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2015年北京市东城区高三二模数学(文)试卷答案及解析


2015 年北京市东城区高三二模数学(文)试卷

答案及解析
1.【答案】B 【解析】 由题意得: A I B ? ?2? ,由维恩图可知, 阴影部分表示的集合为: A I ?UB 即在集合 A 中去掉 A 与 B 的公共元素, 所以答案为 ?0,1? ,选 B 2.【答案】C 【解析】 由题意得:该复数的实部为零,虚部不为零,即:

/>?m2 ? m ? 0 ? ?m ? 0 ,解得: m ? 1 ,选 C
3.【答案】C 【解析】 把圆的一般方程 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 进行配方可得:

( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 9 ,所以圆心坐标为: (1,3) ,选 C
4.【答案】A 【解析】 先考察充分性:

w w w .y tik i u. cn

把 x ? 1, y ? ?2 代入直线 l : x ? y ? 3 ? 0 ,满足直线方程,所以充分性成立; 再考察必要性: 直线 l : x ? y ? 3 ? 0 上有无数个点,不一定得到: x ? 1, y ? ?2 ,所以必要性不成立。 综上:“ x ? 1, y ? ?2 ”是“点 P 在直线 l : x ? y ? 3 ? 0 上”的充分而不必要条件。选 A 5.【答案】C 【解析】 因为 0 ? log0.8 1 ? log0.8 0.9 ? log0.8 0.8 ? 1 ,所以 0 ? a ? 1 ;

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因为 log1.1 0.9 ? log1.1 1 ? 0 ,所以 b ? 0 ; 因为 1.10.9 ? 1.10 ? 1 ,所以 c ? 1 ; 综上, b ? a ? c ,选 C 6.【答案】D 【解析】 该三棱柱的直观图如下:

由题意得: AB ? BC ? CA ? 2 , 该三棱柱的侧面展开图是一个长为 6 宽为 1 的矩形, 其面积为: S ? 6 ,选 D 7.【答案】B 【解析】 作出可行域如图:

有图可知,可行域均在 y 轴及其左侧,所以, x ? 0 所以, z ? ?2 x ? y ,转化为斜截式得: y ? 2 x ? z

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由图可知,使得 z 取得最大值的最优解为: A(?2, ?1) 所以,

zmax ? 3 ,选 B

8.【答案】A 【解析】 易证四边形 EMFN 为菱形,过点 M 作 MH ? DD1 于 H ,所以

MN ? NH 2 ? HM 2 ? (1 ? 2 x)2 ? ( 2)2
所以, S ?

1 1 2 EF ? MN ? ? 2 ? (1 ? 2 x)2 ? ( 2)2 ? 4 x2 ? 4 x ? 3 2 2 2

y ? S 2 ? 2x2 ? 2x ?
所以, 9.【答案】 2 , 【解析】

3 2 , x ?[0,1] ,选 A

w w w . yi ti ku . cn

5 2

把点 x ? m, y ? 2 代入 y 2 ? 2 x 解得: m ? 2 抛物线 y 2 ? 2 x 的准线方程为: x ? ?

1 , 2

5 所以点 P 到抛物线的焦点 F 的距离为 2
10.【答案】 【解析】 由正弦定理得:

2 3 a b c ? ? sin A sin B sin C

sin A sin A sin A a 2 ? ? ? ? sin( A ? C ) sin( ? ? B ) sin B b 3 所以,
11.【答案】 ?4 【解析】 因为 x ? 0 ,所以, (?2 x) ? (? ) ? 2 (?2 x) ? (? ) ? 4

2 x

2 x

2 y ? ?[(?2 x) ? (? )] ? ?4 , x
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?2 x ? ?
当且仅当 12.【答案】 【解析】

2 x ,即 x ? ?1 时,等号成立

? 6 ? 6

由向量加法的平行四边形法则作图如下:易求向量 b 与 a ? b 的夹角为

13.【答案】 ? 【解析】

3 2

设等差数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d 。 函数 f ( x) ? cos x , x ? (0 , 2?) 的两个零点为: x1 ?

?
2

和 x2 ?

3? ? 所以, a1 ? , a4 ? ,解得 d ? 2 2 3 5? 7? f ( x) ? cos x ? m 的两个实根 x3 ? , x4 ? 6 6

?

