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高考数学总复习经典测试题解析版7.2 一元二次不等式及其解法


7.2 一元二次不等式及其解法
一、选择题 1.不等式

x-2 ≤0 的解集是( x+1

) B.(-1,2] D.[-1,2]

A.(-∞,-1)∪(-1,2] C.(-∞,-1)∪[2,+∞) 解析 ∵ ? x+ x-2 ≤0?? x+1 ?x+1≠0

x-

>,

?-1≤x≤2, ?? ?x≠-1,

∴x∈(-1,2]. 答案 B 2. 若集合 A ? {x ?? ? ? x ?? ? ?}, B ? {x A. {x ??? x ? ?} C.
x?? ? ?} ,则 A ? B ? ( x



B. {x ? ? x ??} D. {x ? ? x ??}

{x ? ? x ? ?}

解析 因为集合 A ? {x ??? x ??}, B ? {x ? ? x ? ?} , 所以 A ? B ? {x ? ? x ??} , 选 B. 答案 B 1? ? 1 3.已知不等式 ax2-bx-1≥0 的解集是?- ,- ?,则不等式 x2-bx-a<0 的 3? ? 2 解集是( A.(2,3) ?1 1? C.? , ? ?3 2? ). B.(-∞,2)∪(3,+∞) 1? ?1 ? ? D.?-∞, ?∪? ,+∞? 3? ?2 ? ?

1 1 2 解析 由题意知- ,- 是方程 ax -bx-1=0 的根,所以由根与系数的关系得 2 3 1 ? 1? b 1 ? 1? 1 - +?- ?= ,- ×?- ?=- .解得 a=-6,b=5,不等式 x2-bx-a<0 即 2 ? 3? a 2 ? 3? a 为 x2-5x+6<0,解集为(2,3). 答案 A ? ?x+1 >0 4. 已知全集 U 为实数集 R,集合 A=?x? ? ?x-m ? 1 ?,集合?UA={y|y=x , 3 ?

x∈[-1,8]},则实数 m 的值为(
A.2 C.1 解析

) B.-2 D.-1

? ? 1 ? ? x+1 集合?UA=?y|y=x ,x∈[-1,8]?=[-1,2],故不等式 >0,[来源: 3 x-m ? ? ? ? 学。科。网] 即不等式(x+1)(x-m)>0 的解集为(-∞,-1)∪(m ,+∞),所以 m=2. 答案 A

5.在 R 上定义运算⊙:a⊙b=ab+2a+b,则满足 x⊙(x-2)<0 的实数 x 的取 值范围为( A.(0,2) C.(-∞,-2)∪(1,+∞) 解析 ). B.(-2,1) D.(-1,2)

根据给出的定义得 x⊙(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2=(x+

2)(x-1),又 x⊙(x-2)<0,则(x+2)(x-1)<0,故这个不等式的解集是 (-2,1). 答案 B

6.对于实数 x,规定[x]表示不大于 x 的最大整数,那么不等式 4[x]2-36[x]+ 45<0 成立的 x 的取值范围是( ?3 15? A.? , ? ?2 2 ? B.[2,8] ). C.[2,8) D.[2,7]

3 15 解析 由 4[x]2-36[x]+45<0, 得 <[x]< , 又[x]表示不大于 x 的最大整 数, 2 2 所以 2≤x<8. 答案 C ?-2,x>0, 7.设函数 f(x)=? 2 ?x +bx+c,x≤0, 若 f(-4)=f(0),f(-2)=0,则关于

x 的不等式 f(x)≤1 的解集为(
A.(-∞,-3]∪[-1,+∞) C.[-3,-1]∪(0,+∞)

). B.[-3,-1] D.[-3,+∞)

解析 当 x≤0 时,f(x)=x2+bx+c 且 f(-4)=f(0),故其对称轴为 x=- = 2 -2,∴b=4.又 f(-2)=4-8+c=0,∴c=4,当 x≤0 时,令 x2+ 4x+4≤1 有-3≤x≤-1;当 x>0 时,f(x)=-2≤1 显然成立,故不等式的解集为

b

[-3,-1]∪(0,+∞). 答案 C 二、填空题 8.不等式|x+1|-|x-3|≥0 的解集是________. 解析 ?x<-1, 原不等式等价于 ? ?-x-1- ?-1≤x≤3, 或? -x ?x+1- 或

-x

?x>3, ? ?x+1-

x-



解得 1≤x≤3 或 x>3, 故原不等式的解集为{x|x≥1}.

答案 {x|x≥1} ?x +1,x≥0, 9.已知函数 f(x)=? ?1,x<0,
2

则满足不等式 f(1-x2)>f(2x)的 x 的取

值范围是________. 解析 由函数 f(x)的图象可知(如下图),满足 f(1-x2)>f(2x)分两种情况:

?1-x ≥0, ①?x≥0, ?1-x >2x
2 2 ?1-x >0, ②? ?x<0

2

? 0≤x< 2-1.

? -1<x<0.综上可知:-1<x< 2-1.

答案 (-1, 2-1) 1 1 10. 若关于 x 的不等式 x2 + x-( )n≥0 对任意 n∈N*在 x∈(-∞, λ ]上恒成立, 2 2 则实常数 λ 的取值范围是________. 1 1 1 1 解析 由题意得 x2+ x≥( )n max= ,∴x≥ 或 x≤-1. 2 2 2 2 又 x∈(-∞,λ ], ∴λ ∈(-∞,-1]. 答案 (-∞,-1]

11 . 已 知 ________. 解析

1 ?x- x f(x) = ? 2 ?-x -x+
2



则 不 等 式 f(x)≤2 的 解 集 是 ,

x

1 ?x- ≤2, 依题意得? 2 ?x>2,

2 ?-x -x+4≤2, 或? ?x≤2.

