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由递推关系求数列的通项公式教案



由递推关系求数列的通项公式复习课
授课人:韦家规 授课地点:高三(6)班 1 教学任务分析 授课时间:2009 年 12 月 16 日

( 1 ) 理 解 、 掌 握 由 递 推 关 系 : an?1 ? an ? f ?n? ,

an?1 ? an ? f ?n? ,

an?1 ? pan ? q? p, q为常数, pq ? 0, p ? 1? 求数列的通项公式 an
(2)通过题目的形式,培养学生观察能力、探究能力、归纳能力,运用“转化” 、 “换元” 、 “方程” 的数学思想方法分析问题、解决问题的能力。 2 教学重点与难点 理 解 、 掌 握 由 递 推 关 系 :

an?1 ? an ? f ?n? ,

an?1 ? an ? f ?n? ,

an?1 ? pan ? q? p, q为常数, pq ? 0, p ? 1? 求数列的通项公式 an
3 教学基本流程 创设情境问题,复习前面所学的几种求通项公式的方法

通过例 1 掌握由递推关系 an?1 ? an ? f ?n? 求 an 方法“累加法” 变式练习(1) (2)

通过例 2 掌握由递推关系

an?1 ? an ? f ?n? 求 an 的方法“累乘法”

变式练习(1) (2)

通过例 3 掌握由递推关系 an?1 ? pan ? q p, q为常数, pq ? 0, p ? 1 变式练习 课堂小结

?

?

求 an 的方法“构造法”

4 教学情境设计 课外作业 (1)创设情境问题 前面我们复习了几种求数列通项公式的方法:观察法,公式法:定义法:等差数列和等比数 列。这一节课我们来学习另外几种常用的方法求通项公式。 (2)例题讲解 例 1 (1)已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? an ? 2 ,求 an (2)已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? an ? 2n ,求 an 解析: (1) 由递推关系: ∴数列 ?an ? 为等差数列, ∴ an ? 2n ? 1 (定 an?1 ? an ? 2 ? an?1 ? an ? 2 ,

1

义法)

(2)由递推关系: an?1 ? an ? 2n 与(1)不相同,不能用“定义法” ,我们联想到求等

差数列的通项公式的方法: “累加法”来求,

a2 ? a1 ? 2, a3 ? a2 ? 4, a4 ? a3 ? 6?an ? an?1 ? 2?n ? 1?
逐 项 累 加 有 a n ? a1 ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2?n ? 1? ?

?n ? 1??2 ? 2n ? 2? ? n 2 ? n
2

, 从 而

an ? n 2 ? n ? 2 。
注:在运用累加法时,要特别注意项数,计算时项数容易出错. 归纳:形如: an?1 ? an ? f ?n?的递推关系,且 f ?1? ? f ?2? ? ? ? f ?n? 的和可求,可用“累加法” 求通项 an ,具体做法是将通项变形为 an?1 ? an ? f (n) ,从而就有

a2 ? a1 ? f (1), a3 ? a2 ? f (2),
将上述 n ? 1 个式子累加,变成 an ? a1 ? f (1) ? f (2) ? 加法时,要特别注意项数,计算时项数容易出错.

, an ? an?1 ? f (n ?1). ? f (n ?1) ,进而求解。但要注:在运用累

【变式练习】 (1)已知数列 ?an ? , a1 ? 2, an?1 ? an ? 2n ?1, 求an . (2)已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? an ? 2 n ,求 an 参考答案: (1) an ? n2 ? 2n ? 3 , (2) an ? 2 n ? 1 例2 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? an ? 2 n ,求 an

解析:由递关系 an?1 ? an ? 2 n 与例 1 不一样,可联想到与等比数列的定义有类似, 想到用“累乘法” 求 ,

a a a2 a ? 2, 3 ? 2 2 , 4 ? 2 3 ? n ? 2 n?1 , 将 上 述 n ? 1 个 式 子 累 乘 , 得 到 a1 a2 a3 an?1
2

n ?n n ?n an ? 21 ? 2 2 ? 2 3 ? ? 2 n?1 ? 21? 2?3????n?1? ? 2 2 ,所以 an ? 2 2 a1

归纳:形如: an?1 ? an ? f (n) 的递推关系,且 法”求通项公式 an ,具体做法是将通项变形为

f ?1? ? f ?2? ? ?? f ?n? 可积可求,可用“累乘

an?1 ? f (n) ,从而就有 an

a a2 ? f (1), 3 ? f (2), a1 a2 an ? f (1) ? f (2) ? a1

,

an ? f (n ? 1) , 将 上 述 n ? 1 个 式 子 累 乘 , 变 成 an?1

? f (n ? 1) ,进而求解。但要注:在运用累乘法时,要特别注意项数,计算时项数
2

容易出错. 【变式练习】 (1)已知数列 ?an ? 中, a1 ?

1 n ?1 , an ? ? a n ?1 ?n ? 2? ,求 an 2 n ?1

(2)已知数列 ?a2 ? 中, a1 ? 1, ?n ? 1? ? an?1 ? n ? an ,求 an 参考答案: (1) a n ?

1 1 , (2) a n ? n n?n ? 1?

例 3 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1 ,求 an 解析:由递推关系 an?1 ? 2an ? 1,直接求 an 比较难,可通过构造出等差或等比数列来求, 设 , an?1 ? m ? 2?an ? m? ? an?1 ? 2an ? m 与 an?1 ? 2an ? 1 比 较 可 得 m ? 1 ∴ 设

bn ? an ? m ? an ? 1 ∴

bn?1 an?1 ? 1 ? ? 2 , ∴ 数 列 ?bn ? 是 以 首 项 为 b1 ? a1 ? 1 ? 2 , 公 比 为 bn an ? 1

q ? 2 的等比数列∴ bn ? an ? 1 ? b1 ? q n?1 ? 2 ? 2n?1 ? 2n ? an ? 2n ? 1
归纳:形如 an?1 ? pan ? q p, q为常数, pq ? 0, p ? 1 的递推关系,可用“构造法”来求求通项 公式 an ,此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列,再利用等比数列的性质进行求解, 利用待定系数法构造,设

?

?

an?1 ? m ? p(an ? m) ,展开整理 an?1 ? pan ? pm ? m ,比较系数有
q ,设 bn ? an ? m ,所以数列 ?bn ? 是以首项为 p ?1

pm ? m ? q ,所以 m ?

b1 ? a1 ? m ? a1 ?

q ,公比为 p 的等比数列。∴ p ?1

? ? q ? q ? n?1 n ?1 bn ? an ? m ? ? ? a1 ? p ? 1 ? ? ? p ? an ? ? ? a1 ? p ? 1 ? ?? p ?m ? ? ? ?
【变式练习】 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? 5an ? 2 ,求 an (3)课堂小结 本 节 主 要 学 习 了 由 递 推 关 系 : an?1 ? an ? f ?n? , 参考答案: a n ?

3 n ?1 1 ?5 ? 2 2

an?1 ? an ? f ?n? ,

所用的方法分别为: “累 an?1 ? pan ? q? p, q为常数, pq ? 0, p ? 1?的类型, 求数列的通项公式 an , 加法” , “累乘法” , “构造法” 。所用到的数学思想方法有:转化思想,换元思想,方程。同学们要把 这几种类型掌握好。要多做练习题。 (4)课外作业 金榜 1 号: p 97 变式探究 1,2, p 98 变式探究 3
3


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