3? 2

m ? cos
所以

5? ? ? 3 ? cos(? ? ) ? ? cos ? ? 6 6 6 2

14.【答案】 4? , 12 【解析】 由弧长公式得: l ? ? ? r ,所以,

l1 ?

2? 2? 2? 4? 2? 2? ?1 ? ?2 ? ? 3 ? 2? , L , ln ? ?n , l2 ? , l3 ? 3 3 3 3 3 3

所以,

l1 ? l2 ? l3 ? 4?



ln ?

2n? ? 8? 3 ,解得 n ? 12

15.【答案】见解析 【解析】 解:设顾客去甲商场,转动圆盘,指针指向阴影部分为事件 A ,
w w w .y it ik u. cn

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试验的全部结果构成的区域为圆盘,面积为 ?r 2 ( r 为圆盘的半径),

? 2 r 1 1 ? 2 ? 2 阴影区域的面积为 S ? 4 ? ? r ? r . 所以, P( A) ? 6 2 ? . 2 12 6 ?r 6 设顾客去乙商场一次摸出两个红球为事件 B , 记盒子中 3 个白球为 a1 , a2 , a3 , 3 个红球为 b1 , b2 , b3 ,
记 ( x , y) 为一次摸球的结果,则一切可能的结果有:

(a1 , a2 ) , (a1 , a3 ) , (a1 , b1 ) , (a1 , b2 ) , (a1 , b3 ) , (a2 , a3 ) , (a2 , b1 ) , (a2 , b2 ) , (a2 , b3 ) , (a3 , b1 ) , (a3 , b2 ) , (a3 , b3 ) , (b1 , b2 ) , (b1 , b3 ) , (b2 , b3 ) ,共 15 种.
摸到的 2 个球都是红球有 (b1 , b2 ) , (b1 , b3 ) , (b2 , b3 ) ,共 3 种. 所以, P( B) ?

3 1 ? . 15 5

因为 P( A) ? P( B) ,所以,顾客在乙商场中奖的可能大. 16.【答案】见解析 【解析】 解: (Ⅰ)由 f ( x) ? cos(2 x ? 得 f ( x) ?

π 2 ) ? cos(2 x ? π) 3 3

1 3 1 3 cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x 2 2 2 2

? ? 3 sin 2 x .
3 3 3 3 ,即 ? 3 sin 2? ? ? 3 ,所以 sin 2? ? . 5 5 5 π π π 又因为 ? ? ( , ) ,所以 2? ? ( , π) . 4 2 2 4 4 故 cos 2? ? ? ,即 g (? ) ? ? . 5 5 π (Ⅱ) f ( x) ? g ( x) ? ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 cos(2 x ? ) . 3 π π π 因为 x ? [? , ] ,所以 2 x ? ? [0, π] . 6 3 3 π π 所以当 2 x ? ? 0 ,即 x ? ? 时, f ( x) ? g ( x) 有最大值,最大值为 2 . 3 6
因为 f (? ) ? ?
w w .y w it ik u. cn

17.【答案】见解析 【解析】 证明: (Ⅰ)连接 AC 交 BE 于点 M ,连接 FM .

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P F

D E A

C

M

B

因为 PA P 平面 BEF ,平面 PAC I 平面 BEF ? FM , 所以 FM P AP .

AM AE 1 ? ? . MC ED 2 PF AM 1 因为 FM P AP ,所以 ? ? . FC MC 2 1 所以 ? ? . 3
因为 EM P CD ,所以 (Ⅱ)因为 AP ? 2, AE ? 1, ?PAD ? 60o , 所以 PE ? 3 . 所以 PE ? AD . 又平面 PAD ? 平面 ABCD ,且平面 PAD I 平面 ABCD ? AD ,

PE ? 平面 ABCD ,所以 PE ? CB . 又 BE ? CB , 且 PE I BE ? E ,
所以 CB ? 平面 PEB . 18.【答案】见解析 【解析】 解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公比为 q , 因为 4a1 ,

3 a2 , a2 成等差数列, 2

所以 4a1 ? a2 ? 3a2 . 整理得 2a1 ? a2 ,即 2a1 ? a1q ,解得 q ? 2 . 又 S4 ?

a1 (1 ? 24 ) 1 ? 5 ,解得 a1 ? . 1? 2 3

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所以 an ?