解得 x∈(-∞, -2]∪

?5 ? [1,2]∪? ,+∞?. ?2 ? ?5 ? 答案 (-∞,-2]∪[1,2]∪? ,+∞? ?2 ? 2 12.若不等式 2x-1>m (x -1)对满足-2≤m≤2 的所有 m 都成立,则 x 的取值 范围为________. 解析 (等价转化法)将原不等式化为:m(x2-1)-(2x-1)<0.令 f(m)=m(x2- 1) - (2x - 1) , 则 原 问 题 转 化 为 当 - 2≤m≤2 时 , f(m) < 0 恒 成 立 , 只 需 <0, ?f - ? <0 ?f

x2- - x- <0, ?- 即可, 即? 2 - x- <0, ? x-

解得

-1+ 7 < 2

x<

1+ 3 . 2 ?-1+ 7 1+ 3? ? ? , 2 2 ? ?

答案

【点评】 本题用改变主元的办法,将 m 视为主变元,即“反 客为主”法,把较 复杂问题转化为较简单问题、较常见问题来解决. 三、解答题 13.已知 f(x)=2x2-4x-7,求不等式

f x ≥-1 的解集. -x2+2x-1

2x2-4x-7 2x2-4x-7 解析 原不等式可化为 ≥-1,等价于 2 ≤1, -x2+2x-1 x -2x+1 2x2-4x-7 x2-2x-8 即 2 -1≤0,即 2 ≤0. x -2x+1 x -2x+1 由于 x2-2x+1=(x-1)2≥0. ?x -2x-8≤0, 所以原不等式等价于? 2 ?x -2x+1≠0.
2

?-2≤x≤4, 即? ?x≠1.

所以原不等式的解集为{x|-2≤x<1 或 1<x≤4}. 14.已知函数 f(x)=mx2-mx-1. (1)若对于 x∈R,f(x)<0 恒成立,求实数 m 的取值范围; (2)若对于 x∈[1,3],f(x)<5-m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 思路分析 第(2)问将不等式 f(x)<5-m,x∈[1,3]恒成立转化为 m<g(x),

x∈[1,3]上恒成立,再求 g(x)的最小值即可.
?m<0, 解析 (1)由题意可得 m=0 或? 2 ?Δ =m +4m<0 ?-4<m≤0.故 m 的取值范围为(-4,0]. (2)∵f(x)<-m+5?m(x2-x+1)<6, ∵x2-x+1>0,∴m< 记 g(x)= 6 对于 x∈[1,3]恒成立, x -x+1
2

?m=0 或-4<m<0

6 ,x∈[1,3], x -x+1
2

记 h(x)=x2-x+1,h(x)在 x∈[1,3]上为增函数. 6 6 则 g(x)在[1,3]上为减函数,∴[g(x)]min=g(3)= ,∴m< . 7 7 6? ? 所以 m 的取值范围为?-∞, ?. 7? ? 【点评】 本题体现了转化与化归思想 ,解这类问题一般将参数分离出来,转化 为求构造函数的最值问题,通过求最值解得参数的取值范围. 15.一个服装厂生产风衣,月销售量 x(件)与售价 p(元/件)之间的关系为

p=160-2x,生产 x 件的成本 R=500+30x(元).
(1)该厂月产量多大时,月利润不少于 1 300 元? (2)当月产量为多少时,可获得最大利润,最大利润是多少? 解析 (1)由题意知,月利润 y=px-R, 即 y=(160-2x)x-(500+30x)=-2x2+130x-500 , 由月利润不少于 1 300(元),得-2x2+130x-500≥1 300, 即 x2-65x+9 00≤0,解得 20≤x≤45. 故该厂月产量 20~45 件时,月利润不少于 1 300 元.

65?2 3 225 ? 2 (2)由(1)得,y=-2x +130x-500=-2?x- ? + , 2? 2 ? 由题意知,x 为正整数.故当 x=32 或 33 时,y 最大为 1 612. 所以当月产量为 32 或 33 件时,可获最大利润,最大利润为 1 612 元. 16.解关于 x 的不等式 ax2-2≥2x-ax(a∈R). 解析 原不等式可化为 ax2+(a-2)x-2≥0? (ax-2)(x+1)≥0. (1)当 a=0 时,原不等式化为 x+1≤0? x≤-1; (2)当 a>0 时, 2? 2 ? 原不等式化为?x- ?(x+1)≥0? x≥ 或 x≤-1; a? a ? 2? ? (3)当 a<0 时,原不等式化为?x- ?(x+1)≤0. a? ? 2 2 ①当 >-1,即 a<-2 时,原不等式等价于-1≤x≤ ;

a a a

a

2 ②当 =-1,即 a=-2 时,原不等式等价于 x=-1; 2 2 ③当 <-1,即-2<a<0 时,原不等式等价于 ≤x≤-1.

a

2? ? 综上所述:当 a<-2 时,原不等式的解集为?-1, ?; a? ? 当 a=-2 时,原不等式的解集为{-1}; ?2 ? 当-2<a<0 时,原不等式的解集为? ,-1?; a ? ? 当 a=0 时,原不等式的解集为(-∞,-1]; ?2 ? 当 a>0 时,原不等式的解集为(-∞,-1]∪? ,+∞?. ?a ?


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