Ⅰ)易证 ?CNB 为二面角 C ? NB1 ? B 的平面

角,? BC ? 4, BN ? 4 2 ,?CN ?

BC 2 ? BN 2 ? 4 3 ,
·8·

BC 4 3 3 ? ? NC 4 3 3 ,故所求二面角C-NB1-C1的余弦值为 3 ???? M (2, 0, 0) .设 P(0,0, a) ( 0 ? a ? 4 )为 BC 上一点,则 MP ? (?2,0, a) , (Ⅲ)∵ ?sin ?CNB ?
? MP ∥平面 CNB1 , MP ? n2

????

?? ?
?a ?1
???12分 ,

???? ?? ? MP ? n2 ? (?2,0,0) ? (1,1, 2) ? ?2 ? 2a ? 0 , ∴

CNB1 且 BP ? 1 ∴在CB上存在一点P(0,0,1), MP ∥平面
20.解: (Ⅰ)设动点 M 的坐标为 ( x, y ) ,由题意得,
2 2

( x ? 1) 2 ? y 2 ?| x ? 1|

化简得 y ? 4 x ,所以点 M 的轨迹 C 的方程为 y ? 4 x .

??4分

(x , y ) (x , y ) (Ⅱ)设 A, B 两点坐标分别为 1 1 , 2 2 ,则点 P 的坐标为 l 设直线 1 的方程为 y ? k ( x ? 1) (k ? 0) ,
? y 2 ? 4 x, ? ? y ? k ( x ? 1),
得 k x ? (2k ? 4) x ? k ? 0 .
2 2 2 2

(

x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 2 2 .由题意可



D = (2k 2 + 4)2 - 4k 4 = 16k 2 + 16 > 0 .

l 因为直线 1 与曲线 C 于 A, B 两点,所以
(1 ? 2 2 , ) k2 k . ?

x1 ? x2 ? 2 ?

4 4 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ? 2 k , k .所以点

P 的坐标为

1 2 l 由题知,直线 2 的斜率为 k ,同理可得点 Q 的坐标为 (1 ? 2k , ?2k ) .

2 1 ? 2 ? 1 ? 2k 2 k 当 k ? ?1 时,有 ,此时直线 PQ 的斜率
y ? 2k ?

k PQ

2 ? 2k k k ? ? 2 2 1 ? 2 ? 1 ? 2k 2 1 ? k k .

所以,直线 PQ 的方程为

k ( x ? 1 ? 2k 2 ) 2 1? k ,
·9·

y?
整理得

k ( x ? 3) 1? k 2 .于是,直线 PQ 恒过定点 E (3, 0) ;

当 k ? ?1 时,直线 PQ 的方程为 x ? 3 ,也过点 E (3, 0) . 综上所述,直线 PQ 恒过定点 E (3, 0) . ????10分

(Ⅲ)? | EF |= 2 ,? ?FPQ 面积

S?

1 2 1 | FE | ( ? 2 | k |) ? 2( ? | k |) ≥ 4 2 |k| |k| .

当且仅当 k ? ?1 时,“ ? ”成立,所以 ?FPQ 面积的最小值为 4 .??13分 21.解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0, ??) ,

当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ln x ,

f ?( x) ? 1 ?

1 x ?1 ? x x ,

x
f ?( x)

(0,1)


1 0 极小

(1, ??)
+

f ( x)

所以 f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值1.

????4分

h( x ) ? x ?
(Ⅱ)
h?( x) ? 1 ?

1? a ? a ln x x ,

1 ? a a x 2 ? ax ? (1 ? a ) ( x ? 1)[ x ? (1 ? a)] ? ? ? x2 x x2 x2

? ? ①当 a ? 1 ? 0 时,即 a ? ?1 时,在 (0,1 ? a) 上 h ( x) ? 0 ,在 (1 ? a, ??) 上 h ( x) ? 0 ,

所以 h( x) 在 (0,1 ? a) 上单调递减,在 (1 ? a, ??) 上单调递增;
? ②当 1 ? a ? 0 ,即 a ? ?1 时,在 (0, ??) 上 h ( x) ? 0 ,

所以,函数 h( x) 在 (0, ??) 上单调递增. (III)在

????8分

?1, e? 上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ?

g ( x0 )

成立,即

·10·



?1, e? 上存在一点 x0 ,使得 h( x ) ? 0 ,即
0

函数

h( x ) ? x ?

1? a ? a ln x ?1, e ? x 在 上的最小值小于零.

?1, e? 上单调递减, 由(Ⅱ)可知:①当 1 ? a ? e ,即 a ? e ? 1 时, h( x) 在
所以 h( x) 的最小值为 h(e) ,由
h(e) ? e ?

e2 ? 1 1? a a? ?a?0 e ?1 , e 可得

e2 ? 1 e2 ? 1 ? e ?1 a? e ?1 ; 因为 e ? 1 ,所以

?1, e? 上单调递增, ②当 1 ? a ? 1 ,即 a ? 0 时, h( x) 在
所以 h( x) 最小值为 h(1) ,由 h(1) ? 1 ? 1 ? a ? 0 可得 a ? ?2 ; ③当 1 ? 1 ? a ? e ,即 0 ? a ? e ? 1 时, 可得 h( x) 最小值为

h(1 ? a) ? 2 ? a ? a ln(1 ? a) ,
因为 0 ? ln(1 ? a ) ? 1 ,所以, 0 ? a ln(1 ? a ) ? a 故 h(1 ? a) ? 2 ? a ? a ln(1 ? a) ? 2 此时不存在

x? 使 h( x? ) ? 0 成立.
a? e2 ? 1 e ? 1 或 a ? ?2 .

????13分

综上可得所求 a 的范围是:

????14分

·11·


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