1 n ?1 ?2 . 3

1 3 1 7?n 所以 bn ? 2+(n ? 1)(- ) ? . 3 3 7?n 2+ 3 ? n ? (13 ? n)n . Tn = 2 6 [13 ? (n ? 1)](n ? 1) 所以由 Tn ?1 ? 0 ,得 ?0, 6
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 ? a1 = ? , 整理得 (n ? 1)(n ? 14) ? 0 , 解得 1 ? n ? 14 . 故满足 Tn ?1 ? 0 的最大正整数为 13 . 19.【答案】见解析 【解析】 解: (Ⅰ)由已知可得 a ? c ? 2 , b ? 2 3 , 又 b2 ? a 2 ? c 2 ? 12 ,解得 a ? 4 .

x2 y 2 ? ?1 故所求椭圆 C 的方程为 16 12
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 A(?4 , 0) , B(4 , 0) . 设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) , 所以 k PA ? k1 ?

y1 y y2 ? 1 ? 21 . x1 ? 4 x1 ? 4 x1 ? 16

因为 P( x1 , y1 ) 在椭圆 C 上,

x12 y12 3 ? ? 1 ,即 y12 ? 12 ? x12 . 所以 16 12 4
3 12 ? x12 3 4 ?? . 所以 k PA ? k1 ? 2 x1 ? 16 4
又因为 k1 ?

3 k2 , 4
( 1)

所以 kPA ? k2 ? ?1 .

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由已知点 Q( x2 , y2 ) 在圆 x ? y ? 16 上, AB 为圆的直径,
2 2

所以 QA ? QB . 所以 kQA ? k2 ? ?1 . (2)

由(1)(2)可得 kPA ? kQA . 因为直线 PA , QA 有共同点 A , 所以 A , P , Q 三点共线 20.【答案】见解析 【解析】 解: (Ⅰ)设 g ( x) 在 x ? 1 处的切线方程为 y ? kx ? 5 , 因为 g ?( x) ? 3x 2 ? 7 x ?

1 , g ?(1) ? 11 , x

所以 k ? 11 ,故切线方程为 y ? 11x ? 5 . 当 x ? 1 时, y ? 6 ,将 (1, 6) 代入 g ( x) ? x3 ? 得b ?

7 2 x ? ln x ? b , 2

3 2
2

(Ⅱ) f ' ? x ? ? 3x ? 5x ? a , 由题意得方程 x ?
3

5 2 x ? ax ? b ? 3x3 ? 5x 2 ? ax ? x 有唯一解, 2

5 2 x ? x ? b 有唯一解. 2 5 2 3 2 令 h( x) ? 2 x ? x ? x ,则 h '( x) ? 6 x ? 5x ? 1 ? (2 x ? 1)(3x ? 1) , 2 1 1 所以 h( x) 在区间 (??, ? ), (? , ??) 上是增函数, 2 3 1 1 1 1 1 7 在区间 (? , ? ) 上是减函数. 又 h(? ) ? ? , h(? ) ? ? , 2 3 2 8 3 54 7 1 故实数 b 的取值范围是 (??, ? ) U (? , ??) . 54 8
即方程 2 x ?
3

(Ⅲ) F ( x) ? ax ? x ? ln x, 所以 F '( x) ? ?
2

2 x 2 ? ax ? 1 . x

因为 F ( x) 存在极值,所以 F '( x) ? ? 即方程 2x
2

2 x 2 ? ax ? 1 ? 0 在 (0,??) 上有根, x

? ax ? 1 ? 0 在 (0,??) 上有根,则有 ?=a 2 ? 8 ? 0 .
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显然当 ?=0 时, F ( x) 无极值,不合题意; 所以方程必有两个不等正根.

1 ? x1 x2 ? ? 0, ? ? 2 记方程 2x 2 ? ax ? 1 ? 0 的两根为 x 1 , x 2 ,则 ? ?x ? x ? a , 1 2 ? ? 2
F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? a( x1 ? x2 ) ? ( x12 ? x2 2 ) ? (ln x1 ? ln x2 )

?

a2 a2 1 1 ? ? 1 ? ln ? 5 ? ln , 2 4 2 2
a ? 0, 2

解得 a 2 ? 16 ,满足 ? ? 0 . 又 x1 ? x2 ?

即 a ? 0 ,故所求 a 的取值范围是 (4,??) .

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